1 закон гука

Закон Гука

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Основные уравнения

Известные учёные

Ньютон · Гук
Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Видеоурок: закон Гука

Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому, деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. д.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком.

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Закон Гука для тонкого стержня

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

F = k Δ l . {\displaystyle F=k\Delta l.}

Здесь F {\displaystyle F} — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, Δ l {\displaystyle \Delta l} — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а k {\displaystyle k} — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S {\displaystyle S} и длины L {\displaystyle L} ) явно, записав коэффициент упругости как

k = E S L . {\displaystyle k={\frac {ES}{L}}.}

Величина E {\displaystyle E} называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

ε = Δ l L {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{L}}}

и нормальное напряжение в поперечном сечении

σ = F S , {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{S}},}

то закон Гука для относительных величин запишется как

σ = E ε . {\displaystyle \sigma =E\varepsilon \ .}

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Δ l = F L E S . {\displaystyle \Delta l={\frac {FL}{ES}}.}

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга C i j k l {\displaystyle C_{ijkl}} и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора C i j k l {\displaystyle C_{ijkl}} , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

σ i j = ∑ k l C i j k l ⋅ ε k l , {\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}C_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl},}

где σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}} — тензор напряжений, ε k l , {\displaystyle \varepsilon _{kl},} — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор C i j k l {\displaystyle C_{ijkl}} содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

ε x = σ x E − μ E σ y − μ E σ z {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{y}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{z}} ε y = σ y E − μ E σ x − μ E σ z {\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\sigma _{y}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{x}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{z}} ε z = σ z E − μ E σ x − μ E σ y {\displaystyle \varepsilon _{z}={\frac {\sigma _{z}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{x}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{y}} γ x y = τ x y G {\displaystyle \gamma _{xy}={\frac {\tau _{xy}}{G}}} γ y z = τ y z G {\displaystyle \gamma _{yz}={\frac {\tau _{yz}}{G}}} γ x z = τ x z G {\displaystyle \gamma _{xz}={\frac {\tau _{xz}}{G}}}

где E {\displaystyle E} — модуль Юнга, μ {\displaystyle \mu } — коэффициент Пуассона, G = E 2 ( 1 + μ ) {\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\mu )}}} — модуль сдвига.

Законом Гука называют базовую зависимость в механике, устанавливающую взаимосвязь между усилиями и соответствующими им упругими деформациями.

Закон был открыт в 1660 году английским ученым Робертом Гуком.

Проведя серию экспериментов с растяжением и сжатием пружин, Гук заметил, что изменение их длины прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) их силе.

Свои наблюдения он оформил в виде закона: «Какова сила, таково и удлинение».

Современная формулировка закона существенно отличается от оригинала и зависит от дисциплины, в которой рассматривается зависимость деформаций от усилий.

Подробнее про закон Гука смотрите в нашем видео:

Закон Гука в физике


В современных учебниках физики Закон Гука имеет вид:

и формулируется следующим образом:
«При малых деформациях сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения его частиц»

Коэффициент k характеризует жесткость образца и зависит от его размеров и материала.

Например, для стержней, работающих на растяжение или сжатие, он может быть рассчитан по формуле:

где:
E – Модуль упругости I рода (модуль Юнга);
A – Площадь поперечного сечения бруса;
l – Длина стержня.

Знак минус означает, что силы упругого сопротивления направлены обратно растягивающей силе.

Закон Гука в сопромате

В технической механике и сопротивлении материалов в частности закон Гука гласит: «До определенного момента, называемого пределом пропорциональности, упругие деформации прямо пропорциональны напряжениям».

Здесь:
σ — Нормальные напряжения в сечении;
ε — Относительные продольные деформации.

Рассмотрим преобразование физической формы закона к его механическому виду.
Подставим вместо коэффициента k его выражение
Отношение продольной силы F к площади поперечного сечения A в левой части дает нормальные напряжения в сечении
Отношение абсолютных деформаций к начальной длине образца – это относительное изменение его длины

В таком виде закон Гука используется в сопромате и технической механике.

Закон выполняется только для напряжений не превышающих предела пропорциональности.

При растяжении и сжатии

При растяжении и сжатии закон Гука можно получить, вернув в его канонический вид геометрические параметры стержня (длину и площадь поперечного сечения), и записав получившееся выражение относительно линейной деформации:
Здесь
Δl- Абсолютная деформация стержня;
F — Продольная сила;
l — Длина стержня до нагружения;
E – Модуль продольной упругости материала;
A – Площадь поперечного сечения стержня.

При изгибе

При изгибе закон устанавливает зависимость между кривизной продольной оси и величиной изгибающего момента в соответствующем сечении балки.

где:
ρ — Радиус кривизны продольной оси балки в данном сечении;
M — Величина соответствующего внутреннего изгибающего момента;
E – Модуль Юнга;
Ix — Осевой момент инерции поперечного сечения балки.

Обобщенный закон Гука

Для общего случая нагружения изотропных материалов, когда напряженное состояние отличается от линейного (одноосного) применяется закон Гука в обобщённом виде.
ε — Относительные деформации вдоль соответствующих осей;
ν — Коэффициент Пуассона;
σ — Нормальные напряжения по соответствующим площадкам элемента.

Потому что деформации в поперечных направлениях тоже влияют на изменение продольных размеров.

Для чистого сдвига
γ — Угловое перемещение соответствующей площадки элемента;
τ — Касательные напряжения;
G — Модуль упругости II рода (модуль сдвига).

Испытание на растяжение >>
Диаграмма напряжений >>

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *