Энергия пружины формула

Главная

Расчет пружин

10. Формулы и способы расчета пружин из стали круглого сечения по ГОСТ 13765-86 в ред. 1990г.

Пружина сжатия

Пружина растяжения

Наименование параметра

Обозначение

Расчетные формулы и значения

1. Сила пружины при предварительной деформации, Н

F1

Принимаются в зависимости от нагрузки пружины

2. Сила пружины при рабочей дефор­мации (соответствует наибольшему

принудительному перемещению под­вижного звена в механизме), Н

F2

3. Рабочий ход пружины, мм

h

4. Наибольшая скорость перемещения подвижного конца пружины при

нагружении или разгрузке, м/с

Vmax

5. Выносливость пружины, число цик­лов до разрушения

NF

6. Наружный диаметр пружины, мм

D1

Предварительно назначают с учетом конструкции узла. Уточняются по

таб­лицам ГОСТ 13766-86-ГОСТ 13776-86

7. Относительный инерционный зазор пружины сжатия. Для пружин

растя­жения служит ограничением макси­мальной деформации

δ

δ = 1-F2/F3. (1)

Для пружин сжатия классов I и IIδ=0,05…0,25; для пружин растяжения δ=0,05…0,10;

для одножильных пру­жин класса IIIδ=0,10…0,40; для трехжильных класса IIIδ=0,15…0,40

8. Сила пружины при максимальной деформации, Н

F3

F3=F2/(1-δ) (2)

Уточняется по таблицам ГОСТ 13766-86-ГОСТ 13776-86

9. Сила предварительного напряжения (при навивке из

холоднотянутой и термообработанной проволоки), Н

F0

F0= (0,1… 0,25) F3

10. Диаметр проволоки, мм

d

Выбирается по таблицам ГОСТ 13764-86-ГОСТ 13776-86

11. Диаметр трехжильного троса, мм

d1

12. Жесткость одного витка пружины, Н/мм

c1

13. Максимальная деформация одного витка пружины, мм

s’3 (при F0=0)

s»3 (при F0>0)

Выбирается по таблицам ГОСТ 13764-86-ГОСТ 13776-86

14. Максимальное касательное напря­жение пружины, Н/мм2

(Коэффициент k см. п. 35)

τ3

Назначается по табл. 2

ГОСТ 13764-86.

При проверке

Для трехжильных пружин

15. Критическая скорость пружины сжатия, м/с (Максимальная

скорость подвижного звена механизма vmax должна быть равна или

меньше vK, т.е. vK > vmax)

Для трехжильных пружин

16. Модуль сдвига, Н/мм2

G

Для пружинной стали G = 7,85·104

17. Динамическая (гравитационная) плотность материала, Н·с2/м4

Р

p = γ/g,

где g-ускорение свободного падения, м/с2; γ — удельный вес, Н/м3.

Для пружинной стали р = 8·103

18. Жесткость пружины, Н/мм

с

Для пружин с предварительным напря­жением

Для трехжильных пружин

19. Число рабочих витков пружины

n

n = c1/c (7)

20. Полное число витков пружины

n1

n1 = n+ n2, (8)

где n2 — число опорных витков

21. Средний диаметр пружины, мм

D

D = D1 – d = D2 + d

Для трехжильных пружин

D = D1– d1= D2+ d1(9a)

22. Индекс пружины

i

i = D/d (10)

Для трехжильных пружин

i= D/d1 (10а)

Рекомендуется назначать от 4 до 12

Наименование параметра

Обозначение

Расчетные формулы и значения

23. Коэффициент расплющивания троса в трехжильной пружине,

учиты­вающий увеличение сечения витка вдоль оси пружины после навивки

Δ

Для трехжильного троса с углом свивки β=24° определяется

по таблице, приведенной ниже

i

40

45

50

55

60

7,0 и

более

Δ

1,029

1,021

1,015

1,010

1,005

1,000

24. Предварительная деформация пружины, мм

s1

s1=F1/c (11)

25. Рабочая деформация пружины, мм

s2

s2= F2/c (12)

26. Максимальная деформация пру­жины, мм

s3

s3= F3/c (13)

27. Длина пружины при максималь­ной деформации, мм

l3

l3 = (n1 + 1 – n3)d, (14)

где n3 — число обработанных витков.

Для трехжильных пружин

l3 = (n + l)d1Δ. (14а)

Для пружин растяжения с зацепами

l3 = l0 + s3

28. Длина пружины в свободном со­стоянии, мм

l0

l0=l3+s3 (15)

29. Длина пружины растяжения без зацепов в свободном состоянии, мм

l0′

l0′ = (n1+1)d (15а)

30. Длина пружины при предварительной деформации, мм

1l

l1 = l0-s1. (16)

Для пружин растяжения

l1= l0+s1(16а)

31. Длина пружины при рабочей де­формации, мм

l2

l2=l0-s2. (17)

Для пружин растяжения

l2=l0+s2 (17а)

32. Шаг пружины в свободном состоянии, мм

t

t = s’3+d. (18)

Для трехжильных пружин t = s’3+d1Δ. (18а)

Для пружин растяжения t = d(18б)

33. Напряжение в пружине при пред­варительной деформации, Н/мм2

τ1

34. Напряжение в пружине при рабо­чей деформации, Н/мм2

τ2

35. Коэффициент, учитывающий кри­визну витка пружины

k

Для трехжильных пружин

где

36. Длина развернутой пружины (для пружин растяжения без зацепов), мм

l

37. Масса пружины (для пружин рас­тяжения без зацепов), кг

m

38. Объем, занимаемый пружиной (без учета зацепов пружины), мм3

V

39. Зазор между концом опорного вит­ка и соседним рабочим

витком пру­жины сжатия, мм

λ

Устанавливается в зависимости от формы опорного витка

40. Внутренний диаметр пружины, мм

D2

D2=D1-2d (25)

41. Временное сопротивление прово­локи при растяжении, Н/мм2

Rm

Устанавливается при испытаниях проволоки или

по ГОСТ 9389-75 и ГОСТ 1071-81

42. Максимальная энергия, накапли­ваемая пружиной,

или работа дефор­мации, МДж

Для пружин сжатия и растяжения без предварительного напряжения

для пружин растяжения с предварительным напряжением

Методика определения разме­ров пружин по ГОСТ 13765-86.

1. Исходными величинами для определения размеров пружин являются силы F1 и F2, ра­бочий ход h, наибольшая скорость перемеще­ния подвижного конца пружины при нагружении или при разгрузке vmах, выносливость NF и наружный диаметр пружины D1 (пред­варительный).

Если задана только одна сила F2, то вместо рабочего хода h для подсчета берут величину рабочей деформации s2, соответствующую заданной силе.

2. По величине заданной выносливости NF предварительно определяют принадлежность пружины к соответствующему классу по табл. 1.

3. По заданной силе F2 и крайним значени­ям инерционного зазора δ вычисляют по фор­муле (2) значение силы F3.

4. По значению F3, пользуясь табл. 2, пред­варительно определяют разряд пружины.

5. По табл. 11-17 находят строку, в кото­рой наружный диаметр витка пружины наибо­лее близок к предварительно заданному значе­нию D1. В этой же строке находят соответствующие значения силы F3 и диаметра прово­локи d.

6. Для пружин из закаливаемых марок ста­лей максимальное касательное напряжение τ3 находят по табл. 2, для пружин из холоднотя­нутой и термообработанной τ3 вычисляют с

учетом значений временного сопротивления Rm. Для холоднотянутой проволоки Rm опре­деляют из ГОСТ 9389-75, для термообрабо­танной — из ГОСТ 1071-81.

7. По полученным значениям F3 и τ3, a также по заданному значению F2 по формулам (5) и (5а) вычисляют критическую скорость vK и отношение vmax/vK, подтверждающее или

отрицающее принадлежность пружины к предварительно установленному классу.

При несоблюдении условий vmax/vK<1 пружины I и II классов относят к последую­щему классу или повторяют расчеты, изменив исходные условия. Если невозможно измене­ние исходных условий, работоспособность обеспечивается комплектом запасных пружин.

8. По окончательно установленному классу и разряду в соответствующей таблице на па­раметры витков пружин, помимо ранее най­денных величин F3, D1, и d, находят величины c1 и s3, после чего остальные размеры пружины и габариты узла вычисляют по формулам (6)… (25).

Примеры определения размеров пружин и формулы для проверочных расчетов жесткости и напряжений

Пример 1. Пружина сжатия.

Дано: F1 = 20Н; F2 = 80Н; h = 30мм; D1 = 10… 12мм; vmax = 5м/с; NF≥ 1 · 107.

По табл. 1 убеждаемся, что при заданной выносливости NF пружину следует отнести к классу 1.

По формуле (2), пользуясь интервалом зна­чений δ от 0,05 до 0,25 (см. п. 7 табл. 10), находим граничные значения силы F3, а именно:

В интервале от 84 до 107Н (ГОСТ 13766-86) пружин класса I, разряда 1 имеются сле­дующие силы F3: 85; 90; 95; 100 и 106Н (табл. 11).

Исходя из заданных размеров диаметра и стремления обеспечить наибольшую крити­ческую скорость, останавливаемся на витке со следующими данными (номер позиции 355):

F3 = 106Н; d = 1,80мм; D1 = 12мм; с1 = 97,05Н/мм; s’3= 1,092мм.

Учитывая, что для пружин класса I норма напряжений τ = 0,3Rm (см. табл. 2), находим, что для найденного диаметра проволоки из углеродистой холоднотянутой стали расчетное напряжение τ3 = 0,3·2100 = 630Н/мм2.

Принадлежность к классу I проверяем оп­ределением отношения vmax/vK, для чего предварительно определяем критическую ско­рость по формуле (5) при δ = 0,25:

Полученная величина свидетельствует о наличии соударения витков в данной пружине, и, следовательно, требуемая выносливость может быть не обеспечена. Легко убедиться, что при меньших значениях силы F3 отноше­ние vmax /vк будет еще больше отличаться от единицы и указывать на еще большую интен­сивность соударения витков.

Используем пружины класса II. Заданному наружному диаметру и найденным выше си­лам F3 соответствует виток с данными по ГОСТ 13770-86 (см. табл. 14, позиция 303): F3=95,0H; d=1,4мм; D1=11,5мм; с1=36,58Н/мм; s’3=2,597мм.

Учитывая норму напряжений для пружин класса IIτ3 = 0,5Rm, находим τ3 = 0,5×2300= 1150Н/мм2.

По формуле (2) вычисляем δ = 1-F2/F3 = 1 – 80/95 = 0,16 и находим vK и vmax /vK, с помощью которых определяем принадлеж­ность пружин ко II классу:

Полученная величина указывает на отсут­ствие соударения витков. Следовательно, вы­бранная пружина удовлетворяет заданным условиям. Пружины класса II относятся к разряду ограниченной выносливости, поэтому следует учитывать комплектацию машины запасными пружинами с учетом опытных данных.

Определение остальных размеров произво­дим по формулам табл. 10.

По формуле (6) находим жесткость пружины:

Число рабочих витков пружины определя­ем по формуле (7):

n= c1/c = 36,58/2,0 = 18,29 ≈ 18,5.

Уточняем жесткость пружины:

c = c1/n= 36,68/18,5 = 1,977 ≈ 2,0Н/мм.

При полутора нерабочих витках полное число витков находим по формуле (8):

n1 = n + n2 =18,5 + 1,5= 20.

По формуле (9) определяем средний диа­метр пружины:

D = 11,5 — 1,4 = 10,1мм.

Деформации, длины и шаг пружины вы­числяем по формулам (11)-(18):

На этом определение размеров пружины и габарита узла (размер li) заканчивается.

Следует отметить, что некоторое увеличе­ние выносливости может быть достигнуто при использовании пружины с большей величиной силы F3, чем найденная в настоящем примере. С целью выяснения габаритов, занимаемых такой пружиной, проведем анализ:

остановимся, например, на витке со сле­дующими данными по ГОСТ 13770-86 (см. табл. 14, позиция 313): F3 = 106Н; d = 1,4мм; D1 = 10,5мм; с1 = 50,01Н/мм; s3′ = 2,119мм.

Находим τ3 = 1150Н/мм2 и производим расчет в той же последовательности:

Очевидно, что у этой пружины создается большой запас на несоударяемость витков.

Далее в рассмотренном ранее порядке на­ходим

n= 50,01/2,0 = 25,01 ≈ 25,0.

Уточненная жесткость с =50,01/25,0 ≈ 2,0Н/мм;

Таким образом, устанавливаем, что приме­нение пружины с более высокой силой F3 хотя и привело к большему запасу на несоударяе­мость витков, но оно сопровождается увеличе­нием габарита узла (размер l1) на 15,3мм. Можно показать, что если выбрать виток с большим диаметром, например D1=16мм (см. табл. 14, номер позиции 314), то тогда потребуется расширить узел по диаметру, но при этом соответственно уменьшится размер l1.

Пример 2. Пружина сжатия.

Дано: F1 = 100Н; F2 = 250Н; h = 100мм; D1 = 15…25мм; vmax = 10м/с.

Независимо от заданной выносливости на основании формулы (5) можно убедиться, что при значениях 8, меньших 0,25 , все одножильные пружины, нагружаемые со скоростью vmax более 9,4м/с, относятся к III классу.

По формуле (2) с учетом диапазона значе­ний δ для пружин класса III от 0,1 до 0,4 находим границы сил F3:

Верхние значения силы F3, как видно из табл. 2, не могут быть получены из числа од­ножильных конструкций, поэтому с учетом коэффициентов δ = 0,15…0,40 для трехжильных пружин устанавливаем но­вые пределы F3, по формуле (2):

F3 = 294…417H.

Для указанного интервала в ГОСТ 13774-86 имеются витки со следующими силами F3: 300; 315; 335; 375 и 400Н (табл. 16а).

Исходя из заданных размеров диаметра и наименьших габаритов узла, предварительно останавливаемся на витке со следующими данными (номер позиции 252): F3 = 300Н; d=1,4мм; d1=3,10мм; D1 = 17мм; с1 = 50,93Н/мм; s’3 = 5,890мм.

Согласно ГОСТ 13764-86 для пружин класса IIIτ3 = 0,6Rm. Используя ГОСТ 9389-75, определяем напряжение для найденного диаметра проволоки:

τ3 = 0,6 · 2300 = 1380Н/мм3.

Принадлежность к классу проверяем путем определения величины отношения vmax/vK, для чего предварительно находим 8 и крити­ческую скорость по формулам (1), (2) и (5а):

Полученное неравенство свидетельствует о наличии соударения витков и о принадлежно­сти пружины к классу III.

Определение остальных параметров произ­водится по формулам табл. 10.

По формуле (6) находим жесткость:

Число рабочих витков пружины вычисля­ют по формуле (7):

Уточненная жесткость:

Полное число витков находят по формуле (8):

n1 = n + 1,5 = 34,0 + 1,5 = 35,5.

По формуле (9а) определяют средний диа­метр пружины:

D = D1 – d1 = 17 — 3,10 = 13,90мм.

Деформации, длины и шаг пружины нахо­дят по формулам табл. 10:

Проанализируем пружины, соответствую­щие трем ближайшим значениям F3, взятым из ГОСТ 13774-86 (пружины класса III, разряда 1) для рассмотренного случая (табл. 16а).

Вычисления, проделанные в аналогичном порядке, показывают, что для трех соседних сил F3 образуется шесть размеров пружин, удовлетворяющих требованиям по величине наружного диаметра. Сведения о таких пружинах приведены ниже.

F3,H

300

315

335

d, мм

1,4

1,6

1,4

1,6

1,4

1,6

d1, мм

3,10

3,50

3,10

3,50

3,10

3,50

D1, мм

17,0

24,0

16,0

22,0

15,0

21,0

vmax/vK

1,43

1,50

1,16

1,21

0,942

0,984

l0, мм

317,0

273,9

355,1

309,0

405,1

337,0

l1,мм

250,4

207,2

288,4

242,3

338,4

270,3

l2, мм

150,4

107,2

188,4

142,3

238,4

170,3

n1

36,0

20,0

44,5

27,0

56,0

31,0

V,мм3

57000

93000

58000

92000

60000

93000

Из этих данных следует, что с возрастани­ем F3 уменьшается отношение vmax/vK и, в ча­стности, может быть устранено соударение витков, но вместе с этим возрастают габариты по размерам l1.

С возрастанием диаметров пружин габари­ты по размерам 1Х уменьшаются, однако суще­ственно возрастают объемы пространств, за­нимаемые пружинами.

Следует отметить, что если бы для рас­сматриваемого примера, в соответствии с тре­бованиями распространенных классификаций, была выбрана пружина класса I, то при одинаковом диаметре гнезда (D1 ≈ 18мм) даже самая экономная из них потребовала бы длину гнезда l1 = 546мм, т.е. в 2,2 раза больше, чем рас­смотренная выше. При этом она была бы в 11,5 раза тяжелее и, вследствие малой критической скорости (vK = 0,7м/с), практически неработо­способной при заданной скорости нагружения 10м/с.

Пример 3. Пружина растяжения.

Дано: F1=250Н; F2=800Н; h=100мм; D1=28…32мм; NF≥ 1 · 105.

На основании ГОСТ 13764-86 по величине NF устанавливаем, что пружина относится к классу II (см. табл. 1.) По формуле (2) находим силы F3, соответствующие предельной деформации:

В интервале сил 842…889Н в ГОСТ 13770-86 для пружин класса II, разряда 1 (но­мер пружины 494) имеется виток со следую­щими параметрами: F3=850Н; D1=30мм; d = 4,5мм; с1 = 242,2Н/мм; s’3 = 3,510мм.

По заданным параметрам с помощью фор­мулы (6) определяем жесткость пружины:

Число рабочих витков находим по формуле (7):

Деформации и длины пружины вычисляют по формулам :

Размер l2 с учетом конструкций зацепов определяет длину гнезда для размещения пру­жины растяжения в узле.

Размер l3 с учетом конструкций зацепов ограничивает деформацию пружины растяже­ния при заневоливании.

Трехжильные пружины (угол свив­ки 24°).

Жесткость

где

Напряжение

Полученные значения жесткости должны совпадать с вычисленными по формуле (6).

Полученные значения напряжений должны совпадать с указанными в ГОСТ 13764-86 для соответствующих разрядов с отклонениями не более ±10%.

Общие формулы расчета

Коэффициент использования материала

Наружный диаметр пружины

D 1 = D + d

Где:

средний диаметр пружины

диаметр проволоки

Внутренний диаметр пружины

D 2 = D — d

Где:

средний диаметр пружины

диаметр проволоки

Рабочая деформация

H = L 8 1 = s 8 1

Где:

L 8

длина полностью нагруженной пружины

L 1

длина предварительно нагруженной пружины

s 8

деформация полностью нагруженной пружины

s 1

деформация предварительно нагруженной пружины

Высота зацепа пружины

Где:

L 0

длина пружины в свободном состоянии

L Z

длина части пружины с витками

Индекс пружины

c = D/d

Где:

средний диаметр пружины

диаметр проволоки

Поправочный коэффициент Валя

Где:

индекс пружины

Начальное растяжение

Где:

средний диаметр пружины

диаметр проволоки

τ 0

напряжение в свободном состоянии

K w

поправочный коэффициент Валя

Общая сила, действующая в пружине

Где:

средний диаметр пружины

диаметр проволоки

τ

напряжение при кручении – это усилие на единицу площади материала пружины при изгибе

K w

поправочный коэффициент Валя

модуль упругости материала пружины

обобщенная деформация пружины

количество активных витков

F 0

начальное растяжение пружины

Жесткость пружины

Где:

средний диаметр пружины

диаметр проволоки

модуль упругости материала пружины

обобщенная деформация пружины

количество активных витков

F 8

рабочее усилие в полностью нагруженной пружине

F 1

рабочее усилие в минимально нагруженной пружине

рабочая деформация

Расчет конструкции пружины

При проектировании пружины подбирается диаметр проволоки, количество витков и длина свободной пружины L 0 для заданной нагрузки, материала и сборочных размеров.

Если рассчитанная пружина не соответствует ни одному значению диаметра проволоки для данного напряжения τ 0 согласно формуле, расчет пружины повторяется с использованием скорректированного значения напряжения в свободном состоянии из рекомендуемого диапазона.

Пружине без начального растяжения соответствует средний рекомендуемый шаг витков t = 0,35 D .

Если рассчитанная пружина не соответствует ни одному значению диаметра проволоки для выбранного шага, расчет пружины повторяется с использованием скорректированного значения шага из рекомендуемого диапазона 0,3 D ≤ t ≤ 0,4 D .

Конструкция пружины определяется с учетом условия прочности τ 8 ≤ u s τ A и рекомендуемых диапазонов некоторых геометрических параметров пружины: L 0 ≤ D и L 0 ≤ 31,5 д и 4 ≤ D/d ≤ 16 и n ≥ 2.

Задание нагрузки, материала и сборочных размеров пружины

Вначале выполняется проверка входных величин для расчета.

Затем вычисляется длина пружины в свободном состоянии.

После расчета выбирается диаметр проволоки, количество витков и диаметры пружины – так, чтобы высота зацепа соответствовала выбранному типу зацепа, а также выполнялись прочностные и геометрические условия. Конструкция пружины должна удовлетворять по диаметрам всем заданным начальным условиям.

В ходе проектирования пружины отбираются все диаметры проволоки (от меньшего к большему), которые проходят по прочностным и геометрическим условиям. Проверяются высота зацепа и количество витков. Если ни одно из условий не нарушается, расчет конструкции завершается и текущие значения параметров принимаются в качестве его результатов, независимо от того как прошел бы расчет при других подходящих диаметрах проволоки.

Вычисленное значение высоты зацепа должно находиться в пределах d ≤ o ≤ 30 d. Комбинация диаметра проволоки, количества витков и диаметра пружины должна давать в итоге такую высоту зацепа, которая удовлетворяет его типу. Вначале в качестве типа зацепа берется полный виток, затем, если он не годится–полный виток внутри и т.д.

Задание нагрузки, материала и диаметра пружины

Вначале выполняется проверка входных величин для расчета.

После проверки выбирается диаметр проволоки, количество витков, длина пружины в свободном состоянии и сборочные размеры пружины – так, чтобы высота зацепа соответствовала выбранному типу зацепа. Кроме того, должны выполняться прочностные и геометрические условия. Если сборочный размер L 1 или L 8 взят из спецификации или значение рабочей деформации пружины ограничено, конструкция пружины должна соответствовать этому условию. В остальных случаях предельные значения сборочных размеров пружины и ее длины в свободном состоянии определяются геометрическими условиями для заданного диаметра пружины и минимального/максимального допустимого диаметра проволоки.

Формула для проектирования пружины по заданному диаметру проволоки.

где значение τ 8 = 0,85 τ A используется в качестве величины напряжения материала пружины при кручении в полностью нагруженном состоянии.

Если для данного диаметра проволоки не удается подобрать подходящую комбинацию размеров пружины, расчетная процедура оценивает другие диаметры проволоки. Они проверяются, начиная от меньшего к большему, до тех пор пока не будет достигнуто такое количество витков, при котором высота зацепа удовлетворяет всем условиям. Расчет конструкции завершается, и текущие значения параметров принимаются в качестве его результатов, независимо от того, как прошел бы расчет при других подходящих диаметрах проволоки. Таким образом, полученная пружина имеет минимально возможный диаметр проволоки и минимально возможное количество витков.

Вычисленное значение высоты зацепа должно находиться в пределах d ≤ o ≤ 30 d. Для высоты, вычисленной таким способом, выбирается соответствующий тип зацепа. Комбинация диаметра проволоки, количества витков, длины пружины в свободном состоянии и сборочных размеров пружины должна давать в итоге такую высоту зацепа, которая удовлетворяет его типу. Вначале в качестве типа зацепа берется полный виток, затем, если он не годится–полный виток внутри и т.д.

Задание максимального рабочего усилия, материала, сборочных размеров и диаметра пружины

Вначале выполняется проверка входных величин для расчета.

Затем подбирается диаметр проволоки, количество витков, длина свободной пружины и минимальное рабочее усилие F 1 таким образом, чтобы высота зацепа пружины соответствовала выбранному типу зацепа. Кроме того, должны выполняться упомянутые выше прочностные и геометрические условия.

Формула для проектирования пружины по заданному диаметру проволоки.

где значение τ 8 = 0,9 τ A используется в качестве величины напряжения материала пружины при кручении в полностью нагруженном состоянии.

Если для данного диаметра проволоки не удается подобрать подходящую комбинацию размеров пружины, расчетная процедура оценивает другие диаметры проволоки. Они проверяются, начиная от меньшего к большему, до тех пор пока не будет достигнуто такое количество витков, при котором высота зацепа удовлетворяет всем условиям. Расчет конструкции завершается, и текущие значения параметров принимаются в качестве его результатов, независимо от того, как прошел бы расчет при других подходящих диаметрах проволоки. Таким образом, полученная пружина имеет минимально возможный диаметр проволоки и минимально возможное количество витков.

Проверочный расчет пружины

Расчет соответствующих значений сборочных размеров и рабочего отклонения для указанной нагрузки, материала и размеров пружины.

Сначала проверяются расчетные входные значения. Затем на основании приведенных ниже формул вычисляются сборочные размеры.

Длина предварительно нагруженной пружины

Длина полностью нагруженной пружины

Где:

F 1

рабочее усилие в минимально нагруженной пружине

средний диаметр пружины

диаметр проволоки

модуль упругости материала пружины

L 0

длина пружины в свободном состоянии

количество активных витков

F 8

рабочее усилие в полностью нагруженной пружине

Рабочая деформация

H = L 1 8

Расчет рабочих сил

Расчет соответствующих сил, действующих в пружинах в рабочем состоянии для указанного материала, сборочных размеров и размеров пружины. Сначала проверяются и рассчитываются входные данные, а затем выполняется расчет рабочих сил с помощью следующих формул.

Минимальное рабочее усилие

Максимальное рабочее усилие

Расчет выходных параметров пружины

Эта часть является общей для всех типов расчета пружины. Расчет производится в следующем порядке.

Коэффициент высоты зацепа

Жесткость пружины

Длина части с витками

Пружина без начального растяжения

L z = t n + d

Пружина с начальным растяжением

L z = 1,03 (n + 1) d

Деформация предварительно нагруженной пружины

s 1 = L 1 — L 0

Полная деформация пружины

s 8 = L 8 — L 0

Напряжение при кручении материала пружины в состоянии предварительной нагрузки

Напряжение материала пружины при кручении при полном нагружении

Предельное усилие в пружине

Деформация в предельном состоянии

Где:

жесткость пружины

F 9

рабочее усилие в пружине, нагруженной до предела

F 0

начальное растяжение пружины

Предельная длина пружины

L 9 = L 0 + s 9

Энергия деформации пружины

Длина развернутой проволоки

l = 3,2 D n + l 0

Где длина развернутого зацепа l 0 :

для половины витка

l 0 = π D + 4 o — 2 D — 2 d

для полного витка

l 0 = 2 (π D — 2 d)

для полного витка сбоку

l 0 = 2 (π D — 2 d)

для полного витка внутри

l 0 = 2 (π D — d)

для поднятого зацепа

l 0 = π D + 2 o — D + 3 d

для двух полных витков

l 0 = 4 π D

для двух полных витков сбоку

l 0 = 4 π D

для неуказанного типа зацепа

l 0 = 0

Масса пружины

Собственная частота колебаний пружины

Проверка нагрузки пружины

τ 8 ≤ u s τ A

Обзор используемых переменных:

диаметр проволоки

жесткость пружины

средний диаметр пружины

D 1

наружный диаметр пружины

D 2

внутренний диаметр пружины

обобщенное усилие, приходящееся на пружину

сдвиговый модуль упругости материала пружины

рабочая деформация

индекс пружины

K w

поправочный коэффициент Валя

длина развернутой проволоки

обобщенная длина пружины

L Z

длина части пружины с витками

масса пружины

количество активных витков

высота зацепа пружины

шаг активных витков в ненагруженном состоянии

обобщенная деформация (растяжение) пружины

u s

коэффициент использования материала

ρ

плотность материала пружины

τ

напряжение при кручении – это усилие на единицу площади материала пружины при изгибе

τ A

допустимое напряжение материала пружины при кручении

Работа силы упругости

Сила упругости, как и сила тяжести, является консервативной. Напомним, что консервативная сила — это такая сила, работа которой при движении тела по замкнутому контуру, равна нулю. В одном из уроков мы уже убедились, что работу силы упругости нельзя вычислить, пользуясь общей формулой для работы силы. Дело в том, что сила упругости изменяется с изменением растяжения или сжатия пружины. Поэтому нам необходимо будет воспользоваться графиком зависимости силы упругости от удлинения.

Поскольку сила упругости линейно зависит от удлинения, нам не составит труда найти площадь под графиком функции силы упругости. Эта площадь и будет являться работой. На графике зависимости силы упругости от удлинения обозначим два произвольных значения силы: F1 и F2. Этим значениям будут соответствовать значения удлинения х1 и х2. Как видно из графика, чтобы найти работу, нам нужно вычислить площадь трапеции. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты. Очевидно, что основания — это F1 и F2, а высота равна х1 − х2. Тогда, используя формулу для силы упругости, мы можем вывести окончательное выражение для работы силы упругости:

Напомним, что изучая работу силы, мы пришли к выводу, что работа равна изменению кинетической энергии. В данном случае мы видим, что работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии пружины. Но о потенциальной энергии мы поговорим немного позже.

Итак, мы выяснили, что работа силы упругости, так же, как и работа силы тяжести, не зависит от траектории движения.

Пример решения задачи.

Задача. Когда пружину, изначально находящуюся в расслабленном состоянии, растянули на 2 см, сила упругости составила 5 Н. Найдите работу силы упругости при растяжении этой пружины на 8 см.

Сила упругости пружины

Сил упругости возникает при деформации физического тела, то есть когда изменяются размеры и форма тела. Эта сила направлена в сторону, противоположную силе, создающей деформацию. На примере пружины выясним как сила упругости связана с величиной деформации. Рассмотрим также причины возникновения упругих сил.

Закон Гука

Пружину можно сжимать, растягивать, изгибать или скручивать. В каждом из этих случаев будут возникать силы упругости, стремящиеся вернуть форму и размеры пружины в начальное состояние. Для понимания основных закономерностей будем рассматривать только линейные сжатия и растяжения (вдоль оси х). Для вычисления сил при деформациях изгибов и скручивании требуется применение более сложного математического аппарата.

Рис. 1. Деформации растяжения и сжатия пружины.

Если начальная длина, ненапряженной пружины, равна L0, то для малых деформаций выполняется закон Гука, открытый экспериментально:

$ F_уп = − k * Δх $ (1),

где, в формуле силы упругости пружины:

Fуп — сила упругости пружины, Н;

k — коэффициент жесткости пружины, Н/м;

Δх —величина деформации (дельта икс), м.

Величина малых деформаций должна быть намного меньше начальной длины пружины:

$ Δх

Рис. 2. Портрет Роберта Гука.

Этот фундаментальный закон был открыт английским ученым Робертом Гуком в 1660г. Кроме этого он сделал много других замечательных изобретений и экспериментов:

  • открыл эффект образования цветов тонких пленок, которое в оптике называется явлением интерференции;
  • предложил модель волнообразного распространения света;
  • сформулировал предположение о связи теплоты с движением частиц, из которых состоит тело;
  • изобрел спиральную пружину для регулировки часов, усовершенствовал барометр, гигрометр, анемометр.

Источник силы упругости

Происхождение сил упругости связано с электромагнитным взаимодействием молекул и атомов. Когда происходит увеличение размеров пружины (растяжении), то силы взаимного притяжения “пытаются” восстановить начальные размеры. При сжатии пружины начинают работать силы отталкивания. Когда тело не деформировано, расстояние между молекулами соответствует равенству сил притяжения и отталкивания.

Динамометры

Упругие свойства пружин используются в приборах для измерения силы. Обычно динамометр состоит из двух основных частей: пружины (упругий элемент) и шкалы устройства, на которой нанесены цифровые значения силы или массы, если этот прибор предназначен для бытового применения. Измеряемое усилие прикладывается к пружине, которая деформируется и сдвигает стрелку прибора вдоль отсчетной шкалы.

Рис. 3. Пружинные динамометры.

Хотя закон Гука и считается универсальным, но диапазон деформаций в котором он выполняется сильно отличается для разных тел. Например, в металлических проволоках (прямолинейных) и стержнях максимальная величина относительной деформации (отношение Δх к L0), для которой еще будет справедлив закон Гука, составляет не более 1%. При больших деформациях наступают необратимые разрушения материалов.

Что мы узнали?

Итак, мы узнали, что сила упругости пружины прямо пропорциональна величине деформации тела и направлена в сторону, обратную направлению сдвига пружины. Силы упругости связаны с электромагнитным взаимодействием молекул и атомов. При сжатии включается механизм отталкивания электрических одноименных зарядов. При растяжении — начинает работать механизм притяжения разноименных зарядов.

Тест по теме

Оценка доклада

Трактовка понятий

В физике упругая деформация возникает из-за силы, равной по модулю оказываемому воздействию. Сила упругости для пружины (F) пропорциональна её удлинению. Для определения жесткости пружины зависимость записывается математически с помощью следующей формулы: F = k·x; где х — длина предмета после его растяжения, а k — коэффициент жесткости.

Формула считается частным случаем закона Гука, который используется для растяжимого тонкого стержня. Чрезмерное воздействие приводит к появлению разных дефектов. Для процесса характерны некоторые особенности, от чего зависит жесткость пружины:

  • геометрические параметры детали;
  • срок эксплуатации;
  • значение коэффициента k, который при определённых условиях способствует снижению сжатия и сохранению силы на одинаковом уровне;
  • тип используемого материала (сталь, сплав) в процессе изготовления пружины.

На практических занятиях по физике в 7 классе применяются изделия разных типов. В автомобилестроении используется цветовое обозначение. Для расчета коэффициента жесткости пружины специалисты ориентируются на формулу k=Gd 4 /8D 3 n, где:

  • G — определяет модуль сдвига (свойство зависит, к примеру, от используемого сырья);
  • d — диаметр куска проволоки (величина определяется в период производства путём проката, а результат записывается в технической документации);
  • D — диаметр витков, которые получаются в результате намотки на проволоку (расчет осуществляется с учетом поставленных задач и зависит от нагрузки, оказываемой для сжатия объекта);
  • n — количество витков в системе (показатель варьируется в значительном диапазоне, от чего зависят эксплуатационные характеристики предмета).

С помощью формулы может измеряться жёсткость цилиндрической пружины, используемой в разных механизмах. Показатель измеряется в Ньютонах и обозначается Н.

Практические занятия

Механики и физики обозначают с помощью k, c и D коэффициент упругости, пропорциональности, жесткости. Смысл математической записи одинаковый. Численно показатель равняется силе, которая создаёт колебания на одну единицу длины. На практических работах по физике используется в качестве последней величины 1 метр.

Чем выше k, тем больше сопротивление предмета относительно деформации. Дополнительно коэффициент показывает степень устойчивости тела к колебаниям со стороны внешней нагрузки. Параметр зависит от длины и диаметра винтового изделия, количества витков, сырья. Единица измерения жесткости пружины — Н/м.

На практике перед школьниками и механиками может стоять более сложная задача, к примеру, найти общую жёсткость. В таком случае пружины соединены последовательным либо параллельным способом. В первом случае уменьшается суммарная жесткость. Если пружины расположены последовательно, используется следующая формула: 1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki, где:

  • k — суммарная жёсткость соединений;
  • k1 …ki — жёсткость каждого элемента системы;
  • i — число пружин в цепи.

Если невесомые (расположены горизонтально) предметы соединены параллельно, значение общего k будет увеличиваться. Величина вычисляется по следующей формуле: k = k1 + k2 + … + ki.

Основная методика для вычислений

На практике коэффициент Гука определяется самостоятельно. Для эксперимента потребуется пружина, линейка, груз с определённой массой. Необходимо соблюдать следующую последовательность действий:

  1. Пружина фиксируется вертикально. Для этого используется любая удобная опора со свободной нижней частью.
  2. Линейкой измеряется длина предмета. Результат записывается как х1.
  3. На свободный конец подвешивается груз с известной массой m.
  4. Измеряется длина изделия под воздействием амплитуды. Вывод записывается как х2.
  5. Производит подсчёт абсолютного удлинения: x = x2-x1. Для определения энергии (силы) и k в международной системе СИ осуществляется перевод длины из разных единиц измерения в метры.
  6. Сила, спровоцировавшая деформацию, считается силой тяжести тела. Она рассчитывается по формуле: F = mg, где м является массой используемого груза (вес переводится в килограммы), а g (равен 9,8) — постоянная величина, с помощью которой отмечается ускорение свободного падения.

Если вышеописанные вычисления произведены, необходимо найти значение коэффициента жёсткости. Используется закон Гука, из которого следует, что k=F/x.

Решение задач

Для нахождения жёсткости в случае использования разных предметов, включая пружинные маятники с разной частотой колебаний, применяется формула Гука либо следствие, вытекающее из неё.

Задача № 1. Пружина имеет длину 10 см. На неё оказывается сила в 100 Н. Изделие растянулось на 14 см. Нужно найти k.

Решение: предварительно вычисляется абсолютное удлинение: 14−10=4 см. Результат переводится в метры: 0,04 м. Используя основную формулу, находится k. Его значение равняется 2500 Н/м.

Задача № 2. На пружину подвешивается груз массой 10 кг. Изделие растягивается на 4 см. Нужно найти длину, на которую растянется пружина, если использовать груз массой в 25 кг.

Решение: Определяется сила тяжести путем умножения 10 кг на 9.8. Результат записывается в Ньютонах. Определяется k=98/0.04=2450 Н/м. Рассчитывается, с какой силой воздействует второй груз: F=mg=245 Н. Для нахождения абсолютного удлинения используется формула x=F/k. Во втором случае х равняется 0,1 м.

Применение цилиндрических пружин

На производстве наиболее востребованы цилиндрические пружины, так как они обладают уникальными особенностями. При создании системы отмечается центральная ось, вдоль которой действуют разные силы. В процессе изготовления подобных изделий используется проволока соответствующего диаметра.

Для её изготовления понадобится специальный сплав либо обычные металлы. Сам материал должен обладать высокой упругостью. Проволока может иметь витки одного диаметра либо разных радиусов. Большим спросом пользуются цилиндрическая пружина, которая в сжатом состоянии обладает незначительной толщиной.

Главными параметрами изделия считаются:

  • малый, средний и большой диаметр витков и самой проволоки;
  • шаг размещения отдельный колец.

В задачах по физике вычисляется k для двух состояний: растяжение и сжатие. В любом случае используется одна формула для определения величины. Разница понятий:

  1. Исполнение, рассчитанное на сжатие, характеризуется дальним размещением витков. Расстояние, образуемое между ними, появляется возможность на сжатие.
  2. Модель, связанная с растяжением, имеет кольца, расположенные плотно между собой. Такая форма определяет то, что при максимальной силе растяжение минимальное.

Отдельно рассматриваются варианты на изгиб и кручение. Такие детали рассчитываются по специальным формулам. Для разных соединений характерны определённые особенности. Чтобы провести определения растяжения, учитывается момент теста.

Показатель зависит от характеристик проволоки, оказываемой силы либо массы тела. Для всех систем используются разные формулы, но полученные результаты не имеют погрешностей. Чтобы провести тесты для вычисления основных параметров, используется специальное оборудование. Простые задачи с деформацией пружин решают ученики на уроках физике в 7−8 классе. О параллельном и последовательном соединении элементов системы узнают учащиеся старших классов.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *