Движение колеса с проскальзыванием

Содержание

Движение по окружности – задачи

Задача 1. За промежуток времени с тело прошло половину окружности радиусом 100 см. Найти среднюю путевую скорость и модуль средней скорости .

Решение: средней путевой скоростью называется средняя скорость прохождения пути, которую мы с вами вычисляем, деля весь путь (длину траектории) на все время. Модуль средней скорости еще называют средней скоростью по перемещению. Ее можно определить, разделив перемещение на время. Тогда длина пути – это длина половины окружности, а перемещение – длина диаметра.

Ответ: средняя путевая скорость – 0,314 м/с, средняя скорость по перемещению – 0,2 м/с

Задача 2. Однородный диск радиусом 0,5 м катится без проскальзывания со скоростью 2 м/с. Найти скорость точек диска . Найти геометрическое место всех точек диска, скорость которых 2 м/с. Угол .

Скорость точек окружности

Решение:

Точка A – центр вращения. Поэтому ее скорость относительно поверхности, по которой катится диск, равна 0. Поскольку в условии сказано, что диск катится со скоростью 2 м/с, то это означает, что с такой скоростью относительно поверхности будет передвигаться его центр: м/с. Поэтому точка А относительно центра будет передвигаться с точно такой же скоростью – со скоростью 2 м/с, и это и будет линейная скорость вращения диска, то есть скорость всех точек, лежащих на его краю, относительно центра м/с. Линейные скорости показаны для точек оранжевыми стрелками. Эти стрелки показывают, какой была бы скорость данной точки, если бы диск не катился, а вращался бы, например, на оси, проходящей через его центр. Но наш диск катится. Поэтому к линейной скорости вращения каждой точки необходимо еще прибавить скорость движения диска относительно опоры. То есть к каждой рыжей стрелке прибавим (векторно) скорость точки О – центра диска – черную стрелку. Тогда-то и становится понятным, почему у точки скорость равна 0 – линейная скорость вращения направлена влево, а скорость качения – вправо, и поскольку они равны, то гасят друг друга: . В точке C скорости, напротив, сложатся, поскольку они сонаправлены: м/с.

Определим теперь скорости точек и . Понятно, что они будут равны численно, но направлены в разные стороны.

Осталось разобраться с точкой . Сделаем еще один рисунок. Линейная скорость вращения всегда направлена по касательной, то есть перпендикулярно радиусу . Углы, которые образуются между векторами, показаны на рисунке, в том числе угол . Тогда в параллелограмме угол , а так как

, то все углы в треугольнике равны и он равносторонний, то есть м/с. Также можно было найти длину этого вектора скорости по теореме косинусов или складывая проекции векторов. Можно догадаться, что точка, симметричная точке E относительно A также имеет скорость, равную 2 м/с. Вообще точки, лежащие на одном и том же расстоянии от центра вращения A будут иметь равные скорости, линии равных скоростей (геометрические места точек с равными скоростями) показаны на рисунке различного цвета дугами: единственная точка (точка C) будет иметь скорость 4 м/с, точки, лежащие на рыжей дуне, будут иметь скорости, равные , точки, лежащие на синей дуге, будут иметь скорости, равные 2 м/с, как у точки E.

Пробуксовывание

Задача 3. Колесо, пробуксовывая, катится по ровной, горизонтальной дороге. Найти скорость центра колеса , если известно, что скорость нижней точки м/c, а верхней – м/c.

Решение:

Если колесо пробуксовывает, то это означает, что скорость его нижней точки не равна нулю, то есть его центр вращения – не точка касания поверхности, центр вращения будет расположен выше. Но центр вращения находится и не в центре колеса. Найти его можно, если провести вертикальный диаметр, построить вектора скоростей в масштабе, а затем, соединив концы векторов скоростей прямой линией, отметить точку пересечения этой линии с диаметром. У нас на рисунке это точка О. Точка К – центр колеса, его скорость нам и нужно найти. Из подобия треугольников и запишем отношения сходственных сторон:

Тогда

Тогда

Теперь обратимся к подобным треугольникам и . Для них отношение сходственных сторон равно:

Откуда м/с.

Ну а более простым решение было бы, если бы мы просто нашли среднее арифметическое скоростей, ведь точка, про которую нас спрашивают, лежит по центру между точками приложения векторов скоростей и , при этом не забываем о векторном сложении скоростей, берем скорость со знаком «минус»:

м/с.

Ответ: 4 м/с.

Проскальзывание

Задача 4. Обруч, проскальзывая, катится по горизонтальной ровной поверхности. В некоторый момент скорость верхней точки А м/с, а нижней точки B м/с. Определить скорость концов диаметра , перпендикулярного к , для того же момента времени. Под какими углами они направлены к горизонту?

Решение:

Проскальзывание – это ситуация, когда скорость нижней точки (точки касания обручем земли) не нулевая, но направлена она в сторону качения. В этом случае центр вращения, так же, как и в случае пробуксовки, не совпадает с центром колеса. Более того, центр вращения даже не внутри колеса – он снаружи (точка О). Как и в предыдущей задаче, можно найти его таким же способом – проведя линию через концы скоростей и найдя ее пересечение с продолжением вертикального диаметра. И, точно так же, как в предыдущей задаче, можно определить скорость центра колеса как среднее арифметическое, только обе скорости направлены у нас теперь в одну сторону, поэтому ставим знак «плюс» перед обеими:

м/с.

Так как скорость точки есть результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра колеса , то можем из этого сделать вывод, что линейная скорость вращения равна 2 м/с – ровно на столько скорость центра колеса, найденная нами, отличается от скорости точки , данной в условии задачи. Линейную скорость на рисунке не показывала, или показывала не везде. Скорости точек и равны численно, но направлены по-разному. Их скорости – также результат векторного сложения линейной скорости вращения колеса и скорости поступательного движения центра, а, так как эти две скорости перпендикулярны друг другу, то результат их сложения может быть найден по Пифагору:

Понятно, что раз скорости перпендикулярны друг другу, то являются катетами некоторого прямоугольного треугольника, и связывает их между собой функция тангенса, поэтому угол наклона к горизонту скорости точки можно найти как

Ответ: ,

Шарик катится по двум линейкам

Задача 5. Шарик радиусом см катится равномерно и без проскальзывания по двум параллельным линейкам, расстояние между которыми равно см, и за время с проходит см. С какими скоростями движутся верхняя и нижняя точки шарика?

На рисунке изображено, как двигается шарик, при этом для удобства показан как вид спереди, так и вид сбоку. Поскольку скорость шарика равна м/с, то эта скорость – скорость поступательного движения его центра масс – точки А. Центр вращения шарика находится в точке О – на уровне края линеек. Определим положение точки О – определим длину отрезка . Это легко сделать, зная радиус шарика и рассмотрев рисунок, из треугольника . Центр вращения в данный момент неподвижен, а точка А двигается относительно него со скоростью 0,6 м/с. Поэтому скорость нижней точки будет

Таким же способом определяем скорость верхней точки :

Ответ: скорость нижней точки 0,15 м/c, скорость верхней 1,35 м/c.

Задача 6. Автомобиль движется по закругленному шоссе, имеющему радиус кривизны м. Закон движения автомобиля имеет вид: , где м, м/с, м/с. Найти скорость автомобиля , его тангенциальное , нормальное и полное ускорения в момент времени с.

Решение.

Путь:

Производная пути – линейная скорость:

Вторая производная – тангенциальное ускорение:

Нормальное ускорение:

Полное ускорение:

Задача7. Угол поворота диска радиусом см изменяется со временем по закону . Определить зависимости от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек диска.

Решение: угловая скорость – производная угла:

Угловое ускорение – производная угловой скорости:

Линейная скорость:

Задача 8. Точка движется по окружности с постоянным угловым ускорением рад/. Найти угол между скоростью и ускорением через 1 с после начала движения. Начальная скорость точки равна 0.

Решение: так как тангенциальное ускорение и линейная скорость совпадают по направлению, то определим обе составляющие ускорения: как нормальную, так и тангенциальную. Угол между полным ускорением и его тангенциальной составляющей можно тогда будет найти через функцию тангенса.

Известно, что нормальное ускорение , тангенциальное ускорение . При этом , или . Тогда

Искомый угол:

Ответ:

Два концентрических колеса

Задача 9. Два концентрических колеса радиусами см и см вращаются с угловыми скоростями рад/c и рад/с соответственно. Между ними зажато третье колесо так, как показано на рисунке. Какова угловая скорость этого колеса вокруг собственной оси? Проскальзывания нет.

Решение: определим радиус маленького (третьего) колеса, м:

Определим линейную скорость точек первого колеса:

Определим линейную скорость точек второго колеса:

Найдем угловую скорость маленького колеса, зная, что линейная скорость его точек равна линейной скорости больших колес, так как проскальзывания нет:

Ответ: 20 рад/с

Задача 10. Гайку закручивают на болт за время . Длина болта , резьба составляет угол с плоскостью гайки. Найдите угловую скорость гайки, если радиус болта равен .

Скорость вращения гайки по ходу завинчивания на болт

Решение: при закручивании гайка не только вращается, но и движется вдоль болта поступательно, например, спускается вниз. Поэтому точка, взятая на ребре гайки, будет обладать двумя составляющими скорости: скорость, с которой она будет двигаться вниз вдоль болта (назовем ее ) и скорость, с которой эта точка вращается – это уже знакомая нам линейная скорость (). Тогда .

Из рисунка видно, что

Проскальзывание

В самый обычный солнечный день, прибегая домой с наёмной работы, трейдер Алёша, с вожделением о долгожданном процессе торговли на финансовых рынках, открывает торговый терминал МТ. Практически сразу он видит идеальную рыночную ситуацию на валютной паре EUR/USD. И по цене 1,1040 наш наивный персонаж Алёша, мало осведомлённый о спецификации исполнения ордеров, нажимает заветную кнопку BUY. Сделка исполняется, но что он видит дальше? Вместо цены 1,1040 ордер был открыт по цене 1,1044…

В рамках этой публикации мы с вами попробуем разобраться в таком определении как «проскальзывание».

Проскальзывание – что это такое.

Так что же всё-таки произошло с ордером, выставленным трейдером Алёшей? Может это злые прииски брокера или заокеанские санкции? А может это сбой в системе торгового терминала или сервера? Ничего подобного в этом духе! Это явление в механизме сведения ордеров, называется проскальзыванием. То есть, проскальзывание – это разница между ценой, по которой вы решили купить (или продать), а на самом деле ордер исполнился по чуть более или менее другой цене.

Предположим, что мы хотим купить евро валюту за американские доллары, то есть валютную пару EUR/USD по цене 1,1044, но при нажатии кнопки Buy, мы видим, что наш ордер открылся по цене, ну скажем 1,1045. В таком случае, мы получили проскальзывание в 1 пункт.

Здесь, кстати говоря, необходимо заметить, что отложенные ордера также могут иметь проскальзывание. Но они случаются достаточно редко и связаны в основном из-за повышенной волатильности, минимальной ликвидности и расширенного спреда актива, в совокупности. Плюс к этому, их размер настолько мал (до 1-го пункта), что эти проскальзывания практически не заметны, тем более долгосрочным инвесторам.

Любой рыночный ордер может исполнится с проскальзыванием. К рыночным ордерам относятся как вход в рынок, так и выход по стоп-приказу трейдера.

Видео по теме сведения ордеров. Полезно при понимании темы проскальзывания.

Проскальзывание & реквота, в чём разница

Slippage – Проскальзывание подразумевает исполнение рыночного ордера, отличным от заданного ценового уровня трейдером.

Requote – Сообщение от сервера брокера об изменении текущей цены, для возможности открыть сделку по новым ценам.

Другими словами, реквота, это вновь сформировавшееся цена при открытии сделки, то есть той цены, по которой вы отправили приказ на открытие позиции, уже не существует.

Многие трейдеры, не «нюхавшие пороха» считают, что проскальзывание это плохо. С одной стороны, с этим мнением можно и посчитаться. Ведь нет ничего хорошего в том, что, допустим у заядлого скальпера, проскальзывание забирает львиную долю от нескольких прибыльных пунктов. Так, если он ориентирован на взятие высокочастотной сделки в 20 пунктов, то при проскальзывании в 2 пункта, рынок забирает у него 10 %! Оооо, ребят, это довольно много.

Так, если мы применим это соотношение к трейдеру, торгующий в долгосрочной перспективе, который намеревается брать в среднем, скажем 1 500 пунктов, то он потерял бы 150 пунктов! Но, «справедливость» на нашей стороне, поэтому, здесь надо понимать, что проскальзывание в 2 пункта, это сущий пустяк для перспективных 1 500 пунктов. То есть это составляет порядком всего 0,13 %. Но в контексте, долгосрочного трейдера отличает от скальпера наличием затраченного времени…

С другой стороны, проскальзывание это хорошо. Почему? Всё просто; наличие проскальзывания – это хороший признак реальности рынка. Это явление подтверждает, что вы действительно торгуете на межбанковском рынке. Говоря простым языком, наличие проскальзывания, это и не плохо и не хорошо, проскальзывание это нормальное явление, для трейдинга, с которым можно и нужно работать!

ПРОРЫВ в вашей торговле!

Эта информация шикарно накладывается на торговлю, с помощью методов VSA. Фактически, эта информация способна сделать прорыв в вашей торговле.

Влияние типа торгового счёта на проскальзывание

Начнём с того, что львиная доля всех российских рядовых и диванных трейдеров, торгуют именно на рынке Форекс. А посему, вопрос о выборе типа своего торгового счёта, актуален в большей степени для форекс трейдеров. Дело в том, что у форекс брокеров и/или в дилинговых центрах, можно открыть один из ниже представленных типов торговых счетов, так или иначе, влияющих на наличие проскальзывания:

ECN счёт и проскальзывание.

Аббревиатура ECN расшифровывается как Electronic Communication Network, что в переводе на русский язык означает «электронная сеть связи». Этот тип счёта является одним из самых востребованных и удобных среди форекс трейдеров, в связи с тем, что при его использовании, приказ на сделку или ордер, открываемый (выставляемый) участником рынка, напрямую поступает на межбанковский рынок, минуя различных посредников и самого брокера, в том числе.

Также, при использовании этого типа счёта, спред, как правило, здесь формируется посредством так называемого «стакана цен». Здесь подразумевается, что в данном случае, размер спреда будет минимальным, относительно встречным предложениям (на покупку и продажу). То есть, частный трейдер, торгующий на ECN счёте, получает в свой терминал, только лучшие, последние цены на покупку и продажу валютной пары. Также сто́ит отметить, что при использовании такого типа счёта, скорость исполнения ордеров считается максимально возможной.

Видео по теме: Торговля на ECN бирже. Преимущества и недостатки.

Преимущества торговли на ECN счетах.

Все сделки участника рынка, торгующего на ECN счёте, выводятся на межбанковский рынок, минуя посредников по поставке ликвидности. Так, электронная система, предоставляет наилучшие, последние цены на покупку и/или продажу по тому или иному активу (валютной паре).

Реальное обеспечение ликвидности, т.к. в ECN системе присутствует большое количество контрагентов, поэтому можно не переживать об отсутствии ликвидности.

У действительно реальных ECN – брокеров не существует реквот, поскольку данная сеть осуществляет моментальное исполнение ордеров по запрашиваемой и/или лучшей цене, имеющейся в конкретно данном моменте времени.

У системы ECN отсутствует исполнение открытия и закрытие форекс-ордеров по «не рыночным» котировкам, т.к. площадка не признаёт «недействительные» котировки. А это говорит о том, что ваш брокер не сможет, вот так взять и, отменить любой из благорасудившихся ему ордеров.

Есть возможность выставлять ордер непосредственно внутри спреда.

ECN брокеры никак не могут ограничивать работу клиента – трейдера. То есть, высокочастотные трейдеры могут сколько угодно «пипсовать», и противодействий со стороны брокеров не может быть, в принципе.

Пытаясь освоить трейдинг самостоятельно – это подписаться под «кашей в голове» и согласиться с тотальным непониманием рыка. Я предлагаю избавиться от этого раз и навсегда. Чёткая и последовательная программа изучения.

Недостатки торговли на ECN счетах.

Дополнительная комиссия – это основополагающий недостаток при использовании ECN счёта. Здесь надо обратить ваше внимание, что если комиссия по такому типу счёта подозрительно низкая, то вероятнее всего, брокер заранее запланировал своё «банкротство». Ведь, в противном случае, при содержании такого типа счёта (и предоставлении его своим клиентам), брокер не сможет его окупить физически, по издержкам на техническую инфраструктуру.

Из-за повышенной комиссии нарушается алгоритмичная работа у многих торговых роботов-советников.

По причине «плавающего» спреда, детрейдерам довольно сложно соблюдать риск, и манименеджмент своей торговой стратегии.

Отсутствует возможность торговли CFD контрактами на акции и некоторые товары.

STP счёт и проскальзывание

Выше мы с вами рассмотрели один из самых востребованных типов счетов, среди пользователей форекс площадки, поэтому, других типов счетов мы коснёмся лишь косвенно, задев основные особенности их характеристик:

STP – Straight Through Processing, что в переводе означает «прямо через обработку».

Итак, такой тип счёта как STP, является чуть менее популярным и востребованным среди форекс клиентов, в отличие от счёта ECN. Под аббревиатурой этого счёта подразумевается, что выход всех сделок трейдера происходит без предварительной обработки брокером. В этом случае брокеру или ДЦ, нет никакого резона (и возможности) вставлять вам «палки в колёса», по причине того, что сделки также выводятся на межбанковский рынок. Но в отличие от ECN счёта, теперь ваши сделки взаимодействуют уже с одним, конкретным контрагентом, то есть поставщиком ликвидности.

Видео по теме: Straight Through Processing. Что такое STP счет? Что такое STP брокер

NDD счёт

• Non Dealing Desk дословно переводится как «без дилера».

На наш же русско-понятный язык, это английское словосочетание можно перевести как «торговля без участия брокерской компании». И здесь, я думаю, из названия понятно, что сделки также, как и в других случаях с типами счетов, выводятся напрямую к поставщику ликвидности (это может быть какой-нибудь банк), минуя самого́ брокера. Исключив участия посредника (брокера), технология NDD значительно сокращает сроки исполнения ордеров, вплоть до менее одной секунды.

Также NDD счёт обладает положительной характеристикой по максимальному сужению спреда. Зачастую бывают случаи, когда спред исчезает полностью. При таких характеристиках, скальпинг превращается в очень прибыльный способ торговли.

Примечательно, что ещё одной интересной фишкой обладает NDD счёт; это мгновенное пополнение и автоматический вывод прибыли.

Материалы по трейдингу писать в тексте – очень сложно. Гораздо проще их делать в видео-формате. Что мы и делаем уже более 6 лет! Подпишитесь на нас и получайте сливки информации!

Так мы рассмотрели основные типа счетов, и сразу хочется предупредить, что не сто́ит пренебрегать приведённой информацией, поскольку от типа счёта, зависят ваши прибыли в сотых, а то и в тысячных долях процентов. Именно по этой причине легендарные трейдеры прошлых столетий и современности, большое внимание уделяют предъявляемым от брокеров комиссиям.

Я же в свою очередь, будучи ещё не являющимся легендарным трейдером, отношусь довольно скрупулёзно к размеру спреда, тем паче, на валютном рынке форекс. Поскольку, из крохотных процентов по спреду, свопу, комиссий и прочих мизерных «поборов», в итоге набегает внушительно-значимая сумма, в интерпретации процентов, которая сопоставима с 2-х, а то и с 3-х дневным заработком!

Видео по теме NDD, ECN, STP на Форекс

Принцип обработки ордеров

Instant Execution – Мгновенное исполнение.

Данный принцип обработки ордеров с английского языка многие ресурсы трактуют как мгновенное или немедленное исполнение ордеров. На самом деле такой принцип по исполнению сделок не имеет никакого отношения к скорости. То есть, более верная трактовка этого английского словосочетания будет являться как «точное исполнение ордеров».

Информация в этой статье достаточно сложная. Трудно понять? Глупо закрывать страницу. Гораздо лучше узнать о трейдинге бесплатно из рубрики «Трейдинг для чайников».

Дело в том, что Instant Execution функционирует по следующему принципу: Когда вы нажимаете кнопку Buy или Sell, то у вас в торговом мониторе такая-то цена. И при использовании Instant Execution, брокер обязуется исполнить ваш ордер или по этой же цене, или не исполнить её вовсе (при уже отсутствующей запрашиваемой трейдером цене). Но при этом, брокер обязан послать вам сообщение, о возможности пере зайти в рынок по новым ценам. То есть, отобразить реквоту.

Market Execution – Рыночное исполнение.

Как и в случае с Instant Execution, принцип исполнения ордеров Market Execution, также не имеет никакого отношения к скорости исполнения ордеров. Здесь, в качестве основополагающего принципа лежит то, что брокер со 100-% вероятности исполнит вашу сделку. Но из-за наличия некоторой волатильности, при таком принципе, ваша сделка зачастую исполняется не по заданной вами цене.

Здесь сто́ит заметить, что иногда, но всё-таки случается так, что ваш ордер исполняется по, ещё более выгодной, для вас цене. В таком случае, проскальзывание принято называть положительным.

Как работать с проскальзыванием

Теперь, когда мы с вами разобрались с основными причинами возникновения такого явления как проскальзывание, настал момент разобраться с методами его устранения, или, по крайней мере, уменьшения его размера. Повторюсь, что данная тема актуально лишь для скальперов, пипсовщиков или внутредневных трейдеров, т.к. долгосрочные инвесторы вообще не замарачиваются по данному вопросу. Судите сами, что будет означать проскальзывание в 2-3 пункта для инвестора, ориентирующего взять около 1000 пунктов?

Так есть некоторые рекомендации для интродейщиков и высокочастотников.

Советы, как убрать проскальзывание.

Открывайте торговый счёт типа ECN, или, в противном случае тип NDD, если для вас всё-таки важен минимальный размер спреда.

Также, обсудите с вашим брокером, а затем и выберите способ исполнения ордеров как Market Execution.

Следует обратить внимание и на выбор интернет-провайдера и на тот тарифный план, к которому будете подключаться. Скорость и качество поставляемого интернет соединения прямиком и полностью отражается на качестве вашей торговли.

Старайтесь не допускать процесс открытия и закрытия торговых операций в момент (или при предвещании) важных макроэкономических новостей, а также в начале и в конце, какого либо периода. Например, в начале и в конце торговых сессий, суток или недели.

По возможности, старайтесь отдавать предпочтения отложенным лимитным ордерам. Это обусловлено тем, что как правило, при их выставлении, вы как бы «бронируете» ликвидность для своих заявок.* И здесь, надо бы напомнить, что «бронирование» осуществляется только на отложенный ордер «Limit», тогда как на ордер Buy Stop или Sell Stop, ликвидность не «бронируется». Эти ордера (бай стоп и сэлл стоп), по сути, являются «отложенными» маркет ордерами.

*Справедливо только для счетов с выводом на межбанковский рынок.

Также с «борьбой» проскальзывание, в МТ предусмотрена функция «Максимальное отклонение». На скриншоте ниже, указана инструкция, при которой вы сможете задать диапазон в пунктах. То есть, если цена не успеет выйти за его пределы, то ордер исполнится. Хоть и чуть по другой цене.

Так, предположим, что цена, импульсным движением, вышла за границы диапазона, указанные вами. Если ваш контрагент, брокер или поставщик ликвидности не успел получить от вас приказ, то ваша заявка не будет исполнена. Поводом для этого может послужить как отсутствие ликвидности на данном активе и в данный момент времени, так и высокая волатильность. Также, нельзя игнорировать и плохое качество интернет соединение.

Итог

Вот так, друзья, только таким способом, и никак иначе, зная основные нюансы по возникновению проскальзывания, соблюдая вышеперечисленные рекомендации и прибегая к методам сокращения размера проскальзывания, можно максимизировать эффективность своей торговли.

На этом друзья, закончим наш материал, т.к. все основные характеристики по проскальзыванию мы разобрали. Только так, шаг за шагом, изучая все тонкости, аспекты и нюансы торговой финансовой индустрии, можно придти хоть какому-нибудь положительному результату. А если играть в карты онлайн и смотреть прикольчики на Ютюб, то боюсь на финансовых рынках, даже присутствие противопоказано. Всем пока и до встречи!

Предлагаю шикарную взаимовыгодную сделку

  • О крупном игроке
  • О механике рынка
  • Об уровнях

С вас — подписка на рассылку

На подписку требуется полминуты и сразу после подписки вы получаете письмо со ссылкой на уроки.

Идет?

Тогда введи свои данные ниже,
нас уже 8 000 человек.

Проскальзывание (slippage)

При установке параметров каждого торгового ордера трейдер определяет для брокера условия его исполнения: цену, по которой нужно войти и выйти из рынка, а также (при необходимости) время открытия/закрытия сделки. Увы, в поиске баланса спрос/предложение рынок все корректирует по-своему.

Новички при этом переживают всю гамму чувств – от паники и депрессии до претензий к брокеру, но на самом деле это нормальное рыночное явление − «slippage» (проскальзывание). Полностью избавиться от этого эффекта нельзя, но бороться и даже выгодно использовать – можно и нужно.

Итак, основной предмет разговора

Проскальзывание в трейдинге – это исполнение по цене, отличной от заявленной в торговом приказе и от текущей котировки. Как правило, реальная цена сделки получается «хуже» заявленной, но иногда разница может быть и положительной (в пользу трейдера), в зависимости от направления тренда и вида открываемой позиции.

Первая проблема возникает в процессе поступления вашего торгового приказа на межбанк – за время обработки вашего приказа до брокера (провайдера ликвидности), даже если это доли секунды, цена меняется, в результате исполнение по заявленной вами цене становится невозможно.

Общая схема торговой ситуации.

Придется открывать (или закрывать) сделку по актуальным ценам, и если рынок идет в сторону вашей сделки (положительное проскальзывание) – получите дополнительную прибыль, если цена ушла против вас (отрицательное) – результат будет хуже. Чем больше задержка исполнения ордера, тем сильнее изменится текущая котировка и разница с ценой заявки будет больше.

Причины проскальзывания в трейдинге

Напоминаем, что на финансовом рынке продавец предлагает цену подороже, а покупатель ищет, где подешевле. В большинстве случаев, проскальзывание − это не «козни» брокера (хотя такое бывает тоже), а следствие последовательного исполнения торговых заявок.

Каждая сделка на покупку означает, что на рынке должно быть предложение по такой же (желательно!) цене и в таком же объеме. При открытии позиции на покупку/продажу актива, рынок должен подобрать необходимый объем противоположных заявок по нужной вам цене и, если такого объема не хватит, то остаток будет исполнен по «ближайшей» подходящей котировке – это есть эффект «проскальзывания». Оптимальной такая цена может считаться только с точки зрения рынка, но для трейдера это в 70% случаев означает частичную потерю прибыли.

Биржевой стакан и расстановка объемов.

Именно для оптимального исполнения торговых приказов, брокер перед выводом на межбанк собирает мелкие заявки в некотором диапазоне в более крупные «пулы» и работает с ними по одной цене. В результате проскальзывание в трейдинге для каждого конкретного ордера может быть разным. На достаточно ликвидном рынке с большим количеством участников удается быстро найти встречные заявки практически любого объема, тогда проскальзывание будет минимальным.

Нужно понимать, что проскальзывает не только цена открытия/закрытия, но и цена установки Take Profit/Stop Loss, так что не только войти в рынок, но и зафиксировать сделку по заявленной цене не всегда удается. Отложенные ордера страдают от этой проблемы гораздо меньше.

Чем опасно проскальзывание?

Допустим, что каждый торговый ордер и его Stop Loss – проскальзывают на один пункт. Для среднесрочных сделок и длительных торговых стратегий это, конечно, не критично, но для пипсовщиков и даже для стратегии скальпинга на М15-М30 может оказаться катастрофой. С учетом затрат на спред, потеря десятков, а то и сотен пунктов в день может полностью уничтожить прибыль от краткосрочных сделок.

Если заявленная цена находится в зоне сильных уровней, то сильное проскальзывание может некорректно выставить ваш Stop Loss и на первом же откате ваша сделка будет закрыта с убытком. В периоды высокой волатильности (новости, открытие/закрытие сессий) количество участников резко растет, и чаще всего, в одном направлении, поэтому риск проскальзывание значительно повышается.

Схема проблемы со Stop Loss ордером.

Внимание – реквот!

На рынке есть еще одна ситуация которая внешне похожа на проскальзывание, но имеет иную фундаментальную причину. Напомним, что существует два типа исполнения торгового приказа:

  • Market Execution – сделка открывается в любом случае, но по рыночной цене.
  • Instant Execution – брокер обязан открыть позицию по цене приказа, то есть обеспечить нулевое проскальзывание.

Market Execution ордер исполняется всегда и насколько это будет выгодно для трейдера – решает рынок. Необходимый объем для перекрытия вашей заявки подбирается автоматически. Если по заявленной цене противоположного объема недостаточно, то объем вашей сделки разделяется и направляется нескольким поставщикам ликвидности. В результате для сделки трейдер получает средневзвешенную цену, которая может быть существенно хуже или лучше заявленной. Единственным преимуществом ордеров Market Execution считается быстрое исполнение приказов.

Схема отработки Market Execution.

Тип исполнения Instant Execution предусматривает жесткое соблюдение цены на весь объем сделки. Однако, если в момент получения торгового приказа на рынке такой цены нет (или объема не хватает), то трейдер получает запрос (в интерактивной форме) исполнить сделку по другим условиям. Такая ситуация называется реквот (requote). Пока трейдер не подтвердит цену, ордер не сработает. Само собой, пока трейдер думает и принимает решение – рынок движется, условия сделки становятся неактуальными, можно попасть в следующий реквот и т.д. Результат – торговый может быть упущен. Это серьезная проблема и на быстром, и на низколиквидном рынке.

Вид торговой ситуации реквот.

Тем не менее, все, кто имеет опыт прямой биржевой торговли, считают, что для любого вида торговли оптимальным типом исполнения ордеров является именно Instant Execution. Только нужно «не жадничать» и указать брокеру допустимое отклонение от цены (обычно до 5 пунктов). А с возможными реквотами при краткосрочной торговле предпочитают бороться техническими средствами и практическим опытом.

Как уменьшить возможные потери от проскальзывания?

Главное – не пытаться воевать с этими явлениями, с ними нужно научиться работать. Итак, чтобы потенциальные убытки были минимальными, вам необходимо:

  • Установить в торговом терминале максимально допустимое отклонение от запрошенной цены (в пунктах).

Если отклонение цены (в моменте) будет больше этого параметра (критичное проскальзывание), то такая сделка просто не исполнится. Да, прибыли вы не получите, но и сделки с высокой вероятностью убытка не откроются.

Схема установки страховки от убытка.

  • Торговать с помощью отложенных ордеров: Buy Stop/Sell Stop и Buy Limit/Sell Limit.

Ордера Buy Stop/Sell Stop требуют четко установленной цены и считаются более проблемными, чем лимитные, которые допускают качественную оценку типа «выше/ниже». Отложенные торговые приказы отправляются брокеру заранее, под них в какой-то мере «бронируется» часть ликвидности, конечно, при условии реального вывода сделок на межбанк. Именно у этих ордеров самый высокий шанс отработки по заявленным ценам.

Схема установки лимитного ордера.

  • Выбирать торговлю на старших периодах.

Если для сделки на М5 с обычным запасом прибыли (в 5-10 пунктов) даже 1-2 пункта проскальзывания могут быть критичны, то на таймфреймах выше М30 такие негативные последствия практически незаметны.

  • Не торговать в периоды проблемной ликвидности.

Опасны любые нестандартные ситуации: новости, плановые и форс-мажорные события, открытие/закрытие торговых сессий, низковолатильный рынок в праздничные дни. Те, кто ловит активную/слабую волатильность или пытается торговать экзотическими активами, должны быть готовы к увеличению проскальзывания и вероятности реквотов в несколько раз.

Схема входа в моменты сильной волатильности.

  • Использовать фильтр волатильности.

Если вы все-таки рискуете торговать на спекулятивном рынке, то нужно выбирать моменты входа с максимальным запасом профита. Например, если ваша средняя прибыль на одну сделку – 30 пунктов, то проскальзывание в 10 пунктов (например, во время новостей) заберет у вашего профита почти 30%. Можно торговать только часть новостей, с более явным и надежным прогнозом, которые дают, скажем, пунктов 60-70, тогда процент потерь будет существенно ниже. То же относится и к отдельным инструментам − рекомендуем торговать только в дни (или периоды) максимальной волатильности.

  • Использовать стабильный интернет и надежное техническое оборудование.

Медленное исполнение ордеров из-за проблем связи может вызвать проскальзывание в несколько десятков пунктов, так что рекомендуем иметь еще и резервные каналы связи, а скальперам – обязательно торговать с использованием VPS.

Только если все это не помогает, а ситуации сильного проскальзывания носят системный характер и происходят даже на стабильном и ликвидном рынке, то можно подумать о том, чтобы…

  • Сменить брокера или тип торгового счета.

Правильный выбор провайдера и настройка минимального уровня отклонения имеет решающее значение. Именно недобросовестные брокеры часто создают «фальшивые» реквоты − искусственную задержку исполнения ордера, допускают критическое проскальзывание даже при высокой ликвидности, практикуют отмену результатов сделок и прочие проблемы. Такой брокер «придерживает» как раз самые выгодные сделки, так как убыток трейдера – его прибыль. Необходимо проследить за поведением котировок во время спекуляций: предупреждение брокера о том, что в такие моменты корректность исполнения ордеров не гарантируется, и результаты сделки могут быть отменены, обычно указана в договоре самым мелким шрифтом – читайте внимательно!

Кстати, даже если вы планируете работать только с длительными сделками, рекомендуем выбирать брокера, который открыто поддерживает скальперскую торговлю и торговлю на новостях. Именно такие провайдеры особо требовательны к торговым условиям и обеспечивают высокую скорость исполнения приказов.

Выводы

Проскальзывание в трейдинге − явление объективное, это как раз считается «здоровым» признаком реальной торговли на бирже, причем эта проблема присутствует и на ECN-счетах. Ни один серьезный брокер, выводящий сделки на межбанк, не гарантирует полное отсутствие задержки исполнения и реквотов и не будет компенсировать вам потери от этих явлений. Предложенные способы помогут максимально защитить ваш депозит от проскальзывания, если только они не противоречат торговой стратегии. В противном случае – скорректируйте свою торговую методику под реальный рынок.

7.3. Плоское движение твердого тела

Рассмотрим теперь плоское движение твердого тела, то есть движение, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Пример такого движения — вращение колеса автомобиля при его движении по прямой. Можно взять любую точку 0 тела и мысленно провести через нее ось вращения перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела. Тогда ось вращения будет двигаться поступательно, оставаясь все время параллельной самой себе.

Видео 7.2. Плоское движение твердого тела в однородном поле тяжести. Полет плоской картонной фигуры

Соответственно, скорость элементарной массы твердого тела складывается из скорости поступательного движения точки 0 и линейной скорости вращения вокруг связанной с ней (мысленно проведенной) оси:

где — радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке 0.

Кинетическая энергия элементарной массы равна тогда:

Векторное произведение

имеет модуль, равный , где — расстояние массы от оси вращения. Следовательно, третье слагаемое в скобках равно . Второе слагаемое, представляющее собой смешанное произведение векторов, не меняется при циклической перестановке сомножителей:

В результате получим для кинетической энергии элемента твердого тела следующее выражение

Для нахождения кинетической энергии тела просуммируем по всем элементарным массам:

Сумма элементарных масс

есть масса твердого тела. Выражение

где — радиус-вектор центра масс тела относительно точки 0.

Наконец,

— есть момент инерции тела относительно оси вращения. Поэтому для кинетической энергии твердого тела можно записать формулу:

Поскольку выбор мысленной оси вращения всецело в нашей власти, мы упростим полученное выражение, взяв в качестве точки 0 центр масс тела. Тогда = 0 и кинетическая энергия тела при плоском движении равна

Здесь — скорость движения центра масс, a — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и ортогональной плоскости, где лежат траектории точек тела. Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при плоском движении слагается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

Движение твердого тела определяется действующими на тело внешними силами и моментами этих сил

Индекс в обозначениях для момента внешней силы означает проекцию момента на ось вращения.

В следующих примерах мы имеем дело с плоским движением.

Видео 7.3. Зависимость поведения цилиндров на наклонной плоскости от характера распределение массы по их объему

Пример 1. Круглое однородное тело (обруч, цилиндр, шар) радиусом и массой скатывается без скольжения по наклонной плоскости под углом к горизонту с высоты (рис. 7.12). Начальная скорость тела равна нулю. Найдем скорость центра масс каждого тела в конце спуска.

Рис. 7.12. Скатывание тела с наклонной плоскости

Рассмотрение данной задачи можно вести двумя способами.

1-й способ. По условию тело катится без проскальзывания. Это условие используется у нас дважды. Сила трения между телом и плоскостью действует в точке соприкосновения и в отсутствие скольжения не превышает своего максимального значения:

где — коэффициент трения скольжения.

Оси координат удобно направить следующим образом: ось х — вдоль движения, ось у — перпендикулярно наклонной плоскости. Тело движется под действием трех сил: силы тяжести , силы трения и силы нормального давления , так что уравнение поступательного движения центра инерции тела имеет вид:

Вдоль оси у тело не движется. Проецируя уравнение движения центра масс на ось у, получаем для силы нормального давления соотношение:

Проекция уравнения движения на ось х дает:

Так как линейная скорость точек соприкосновения цилиндра с наклонной плоскостью равна нулю (опять используем условие отсутствия проскальзывания), то скорость (ускорение) поступательного движения связаны с угловой скоростью (угловым ускорением) тела обычными соотношениями:

Кроме поступательного движения, тело еще и вращается. Вращение удобно описывать относительно оси z, проходящей через центр масс цилиндра.

Выбор этот обусловлен тем, что линии действия силы тяжести и силы нормального давления плоскости проходят через ось вращения и, следовательно, моменты этих сил равны нулю. Таким образом, цилиндр вращается только под действием силы трения, и уравнение вращательного движения имеет вид:

Таким образом, получается система 4-х уравнений, описывающих поступательное и вращательное движение с дополнительным неравенством, выражающим закон трения. Решая систему уравнений, находим:

Чем больше момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, тем меньше ускорение тела. Мы уже получили ответ на один из вопросов задачи: шар будет двигаться быстрее цилиндра, а цилиндр — быстрее обруча. Подставляя решение для силы трения в неравенство, выражающее закон трения, находим условие, при котором будет отсутствовать проскальзывание:

Смысл этого условия прост: наклон не должен быть слишком крут.

Итак, центр масс тела движется вдоль плоскости с постоянным ускорением a, так что зависимость пройденного пути и скорости от времени имеет вид:

Отсюда следует связь скорости и пройденного пути:

К концу спуска тело проходит путь

так что его скорость достигает величины

Подставляя сюда моменты инерции обруча (), цилиндра () и шара (), находим соответственно:

2-й способ. Используем закон сохранения полной энергии. В конце спуска тело приобретает кинетическую энергию

Эта кинетическая энергия приобретена за счет потенциальной энергии . Отсюда следует найдено выше выражение для скорости тела в конце спуска. Такой способ намного короче, но он не позволяет узнать детали процесса: действующие на тело силы и т.п.

В рассмотренном выше примере мы считали примере мы имели дело со случаем, когда проскальзывание отсутствовало. Это позволило утверждать простую связь () между угловой и линейной скоростями тела и его радиусом. Сила трения покоя находилась при этом в результате решения уравнений движения. В случае, когда тело движется с проскальзыванием, заранее известной связи между линейной и угловой скоростями нет. Зато мы заранее знаем силу трения: раз точка соприкосновения тела с поверхностью скользит по поверхности, сила трения есть сила трения скольжения,модуль которой связан с силой нормального давления законом Амонтона — Кулона.

Силы трения, как уже говорилось, направлены так, чтобы препятствовать относительному проскальзыванию соприкасающихся тел. Часто путают это возможное проскальзывание с осуществляемым поступательным движением. Необходимо четко понимать, что не редки случаи, когда сила трения не тормозит, но ускоряет тело, то есть направлена по его движению. Самый известный пример — трогание автомобиля с места. Колеса начинают вращаться и проскальзывают по земле назад. Соответственно, сила трения направлена вперед, и именно она заставляет автомобиль трогаться. Чтобы ближе познакомиться с подобными случаями, рассмотрим пример.

Пример 2. Цирковой артист бросает на арену обруч массой и радиусом , который начинает катиться в горизонтальном направлении со скоростью (рис. 7.13). При этом обручу придано обратное вращение с угловой скоростью . Найдем, при какой угловой скорости обруч после остановки покатится назад к артисту, а также конечную скорость поступательного движения обруча.

Рис. 7.13. Движение обруча с обратным вращением

При обратном вращении обруча точка его касания с ареной движется вперед как из-за вращения, так и из-за поступательного движения обруча. Поэтому неизбежно существует проскальзывание и, значит, сила трения достигает своего максимального значения. Она тормозит как поступательное движение, так и вращение обруча. Может случиться так, что поступательное движение обруча будет остановлено в тот момент, когда он еще сохраняет обратное вращение. Далее сила трения начнет ускорять обруч по направлению к артисту. Ускорение это прекратится, когда исчезнет тенденция к проскальзыванию, после чего обруч покатится назад равномерно с некоторой установившейся скоростью . Может, однако, случиться и так, что раньше будет остановлено обратное вращение, и тогда обруч сохранит поступательное движение вперед, изменив направление вращения на прямое. Чтобы различить эти два случая, качественных рассуждений недостаточно, и мы обратимся к формулам.

Направим ось ОХ направо (в направлении красной стрелки на рис. 7.13), ось вращения ОZ направим на нас (см. следующий пример, там эту ось удобнее направить от нас, то есть за чертеж), то есть в направлении «обратного» вращения, ось OY направим как обычно, вверх. Плоское движение обруча представим как суперпозицию его поступательного движения вместе с центром масс (геометрическим центром, поскольку обруч предполагается однородным). Спроектируем линейные и угловые скорости на соответствующие оси. Тогда, до тех пор, пока сила трения есть сила трения скольжения и направлена она налево, уравнения движения имеют вид

(7.3.1)

(7.3.2)

Уравнение (7.3.1) описывает движение центра масс обруча, а уравнение (7.3.2) его вращение вокруг оси проходящей через центр масс в той системе отсчета, в которой она покоится (системе центра масс). В (7.3.2) учтено, что момент инерции однородного обруча относительно его оси симметрии равен . После элементарного интегрирования получаем

(7.3.3)

(7.3.4)

Поступательное движение прекратится, то есть станет равным нулю, в момент времени

(7.3.5)

Вращение прекратится, то есть станет равным нулю,в момент времени

(7.3.6)

Их отношение

(7.3.7)

может быть любым ввиду независимости начальных скоростей поступательного и вращательного движений.

Для дальнейшего анализа введем в рассмотрение скорость нижней точки обруча — той его точки, которая касается поверхности арены. Отметим уже здесь, что условием исчезновения проскальзывания является обращение в ноль скорости именно этой точки, потому что скорость соответствующей точки на поверхности арены (той, которой касается обруч) очевидным образом в нашей системе отсчета, где арена неподвижна, равна нулю. Отсутствие проскальзывания это и есть неподвижность этих двух точек относительно друг друга. При выбранном направлении осей OZ и OX, имеем

(7.3.8)

Если , то первым прекратится поступательное движение обруча. В момент времени скорости (7.3.3) и (7.3.8) будут иметь значения

Нижняя точка обруча, за счет продолжающегося вращения, будет по-прежнему скользить относительно арены направо (направо на рисунке 7.13), сила трения скольжения сохранит свою величину и направление налево. Соответственно, центр обруча начнет ускорятся налево, то есть станет меньше нуля и начнет расти по модулю, вращение против часовой стрелки (на рисунке 7.13) будет продолжать замедлятся. Другими словами, при обруч в момент времени (7.3.5) начинает возвращаться к бросившему его артисту.

Как следует из (7.3.8), в момент времени

(7.3.9)

скорость нижней точки обруча из (7.3.8) обращается в ноль, проскальзывание прекращается, сила трения скольжения скачком сменяется равной нулю силой трения покоя (силой трения качения пренебрегаем) и обруч начинает катится к артисту с постоянной скоростью движения центра масс

(7.3.10)

вращаясь против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью

(7.3.11)

Если , то первым, в момент времени (7.3.6), прекратится вращение обруча. В момент времени скорость (7.3.8) нижней точки обруча будет равна скорости его центра и положительна:

(7.3.12)

Скольжение остается, сила трения скольжения сохраняет свою величину и направление налево, но обруч под действием этой силы трения скольжения начинает вращаться по часовой стрелке (напоминаем: налево, направо, по или против часовой стрелки — на рисунке 10). В результате этого скорость центра масс (центра обруча) будет уменьшаться, скорость вращения увеличиваться, в момент времени

(7.3.13)

проскальзывание обруча прекратится и обруч начнет равномерно удаляться от артиста со скоростью центра (7.3.10) и угловой скоростью вращения (7.3.11). Напомним, что в этом случае , так что а

Таким образом, ответ на вопрос: «Вернется обруч или укатится?» определяется начальными условиями, а конкретнее величиной параметра , который имеет простой физический смысл: это отношение модуля

скорости любой точки обруча за счет его поступательного движения вместе с центром масс к модулю скорости той же точки за счет вращения обруча вокруг оси, проходящей через его центр масс, в начальный момент времени.

Пример 3. Описать движение обруча (см. предыдущий пример), если ему придано прямое вращение (рис. 7.14). Поскольку обруч вращается теперь на рис. 7.14 по часовой стрелке, направим ось вращения OZ от нас, то есть за чертеж — в отличие от предыдущего случая.

Рис. 7.14. Движение обруча с прямым вращением: 1 – ; 2 –

Начальная скорость нижней точки обруча складывается из скорости поступательного движения и линейной скорости за счет вращения, направленной в противоположную сторону. В связи с этим надо различать два случая.

1 случай или . Тогда начальная скорость нижней точки обода положительна, то есть, направлена в ту же сторону, что и скорость . Значит, сила трения f направлена в противоположную сторону, как показано на рис. 11–1. В связи с изменением положительного направления оси вращения необходимо лишь изменить знак перед вторым слагаемым в уравнении (7.3.4). Решение уравнений движения в рассматриваемом случае имеют вид

(7.3.14)

(7.3.15)

При новом выборе направления оси вращения скорость нижней точки обруча записывается в виде

(7.3.16)

Момент исчезновения проскальзывания определится из того же соотношения равенства нулю скорости нижней точки обруча или равенства по модулю противоположно направленных скоростей этой точки за счет поступательного движения вместе с центром масс и вращательного движение вокруг оси, проходящей через центр масс:

откуда находим:

Скорость поступательного движения обруча в этот момент становится равной

и остается потом неизменной. Эта скорость меньше начальной скорости поступательного движения обруча.

2 случай или . В этом случае скорость нижней точки обода отрицательна, направлена против скорости . Значит, сила трения направлена по (см. рис.11-2).

Соответственно, в уравнениях движения и их решениях (7.3.14) и (7.3.15) надо изменить знаки на противоположные перед вторыми слагаемыми, содержащими изменившую направление силу трения, получаем:

(7.3.17)

(7.3.18)

Соответственно, выражение для скорости нижней точки обруча приобретает вид:

(7.3.19)

Момент прекращения проскальзывания определяется аналогично и оказывается равным:

а для скорости установившегося движения получается вновь выражение

но в данном случае она будет больше () начальной скорости поступательного движения.

Объединяя оба случая в один, записываем окончательный результат:

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. — стр. 256 (§ 48, задача 9): рассмотрено движение маятника Максвелла, включая силу натяжения нитей подвеса в нижней точке.

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1997/04/kv0497khorozov.pdf — журнал «Квант» — решение задачи об отскоке вращающегося мяча от плоской стенки (С. Хорозов).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1998/04/kv0498chernoutsan.pdf — журнал «Квант» — применение законов динамики твердого тела в задаче о падении вертикальной палочки на горизонтальный стол (А. Черноуцан).

http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/1999/02/kv0299chernoutsan.pdf — журнал «Квант» — продолжение задачи о падении вертикальной палочки на горизонтальный стол (А. Черноуцан).

Теоретическое введение. Характеристики движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, могут быть определены из основного уравнения динамики вращательного движения

Характеристики движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, могут быть определены из основного уравнения динамики вращательного движения

(7.1)

где – момент инерции тела, – угловая скорость, – угловое ускорение, – полный момент внешних сил.

Уравнение (7.1) – это второй закон Ньютона для вращательного движения. То есть, отличительной особенностью задачи о вращении тела вокруг оси по сравнению с задачей о движении материальной точки является то, что теперь в основное уравнение входит не масса тела , а момент инерции , и не сила , а момент силы относительно оси .

При выводе этого уравнения пользуются приемом, который применяется в механике для изучения движения абсолютно твердых тел конечных размеров. Все тело мысленно разбивается на совокупность маленьких частичек с массами ( — номер частиц), которые можно рассматривать как материальные точки с неизменными расстояниями между ними. При этом — масса всего тела. В результате задача сводится к задаче о вращении системы материальных точек вокруг оси. Из решения ее следует, что момент инерции тела определяется таким образом

(7.2)

Величина равна сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения . Вектор лежит в плоскости вращения массы и направлен от оси вращения к этой материальной точке. Из определения (7.2) видно, что задание полной массы тела еще ничего не говорит о величине его момента инерции , который зависит от того, как расположены различные части тела относительно той или иной оси.

В случае непрерывного распределения масс с плотностью сумма в (7.2) заменится на интеграл по всему объему тела. Каждый из элементарных объемов тела массой при переходе к бесконечно малым заменяем на и соответственно

(7.3)

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно оси представляет собой сложную задачу – необходимо знать, как плотность тела меняется от точки к точке . Если эта зависимость известна, тогда нужно вычислить тройной интеграл . Это несложно делать для однородных ( ) симметричных твердых тел, вращающихся вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс (центр тяжести). Далее будут еще приведены выражения для моментов инерции шара, цилиндра, пустотелого цилиндра.

Величины моментов инерции чаще определяют из опыта. Рассмотрим, как это можно сделать, решая задачу о скатывании круглого однородного тела радиусом и массой без скольжения по наклонной плоскости под углом к горизонту с высоты (рис. 7.1), с использованием закона сохранения энергии.

Задача о скатывании – пример плоского движения твердого тела, т.е. движения, при котором точки тела описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях. Если ось вращения проведем через центр масс тела (т. О) перпендикулярно плоскостям, в которых лежат траектории точек тела, то она (эта ось) будет двигаться поступательно, оставаясь параллельной самой себе.

В этом случае кинетическую энергию твердого тела при плоском движении можно представить как энергию вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела и энергию поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс

(7.4)

здесь – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через его центр масс, – угловая скорость тела, – его масса.

Если тело скатывается с высоты , то в соответствии с законом сохранения энергии

(7.5)

Рис. 7.1.

Центр масс тела движется равноускоренно под действием силы трения покоя и составляющей силы тяжести. Поэтому, если обозначим через длину наклонной плоскости ( ) и считаем, что тело движется с нулевой начальной скоростью, то можно записать

; ; ; ,

где – время движения тела по наклонной плоскости.

Предполагается, что тело скатывается без скольжения, и поэтому линейная скорость точек соприкосновения тела с наклонной плоскостью равна нулю, и так что скорость поступательного движения связана с угловой скоростью обычным соотношением .

Если теперь подставить выражения для и в (7.5), и решить это уравнение относительно , то получим

(7.6)

Это соотношение позволяет, измерив на опыте время скатывания тела , длину наклонной плоскости , массу тела и его радиус , определить момент инерции.

В то же время из (7.3) можно теоретически рассчитать момент инерции

шара – ;

цилиндра – ; (7.7)

пустотелого цилиндра , где и — внешний и внутренний радиусы цилиндра;

и сравнить их с измеренными значениями.

При решении задачи о качении тела предполагали, что силами трения качения можно пренебречь. Поэтому в законе сохранения энергии не учитывали работу этих сил трения. Сила же трения покоя (рис.7.1) как раз и создает вращающий момент относительно оси, проходящей через центр масс тела. В этом несложно убедиться, если получить выражение (7.6), используя не закон сохранения энергии (7.5), а решив уравнение движения для центра масс тела

(7.8)

(7.9)

Положительные направления оси и указаны на рис 7.1.

В заключение найдем условие, при котором будет отсутствовать проскальзывание при качении тела. Пусть наше тело – цилиндр. Для него момент инерции . Если проскальзывания нет, то ускорение поступательного движения цилиндра при скатывании известным образом связано с угловым ускорением : . Подставив эти определения в уравнения (7.8) и (7.9), получим из этих уравнений выражение для сил трения

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *