Экспоненциальная запись

Экспоненциальная формы представления информации

Для представления очень маленьких или очень больших чисел их стандартное позиционное представление становится нечитаемым и трудно употребимым для проведения вычислительных действий над такими числами.

Пример: Вот трудночитаемые числа: 0,0000000000000000015567либо 1542825000000000000000.

В этом случае для записи подобных чисел применяется так называемая экспоненциальная форма записи в виде двух составляющих — мантиссы и экспоненты, причем основание экспоненты может быть любое, в том числе и основание системы счисления.

Пример: Используя числа предыдущего примера запишем их в экспоненциальном виде при использовании в качестве основания числа 10:1,5567×10-18длямалых чисел и 1,542 825 ×1021для больших.

Существует две основных экспоненциальной формы записи числа. В первой из них мантисса записывается в виде значащих цифр с произвольным местоположением запятой, отделяющей целую часть от дробной, а экспонента записывается как определенная степень основания системы счисления. Во втором случае признаком экспоненциальной формы представления числа является нахождение в записи символа Е, отделяющего мантиссу от экспоненты (точнее от порядка этой экспоненты).

Пример: Числа в стандартной экспоненциальной записи имеют вид 1,5567Е-18 или 1,542 825Е21.

Однако, существуют определенные рекомендации по формату экспоненциального представления чисел. Вот они:

Рекомендация. Для научного (SCIENTIFIC) формата вывода числа в экспоненциальной форме для мантиссы Mдолжно выполняться неравенство 0 < |M| < 1; значение порядка P любое целое; а для инженерного(ENGINEERING) формата вывода числа в экспоненциальной форме —мантисса Mформируется с целой и дробной (если необходимо) частями, причем целая часть содержит не более трех значащих цифр так, чтобы значение порядка P было равным максимальному возможному числу, кратному трем.

Пример: Пусть дано число 31450000. Тогда запись 0,3145Е8 соответствует научному формату, а запись 31,45Е6 — инженерному формату экспоненциальной записи числа 31450000.

Отображение чисел в экспоненциальном виде (экспоненциальное представление)

Примечание: Мы стараемся как можно оперативнее обеспечивать вас актуальными справочными материалами на вашем языке. Эта страница переведена автоматически, поэтому ее текст может содержать неточности и грамматические ошибки. Для нас важно, чтобы эта статья была вам полезна. Просим вас уделить пару секунд и сообщить, помогла ли она вам, с помощью кнопок внизу страницы. Для удобства также приводим .

Экспоненциальный формат отображает число в экспоненциальном представлении, заменяя часть числа на e +n, в которой e (экспонента) умножает предшествующее число на 10 в n-ом. Например, в экспоненциальном формате с двумя десятичными форматами 12345678901 в качестве 1.23 E + 10, что 1,23 подает 10 в десятый источник.

Чтобы применить экспоненциальный формат к числу, выполните указанные ниже действия.

  1. Выделите ячейки, которые нужно отформатировать. Дополнительные сведения можно найти в разделе выделение ячеек, диапазонов, строк и столбцов на листе.

    Совет: Чтобы отменить выделение ячеек, щелкните любую ячейку на листе.

  2. На вкладке Главная нажмите кнопку » Дополнительно » рядом с кнопкой » число».

  3. В списке Категория выберите пункт инженерный.

  4. С помощью маленьких стрелок укажите число десятичных знаков, которое вы хотите отобразить.

    Совет: Число, которое находится в активной ячейке выделенной ячейки на листе, отображается в поле образец , чтобы можно было просмотреть выбранные параметры форматирования чисел.

Также следует помнить, что:

  • Чтобы быстро отформатировать число в экспоненциальном представлении, в поле числовой формат (вкладкаГлавная , группа число ) выберите пункт инженерный . По умолчанию для экспоненциального представления используется два десятичных знака.

  • Формат не влияет на фактическое значение в ячейке, которое Excel использует при вычислениях. Фактическое значение может быть показано в строка формул.

  • Максимальная точность числа составляет 15 цифр, поэтому фактическое значение, указанное в строке формул, может измениться для больших чисел (более 15 цифр).

  • Чтобы сбросить числовой формат, выберите пункт Общие в поле числовой формат (вкладкаГлавная , группа число ). В ячейках, отформатированных с использованием общего формата, не используется определенный числовой формат. Однако в общем формате используется экспоненциальное представление для больших чисел (не более 12 цифр). Чтобы удалить экспоненциальное представление из большого числа, можно применить другой числовой формат, например число.

Экспоненциальная запись

Экспоненциа́льная за́пись — представление действительных чисел в виде мантиссы и порядка. Удобна при представлении очень больших и очень малых чисел, а также для унификации их написания.

, где

  • N — записываемое число;
  • M — мантисса;
  • n — основание показательной функции;
  • p (целое) — порядок;
  • — характеристика числа.

Примеры:

1 000 000 (один миллион): ; N = 1 000 000, M = 1,0, n = 10, p = 6.

1 201 000 (один миллион двести одна тысяча): ; N = 1 201 000, M = 1,201, n = 10, p = 6.

−1 246 145 000 (минус один миллиард двести сорок шесть миллионов сто сорок пять тысяч): ; N = −1 246 145 000, M = −1,246145, n = 10, p = 9.

0,000001 (одна миллионная):; N = 0,000001, M = 1,0, n = 10, p = −6.

0,000000231 (двести тридцать одна миллиардная):; N = 0,000000231, M = 2,31, n = 10, p = −7.

Нормализованная запись

Любое данное число может быть записано в виде многими путями; например 350 может быть записано как или или .

В нормализованной научной записи, порядок выбирается такой, чтобы абсолютная величина оставалась не меньше единицы, но строго меньше десяти (). Например, 350 записывается как . Этот вид записи позволяет легко сравнивать два числа.

В инженерной нормализованной записи (в том числе в информатике), мантисса обычно выбирается в пределах : .

В некоторых калькуляторах, как опция, может быть использована запись с мантиссой и с порядком, кратным 3, так, например, записывается как . Такая запись проста для чтения ( легче прочесть, как «640 миллионов», чем ) и удобна для выражения физических величин в единицах измерения с десятичными приставками: кило-, микро-, тера- и т. д.

Компьютерный способ экспоненциальной записи

В этой главе принимается, что n=10 (десятичная система счисления).

На компьютере (в частности в тексте компьютерных программ) экспоненциальную запись записывают в виде MEp, где:

M — мантисса,

E (exponent) — буква E, означающая «*10» («…умножить на десять в степени…») (в отечественной практике иногда используют букву Ю, похожую на 10, чтобы не спутать с экспонентой),

p — порядок.

Например:

(это элементарный заряд);

(это Постоянная Больцмана);

(это число Авогадро).

В программировании часто используют символ «+» для неотрицательного порядка и ведущие нули, а в качестве десятичного разделителя — точку:

Для улучшения читаемости иногда используют строчную букву e:

Ссылки

  • Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой (рус.) — Хабрахабр

Для улучшения этой статьи по математике желательно?:

  • Викифицировать статью.
  • Добавить иллюстрации.
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Субтитры

Здравствуйте! Ни для кого не секрет, что тот, кто занимается наукой (не имеет значения какой: биологией, химией, физикой), имеет дело с множеством цифр. И в основном это очень большие числа. Или же очень маленькие числа. Как можно представить себе это очень большое число? Например, если я спрошу вас: «Из скольких атомов состоит тело человека?» Или «Сколько всего клеток в теле человека?», или «Какая масса Земли в килограммах?» Это очень большие значения. А вот если бы я спросила вас: «Чему равна масса электрона?» – То в ответ я бы услышала очень маленькое число. Итак, в любой науке есть вот такие числа. А сейчас я покажу вам самую известную постоянную в химии и физике. Это число Авогадро. Давайте его запишем как обычное число (в десятичном виде), а не в экспоненциальной форме. Итак 6, 0, 2, 2 и еще 20 нулей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. И даже если я поставлю точки, то вряд ли это как-то спасет ситуацию. Едва ли мы сможем прочитать это число. Это просто огромное число. И если вдруг нам нужно будет провести вычисления с этим числом, то на это у нас уйдет очень много времени. А что, если я случайно пропущу один 0, или же запишу больше нулей, чем нужно? Тогда я сама себе не завидую, ведь все вычисления нужно будет начинать заново. Из этого всего следует вопрос: «А существует ли лучший способ записи этого числа, намного короче?» Как можно 6 и еще 23 цифры записать по-другому? Или как можно 6, 0, 2, 2 и 20 нулей представить в другом виде? Сейчас я отвечу на эти вопросы. И если вам интересно, то число Авогадро – это количество атомов, которое содержится в 12 граммах углерода-12. Теперь вы можете представить, сколько атомов находится в таком маленьком количестве вещества. Это просто огромное число. Итак, как можно по-другому записать это число? Самый лучший и простой способ записи вот таких чисел называется экспоненциальной записью. Запишем: экспоненциальная запись. И поверьте мне на слово (вообще-то вы скоро сами в этом убедитесь), с числами, представленными в экспоненциальной форме, гораздо легче и приятнее иметь дело. Но прежде чем записать число Авогадро в экспоненциальном виде, давайте кое-что вспомним. Чему равно 10^0? Это 1. А чему равно 10^1? Это 10. А 10^2 чему равно? Это то же, что и 10*10, то есть 100. Чему равно 10^3? 10^3 мы можем записать в виде произведения 10*10*10, а это равно 1000. Теперь давайте посмотрим, что здесь происходит. Обратите внимание на то, что в значении 10^0 нет ни одного нуля. В значении 10^1 есть один 0. В 10^2 – два нуля. И, наконец, в 10^3 – три нуля. Думаю, это всем понятно. Если мы возведем 10 в сотую степень, то как будет выглядеть результат? Не пугайтесь! Конечно же, я не буду полностью записывать это значение. Просто скажу, что это будет 1 с огромным количеством нулей. И если мы подсчитаем все эти нули, то получим 100. Получается, что в значении 10^100 всего сто нулей. А знаете ли вы, как это число называется? Это гугол. Если бы в начале девяностых вы услышали слово «гугол», то вряд ли б вы тогда подумали о поисковой системе, вы бы подумали о числе 10^100. Это больше, чем известное количество атомов во Вселенной, которое мы можем наблюдать, согласно некоторым теориям. Наверное, вы спросите: «А чему же равняется это известное количество атомов во Вселенной?» Насколько я помню, это число находится между значениями 10^79 и 10^81. Это, конечно же, приблизительное значение. Точного количества никто не может назвать. Как вы могли убедиться, гугол – это просто невероятно большое число. И именно от этого числа произошло название очень популярной системы «Гугл». Произносятся и пишутся эти два слова почти одинаково. И, честно говоря, я не знаю, откуда у основателей появилась идея назвать поисковик «Гугл». Возможно, просто так решили, или же именно такое количество байт информации обрабатывает эта система. Или же это любимое число одного из основателей. Не знаю, не буду гадать. Итак, гугол – это 1 с сотней нулей. Но согласитесь, лучше записать это 10^100. Так проще. Попробуйте записать это число в обычном (десятичном) виде, без степени. На это уйдет очень много времени и терпения. Гораздо лучше записать число вот так. Здесь все понятно, 1 с сотней нулей – это 10^100. А как быть с другими числами? Как мы можем с помощью степени упростить запись, например, вот такого числа? Давайте подумаем. Сколько всего разрядов в числе Авогадро после 6? Посчитаем: 1, 2, 3 и 20 нулей – всего 23 разряда после 6. А что, если мы приблизим эти 23 цифры (разряда) к степени 10? Что, если мы запишем 10^23? Чему это равно? Это равно 1 с 23 нулями. Запишем эти 23 нуля: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23. Это 10^23. А можем ли мы число Авогадро записать как что-то, умноженное на 10^23? Конечно, можем. Это будет 6 и еще 23 нуля. Вот здесь должны быть 23 нуля. Все, что я сделала, так это умножила 6 на вот это огромное число. А как умножать числа на степени 10, вы знаете. Умножаем 6 на 1, это равно 6, и дописываем еще 23 нуля. Это будет 6 с 23 нулями. Но это не совсем наше число, число Авогадро. У нас тут еще есть две двойки. А что, если мы умножим 10^23 на десятичную дробь с 6 в целой части? Это число было бы равнозначно этому числу, если бы здесь вместо двух двоек были нули. А почему бы нам не поставить после 6 десятичную запятую и записать 0 и эти двойки. Мы можем сказать, что это то же, что и 6,022 умножить на 10^23. Теперь это число равнозначно этому числу, однако эта запись намного лучше. Можете, конечно, проверить, что это действительно наше число Авогадро, но на это у нас уйдет много времени. Можно сначала выполнить такую проверку на меньших числах. Но если вы все же умножите 6,022 на 10^23, то на самом деле получите число Авогадро. Возможно, вам сейчас кажется, что это очень сложно и непонятно, однако это всего-навсего другая запись числа и не более того. Конечно, здесь есть и знак умножения, и 10 в степени. Но на самом деле ничего сложного здесь нет. Посмотрев на число в таком виде, вы сразу можете сказать, сколько в числе нулей. И как вы видите, экспоненциальная запись числа намного короче обычной. Давайте рассмотрим еще несколько чисел, гораздо меньших числа Авогадро. Я выбрала первым для примера именно это число, потому что хотела, чтобы вы увидели, насколько важна экспоненциальная запись числа. Ведь вам не нужно каждый раз записывать вот такое количество нулей. Теперь рассмотрим несколько других чисел и попробуем записать их в экспоненциальной форме. Итак, пусть первое число будет 7345. Как мы можем представить это число, так сказать, в тысячах? Мы знаем (и это записано у нас вот здесь), что 10^3=1000. 10^3 – это самая большая степень 10, которая содержится в этом числе. Здесь у нас 7000. Другими словами, наибольший разряд этого числа – это разряд тысяч. Это 7000 и еще 0,3 тысячи, и еще 0,04 тысячи, и еще 0,005 тысячи. Итак, это будет 7,345 умножить на 10^3. Ведь 7345 – это не что иное, как 7000 плюс… 0,3*1000=300. 0,04 умножить на 1000 – это 40. И 0,005 умножить на 1000 – это 5. Таким образом, 7,345*1000=7.345. Итак, умножаем 7,345 на 1000. На нули мы не обращаем внимания, умножаем только 1 на 7345. Это будет 7, 3, 4, 5. И дописываем к ответу вот эти 3 нуля. В первом множителе у нас 3 цифры после запятой, следовательно, и в ответе отделяем запятой 3 цифры Вот здесь ставим десятичную запятую. Вот и все. 7,345*1000=7.345. Рассмотрим еще несколько чисел. Допустим, нам нужно 6 записать в экспоненциальной форме. Конечно, нет необходимости записывать это число в экспоненциальном виде, но давайте это сделаем просто так, ради любопытства. Какая самая большая степень 10 в числе 6? Это 1. Итак, мы можем записать, что это что-то, умноженное на 10^0, ведь 10^0 – это и есть 1. А на что нам нужно умножить 1, чтобы получить 6? Ну, конечно же, на 6. Значит, в экспоненциальной форме число 6 будет выглядеть как 6*(10^0). В данном случае обычная (десятичная) запись числа гораздо проще. Этим примером я хотела показать, что в экспоненциальном виде можно представить абсолютно любое число. В начале видео я говорила, что в науке используются как очень большие, так и очень маленькие числа. Давайте в этот раз возьмем очень маленькое число. Пусть это будет 0 целых, 1, 2, 3, 4, 5 нулей и 7. Согласитесь, с числом в таком виде не так просто иметь дело. Как же нам записать его в экспоненциальной форме, в виде произведения какого-то числа и степени 10? До этого мы имели дело с положительными показателями степени 10. Но мы можем представить число в экспоненциальной форме и с помощью степеней 10 с отрицательными показателями. Мы знаем, что 10^0=1. А вот 10^(-1)=1/10. Или же это 0,1. 10^(-2) — это то же, что и 1/(10^2), а это 1/100, или 0,01. 10^(-3)=1/(10^3), а это 1/1000, или 0,001. Обратите внимание, в показателе степени у нас -3, и именно 3 знака после запятой в значении этой степени. В значении 10^(-3) только 2 нуля после запятой, но 3 знака после запятой. Какую степень 10 мы используем для записи этого числа в экспоненциальном виде? Сколько всего знаков после запятой у этого числа? Давайте посчитаем: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Значит, умножать мы будем на 10^(-6). 10^(-6) – это 0 целых и еще 6 знаков после запятой. А это значит, что на шестом месте должна быть 1. Поэтому записываем 5 нулей и 1. Это 10^(-6). А это у нас 7 умножить на 10^(-6). Если мы умножим это значение на 7, то получим… 7*1=7. И после запятой у нас 6 знаков. В произведении также должно быть 6 знаков после запятой. 10^(-6) умножить на 7, как видите, на самом деле равно нашему числу. Таким образом, в экспоненциальной форме это число будет выглядеть как 7 умножить на вот это значение, но это число не лучше этого, однако его мы можем записать как 10^(-6). Значит, это будет 7*10^(-6). А что, если бы у нас здесь было еще и 3 после 7. Что бы мы тогда делали? Какая первая цифра, отличная от 0? Это 7. Это самый большой разряд, в котором находится цифра, отличная от 0. Пожалуй, лучше я возьму другое число, похожее на это. Пусть это будет число 0,0000516. Давайте запишем его в экспоненциальной форме. Посмотрим, где у нас первая цифра, отличная от 0. Вот она. Это 5. Посчитаем количество цифр после запятой до 5 включительно: 1, 2, 3, 4, 5. Это равно 5,16… Мы записываем 5, затем ставим запятую и записываем другие цифры, которые следуют за цифрой 5. Итак, это будет 5,16 умножить на 10… а показатель степени будет со знаком минус, и равен он будет количеству цифр после запятой до первой цифры, отличной от 0, включительно. Всего цифр у нас 5. Значит, это будет 10^(-5). Что мы здесь сделали? Мы посчитали количество цифр после запятой до первой цифры, отличной от 0, включительно, и вот таким образом получили показатель степени 10. Только перед показателем мы еще ставим знак минус. Именно так мы и получаем вот этот множитель, 10^(-5). Сколько тут цифр после запятой до 5 включительно? 1, 2, 3, 4, 5. Первую цифру числа, отличную от 0 (в данном случае это 5), мы также считаем. То же самое мы делали и с предыдущим числом. Рассмотрим еще одно число. Пусть это будет 0 целых, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 1, 9, 2. Очень громоздкое число, не так ли? Можно случайно пропустить один 0, или же наоборот, записать больше нулей, чем нужно. А это может дорого стоить, если вы работаете над каким-то научным проектом, или выписываете лекарство пациенту, или, может, еще что-то очень важное делаете . Поэтому для удобства лучше записать это число в экспоненциальной форме. Как же мы это сделаем? Начинаем мы с первой цифры числа, отличной от 0. Вот она. Именно эту цифру мы записываем первой, затем ставим десятичную запятую и переписываем все цифры, идущие за этой восьмеркой. Итак, это будет 8,192 умножить на 10 в какой степени? Чтобы это выяснить, нужно лишь посчитать количество знаков после запятой до первой цифры числа, отличной от 0, включительно, то есть до 8. Просто считаем количество знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Эту 8 мы также считаем. Здесь должно быть 10^(-10). Думаю, вы со мной согласитесь, что в таком виде число намного легче записать, чем в таком. Ну, а сейчас вы еще раз убедитесь в том, что экспоненциальная запись числа – это действительно очень полезная вещь. Давайте выполним некоторые вычисления с числами в экспоненциальной форме. Пусть нам нужно, например, перемножить числа 0,005 и 0,0008. На самом деле перемножить числа и в таком виде не так уж и трудно. Однако, иногда вместо таких множителей могут быть и более громоздкие числа, например, числа с 20 или даже 30 нулями после запятой. Давайте упростим себе задачу и запишем оба множителя в экспоненциальной форме. Чему в таком случае будет равен первый множитель? Он будет равен 5 умножить на 10 в какой степени? Считаем цифры после запятой до первой цифры числа, отличной от 0: 1, 2, 3. Итак, здесь должно быть 10^(-3). А вот это число мы запишем как 8 умножить на 10… Простите, я забыла дописать минус перед показателем степени 10… Умножить на 10^(-3). Это очень важно. Ведь если мы умножим 5 на 10^3, то получим 5000, а это отнюдь не наше число. Здесь нужно быть очень внимательными. А как будет выглядеть экспоненциальная запись второго множителя? Здесь у нас 1, 2, 3, 4 цифры после запятой до первой цифры, отличной от 0, включительно. Значит, это будет 8*10^(-4). Таким образом, нам нужно 5*(10^(-3)) умножить на 8*(10^(-4)). Произведение наших чисел мы можем записать вот так. А поскольку порядок при умножении не имеет значения (вспоминаем переместительный закон умножения), то также мы можем записать, что это 5*8*(10^(-3))*(10^(-4)). А чему равно 5 умножить на 8? 5*8=40. Значит, это будет 40*(10^(-3))*(10^(-4)). А из свойств степеней мы знаем, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складывают, а основание оставляют прежним. Это значит, что мы должны просто сложить вот эти два показателя степени. Таким образом, это будет равно 40*(10^(-7)). Рассмотрим еще один подобный пример. Нам нужно умножить число Авогадро… вы уже знаете, что оно равно 6,022*(10^23). И это число, допустим, мы умножаем на очень маленькое число. Пусть это будет 7,23*(10^(-22)). Это действительно очень маленькое число. Только представьте, 0 целых, потом идет десятичная запятая, 21 ноль, 7, 2 и 3. А что, если бы нам нужно было перемножить эти два числа в обычном (десятичном) виде? Это был бы просто какой-то кошмар. Однако в экспоненциальном виде перемножить эти два числа совсем несложно. Перепишем еще раз это произведение: 6,022*(10^23)*7,23*(10^(-22)). Как и в предыдущем произведении, мы можем поменять порядок. Это то же, что и 6,022*7,23… это мы записали произведение первых частей чисел в экспоненциальной форме. Далее все это мы умножаем еще на (10^23)*(10^(-22)). Значение этой части выражения нужно будет вычислить в столбик. Это будет примерно 43 целых. А вот с этой частью выражения все просто. Первое произведение мы оставим в таком виде, как оно есть (предлагаю вам самостоятельно найти, чему оно равно), а вместо второго произведения мы запишем… Чтобы перемножить (10^23) и (10^(-22)), нужно всего-лишь сложить показатели степеней, а основания оставить те же. Это будет 10^1… И первую часть мы переписываем без изменений. Вы самостоятельно потом посчитаете, чему это равно. Это примерно равно 43 умножить на 10^1, или же это примерно равно 430. Я советую вам самостоятельно вычислить точное значение этого произведения. Надеюсь, теперь вы понимаете, насколько важна и полезна экспоненциальная форма для очень больших и для очень маленьких чисел. Она не только облегчает запись самого числа, но и делает вычисления с такими числами проще. А на этом все! До скорых встреч!

Экспоненциа́льная за́пись — представление действительных чисел в виде мантиссы (дробной части логарифма числа) и порядка. Удобна при представлении очень больших и очень малых чисел, а также для унификации их написания.

N = M ⋅ n p {\displaystyle N=M\cdot n^{p}} , где

  • N — записываемое число;
  • M — мантисса;
  • n — основание показательной функции;
  • p (целое) — порядок;
  • n p {\displaystyle n^{p}} — характеристика числа.

Примеры:

1 000 000 (один миллион): 1 , 0 ⋅ 10 6 {\displaystyle 1{,}0\cdot 10^{6}} ; N = 1 000 000, M = 1,0, n = 10, p = 6.

1 201 000 (один миллион двести одна тысяча): 1,201 ⋅ 10 6 {\displaystyle 1{,}201\cdot 10^{6}} ; N = 1 201 000, M = 1,201, n = 10, p = 6.

−1 246 145 000 (минус один миллиард двести сорок шесть миллионов сто сорок пять тысяч): − 1,246 145 ⋅ 10 9 {\displaystyle -1{,}246145\cdot 10^{9}} ; N = −1 246 145 000, M = −1,246145, n = 10, p = 9.

0,000001 (одна миллионная): 1 , 0 ⋅ 10 − 6 {\displaystyle 1{,}0\cdot 10^{-6}} ; N = 0,000001, M = 1,0, n = 10, p = −6.

0,000000231 (двести тридцать одна миллиардная): 231 ⋅ 10 − 9 = 2 , 31 ⋅ 100 ⋅ 10 − 9 = 2 , 31 ⋅ 10 2 ⋅ 10 − 9 = 2 , 31 ⋅ 10 − 9 + 2 = 2 , 31 ⋅ 10 − 7 {\displaystyle 231\cdot 10^{-9}=2{,}31\cdot 100\cdot 10^{-9}=2{,}31\cdot 10^{2}\cdot 10^{-9}=2{,}31\cdot 10^{-9+2}=2{,}31\cdot 10^{-7}} ; N = 0,000000231, M = 2,31, n = 10, p = −7.

Любое данное число может быть записано в виде a ⋅ 10 b {\displaystyle a\cdot 10^{b}} многими путями; например 350 может быть записано как 3 , 5 ⋅ 10 2 {\displaystyle 3{,}5\cdot 10^{2}} или 35 ⋅ 10 1 {\displaystyle 35\cdot 10^{1}} .

В нормализованной научной записи порядок b {\displaystyle b} выбирается такой, чтобы абсолютная величина a {\displaystyle a} оставалась не меньше единицы, но строго меньше десяти ( 1 ≤ | a | < 10 {\displaystyle 1\leq |a|<10} ). Например, 350 записывается как 3 , 5 ⋅ 10 2 {\displaystyle 3{,}5\cdot 10^{2}} . Этот вид записи, называемый также стандартным видом, позволяет легко сравнивать два числа. Кроме того, он удобен для десятичного логарифмирования: целая часть логарифма, записанного «в искусственной форме», равна порядку числа, дробная часть логарифма определяется из таблицы только по мантиссе, что было крайне важным до массового распространения калькуляторов в 1970-х годах.

В инженерной нормализованной записи (в том числе в информатике), мантисса обычно выбирается в пределах 0 , 1 < | a | ⩽ 1 {\displaystyle 0{,}1<|a|\leqslant 1} : 350 = 0 , 35 ⋅ 10 3 {\displaystyle 350=0,35\cdot 10^{3}} .

В некоторых калькуляторах, как опция, может быть использована запись с мантиссой 1 ≤ | a | < 1000 {\displaystyle 1\leq |a|<1000} и с порядком, кратным 3, так, например, 3 , 52 ⋅ 10 − 8 {\displaystyle 3{,}52\cdot 10^{-8}} записывается как 35 , 2 ⋅ 10 − 9 {\displaystyle 35{,}2\cdot 10^{-9}} . Такая запись проста для чтения ( 640 ⋅ 10 6 {\displaystyle 640\cdot 10^{6}} легче прочесть, как «640 миллионов», чем 6 , 4 ⋅ 10 8 {\displaystyle 6{,}4\cdot 10^{8}} ) и удобна для выражения физических величин в единицах измерения с десятичными приставками: кило-, микро-, тера- и так далее.

Экспоненциальная запись числа в компьютере

Представление чисел в приложениях

Основная масса прикладных программ для компьютера обеспечивает представление чисел в удобной для восприятия человеком форме, т.е. в десятичной системе счисления.

На компьютере (в частности в языках программирования высокого уровня) числа в экспоненциальном формате (его ещё называют научным) принято записывать в виде MEp, где:

M — мантисса,

E (от англ. «exponent») — буква «E», означающая «·10» («…умножить на десять в степени…»),

p — порядок.

Например:

1,602176565E-19 = 1,602 176565 ⋅ 10 − 19 {\displaystyle {\text{1,602176565E-19}}=1{,}602176565\cdot 10^{-19}} (элементарный заряд в Кл);

1,380650424E-23 = 1,380 650424 ⋅ 10 − 23 {\displaystyle {\text{1,380650424E-23}}=1{,}380650424\cdot 10^{-23}} (Постоянная Больцмана в Дж/К);

6,02214129E23 = 6,022 14129 ⋅ 10 23 {\displaystyle {\text{6,02214129E23}}=6{,}02214129\cdot 10^{23}} (число Авогадро).

В программировании часто используют символ «+» для неотрицательного порядка и ведущие нули, а в качестве десятичного разделителя — точку:

1.048576E+06 = 1 048 576 ; 3.14E+00 = 3 , 14 {\displaystyle {\text{1.048576E+06}}=1\,048\,576;~{\text{3.14E+00}}=3,14} .

Для улучшения читаемости иногда используют строчную букву e: 6,02214129e23 {\displaystyle {\text{6,02214129e23}}}

ГОСТ 10859-64 «Машины вычислительные. Коды алфавитно-цифровые для перфокарт и перфолент» (англ.) вводил специальный символ для экспоненциальной записи числа «⏨», представляющий собой число 10, написанное мелким шрифтом на уровне строки. Такая запись должна была использоваться в АЛГОЛе. Этот символ включён в Unicode 5.2 с кодом U+23E8 «Decimal Exponent Symbol». Таким образом, например, современное значение скорости света могло быть записано как 2.99792458⏨+08 м/с.

Внутренний формат представления чисел

Внутренний формат представления вещественных чисел в компьютере тоже является экспоненциальным, но основанием степени выбрано число 2 вместо 10. Это связано с тем, что все данные в компьютере представлены в двоичной форме (битами). Под число отводится определённое количество компьютерной памяти (часто это 4 или 8 байт). Там содержится следующая информация.

  • Знаковый бит (он обычно занимает старшее место), который указывает знак числа. Установленный бит говорит о том, что число отрицательное (исключение может составлять число ноль — иногда он тоже может иметь установленный знаковый бит).
  • Порядок — целое число, которое задаёт нужную степень двойки. Обычно это не истинная величина порядка, а сдвинутая на некоторую константу таким образом, чтобы число было неотрицательным. Так, наименьший возможный порядок (он отрицательный) представлен числом 0.
  • Мантисса (обычно за исключением старшего бита, который всегда установлен в нормализованном числе).

Более подробно форматы представления чисел описаны стандартом IEEE 754-2008.

Примечания

  • Что нужно знать про арифметику с плавающей запятой (рус.) — Хабрахабр
Для улучшения этой статьи по математике желательно:

  • Викифицировать статью.
  • Добавить иллюстрации.
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.

В этой главе принимается, что n=10 (десятичная система счисления).

На компьютере (в частности в тексте компьютерных программ) экспоненциальную запись записывают в виде MEp, где:

M — мантисса,

E (exponent) — буква E, означающая «*10» («…умножить на десять в степени…»),

p — порядок.

Например:

1,602176565E-19 = 1,602 176565 ⋅ 10 − 19 {\displaystyle {\text{1,602176565E-19}}=1{,}602176565\cdot 10^{-19}} (элементарный заряд в Кл);

1,380650424E-23 = 1,380 650424 ⋅ 10 − 23 {\displaystyle {\text{1,380650424E-23}}=1{,}380650424\cdot 10^{-23}} (Постоянная Больцмана в Дж/К);

6,02214129E23 = 6,022 14129 ⋅ 10 23 {\displaystyle {\text{6,02214129E23}}=6{,}02214129\cdot 10^{23}} (число Авогадро).

В программировании часто используют символ «+» для неотрицательного порядка и ведущие нули, а в качестве десятичного разделителя — точку:

1.048576E+06 = 1 048 576 ; 3.14E+00 = 3 , 14 {\displaystyle {\text{1.048576E+06}}=1\,048\,576;~{\text{3.14E+00}}=3,14} .

Для улучшения читаемости иногда используют строчную букву e: 6,02214129e23 {\displaystyle {\text{6,02214129e23}}}

ГОСТ 10859-64 «Машины вычислительные. Коды алфавитно-цифровые для перфокарт и перфолент» (англ.) вводил специальный символ для экспоненциальной записи числа «⏨», представляющий собой число 10, написанное мелким шрифтом на уровне строки. Такая запись должна была использоваться в АЛГОЛе. Этот символ включён в Unicode 5.2 с кодом U+23E8 «Decimal Exponent Symbol». Таким образом, например, современное значение скорости света могло быть записано как 2.99792458⏨+08 м/с.

Экспоненциальная форма записи чисел.

Экспоненциальная форма представления чисел обычно используется для записи очень больших или очень малых чисел, кот в естественной форме содержат большое количество незначащих нулей (1 000 000 = 1·106). Вещественные числа (конечные и бесконечные десятич. дроби) записываются в формате с плавающей запятой, т.е. положение запятой в числе может меняться.

Формат чисел с плавающей запятой: A = m · q n

m – мантисса числа q – основание системы счисления n – порядок числа

например:

Естественная форма Экспоненциальная форма
десятичная система счисления 16000000000000000 = 1,6 ·10 16 0,00000000000000016 = 1,6 ·10 -16
двоичная система счисления 11000000000000000 = 1,1 ·2 16 0,00000000000000011 = 1,1 ·2 -16

Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенный для хранения порядка числа, точностьопределяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Нормализованная мантисса.

Прежде чем сохранить двоичное значение с плавающей запятой, необходимо нормализовать мантиссу.Этот процесс похож на нормализацию десятичного значения с плавающей запятой. Например, значение 1234.567 будет нормализовано, как 1.234567 x 103 путем перемещения десятичной точки до одной цифры.Аналогично, значение 1101.101 нормализуется в 1.101101 x 23 путем перемещения десятичной точки и домножения. Вот несколько примеров:

Двоичное значение Нормализуется Экспонента
1101.101 1.101101 3
.00101 1.01 -3
1.0001 1.0001 0
10000011.0 1.0000011

Вы наверное заметили, что в нормализованной мантиссе цифра 1 всегда слева от десятичной точки.
При хранении значений, в мантиссе единица не прописывается, а подразумевается.

Экспоненты коротких реальных значений хранятся как 8-разрядные целые числа без знака, с уклоном 127.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *