Физика правило кирхгофа

Правила Кирхгофа и их применение 
 6026

к расчёту электрических цепей

Для расчета разветвленных электрических цепей постоянного тока применяют правила Кирхгофа.

Первое правило относится к узлам цепи. Узлом называется точка, в которой сходятся три и более проводников с токами. Токи, подходящие к узлу, условно принимаются положительными, а отходящие от узла – отрицательными.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю

, (5.23)

где n – число проводников с током, сходящихся в узле.

Для узла, изображенного на рис.5.10, первое правило запишется следующим образом:

-I1+I2+I3-I4-I5+I6=0.

Второе правило Кирхгофа является обобщением закона Ома на разветвленные электрические цепи: в любом замкну- том контуре алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме ЭДС в контуре

, (5.24)

где n – число ветвей, входящих в контур.

Ветвью, называется заключенный между двумя узлами участок цепи, по которому течет ток.

Для составления уравнений (5.24) необходимо выбрать направление обхода контура (по часовой стрелке или против нее). Выбор этого направления произволен. Токи Ik берутся со знаком «+», если они совпадают с направлением обхода контура. ЭДС xк считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура, т.е. направление обхода контура совпадает с направлением действия сторонних сил.

В качестве примера запишем второе правило Кирхгофа для замкнутого контура, изображенного на рис.5.11:

I1R1 — I2R2 +I3R3 + I4R4 = x2 — x3.

При расчете цепей по правилам Кирхгофа рекоменду- ется следующая последовательность действий:

1) произвольно задать направление токов в ветвях;

2) составить n-1 уравнений по первому правилу Кирхгофа, где n- число узлов;

3) выбрать направление обхода контуров;

4) cоставить независимых уравнений по вто-рому правилу Кирхгофа, где р — число ветвей. Все ЭДС и все сопротивления, содержащиеся в рассматриваемой цепи, должны входить в систему уравнений.

Рис.5.10 Рис.5.11

Решение системы алгебраических уравнений, составлен- ных на основе первого и второго правил Кирхгофа, позволяет найти токи во всех ветвях по известным значениям сопротивлений и ЭДС.

Если в результате расчета получится отрицательное значение силы тока в какой-либо ветви, то это означает, что в действительности ток на этом участке течет в направлении, противоположном выбранному.

Территория электротехнической информации WEBSOR

  • Основы
    • Электробезопасность
      • Действие на человека
      • Защитные меры
      • Первая помощь
      • Электробезопасность в установках до 1000 В с глухозаземленной и изолированной нейтралью
      • Средства защиты
        • Указатель высокого напряжения УВНУ-10СЗ ИП
        • Указатель низкого напряжения ЭЛИН-1-СЗ
        • Когти КРПО
    • Теоретические основы электротехники
    • Электрические процессы в вакууме и газах
      • Термоэлектронная эмиссия металлов
      • Термоэлектронная эмиссия оксидного катода
      • Электростатическая электронная эмиссия
      • Фотоэлектронная эмиссия
      • Вторичная электронная эмиссия
      • Электронная эмиссия
      • Прохождение тока в вакууме
      • Столкновение электронов
      • Движение электронов
      • Виды электрического разряда
      • Темный разряд
      • Тлеющий разряд
      • Дуговой разряд
      • Газовая плазма
      • Коронный, искровой и высокочастотные разряды
    • Измерение величин
      • Единицы электрических величин
      • Характеристика средств
      • Электросчетчик ЦЭ6803ВМ
      • Мегаомметр
    • Электротехнические материалы
      • Классификация веществ по электрическим свойствам
      • Диэлектрики
        • Классификация диэлектриков
        • Поляризация диэлектриков
        • Электропроводность диэлектриков
        • Пробой диэлектриков
        • Электрическая прочность воздушных промежутков
        • Разряд по поверхности твердого диэлектрика
        • Разряд в масле
      • Полупроводниковые материалы
        • Электропроводность полупроводников
        • Получение и свойства полупроводников
        • Характеристики полупроводниковых материалов
      • Проводниковые материалы
        • Общие сведения
        • Медь
        • Алюминий
    • Задачи и ответы
  • Электромашины
    • Определения и требования
      • Номинальные режимы и номинальные величины
      • Общие определения
      • Технические требования
      • Потери мощности и КПД
      • Обозначение обмоток
      • Номинальные частоты вращения эл.машин
    • Электрические машины переменного тока
      • Устройство 3-ф асинхронных и синхронных машин
      • Машинная постоянная, электромагнитные нагрузки
      • Якорные обмотки и обмотки возбуждения
      • Электродвижущая и намагничивающая силы
      • Обмотки типа бельчьей клетки
      • Активные сопротивления обмоток
      • Индуктивные сопротивления обмоток
    • Асинхронные машины
      • Активные и индуктивные сопротивления обмоток
      • Расчет магнитной цепи
      • Основные уравнения, схемы замещения и векторная диаграмма
      • Основные энергетические соотношения и механическая характеристика
      • Потери и КПД
      • Круговая диаграмма, рабочие характеристики
      • Определение главных размеров двигателей
      • Неполадки в работе асинхронного двигателя
    • Теория
      • Асинхронный двигатель
      • Синхронные машины
      • Машины постоянного тока
      • Трансформаторы
    • Трансформаторы
      • Трансформаторы силовые масляные
      • Текущий ремонт трансформаторов ТМ
      • Трансформаторы силовые типа ТМ(Г) и ТМПН(Г)
      • Трансформаторы ТМГ11 и ТМГСУ11
      • Трансформаторы ТМГ12
      • Трансформаторы ТМГ21
      • Трансформаторы ОМ, ОМП, ОМГ
      • Трансформаторы ТСГЛ, ТСЗГЛ
      • Трансформаторы ТС, ТСЗ
      • Параллельная работа трансформаторов
      • Потеря напряжения в трансформаторе
      • Группы соединений обмоток трансформаторов
      • Неисправности трансформаторов
      • Трансформаторное масло
    • Защита электродвигателей
  • Оборудование
    • Защита электрооборудования
    • Модульные устройства
      • Выключатели автоматические
      • Характеристика автомат. выкл.
      • Устройства защитного отключения (УЗО)
      • Выбор и применение УЗО
      • Причины срабатывания УЗО
      • Дифференциальные автомат. выкл.
      • Выключатели нагрузки
      • Контакторы модульные
      • Ограничитель импульсных перенапряжений
      • Дополнительные устройства
      • Таймер электронный
    • Электрощитовое оборудование
      • Щиты силовые
        • Вводно — распределительные устройства ВРУ
        • Распредустройство низкого напряжения
        • Пункты распределительные ПР
        • Распределительные силовые шкафы ШРС
        • Панели щитов ЩО 70
        • Щиты этажные ЩЭ
        • Ящики управления
        • Шкафы учета электроэнергии ШУЭ
        • Щиты осветительные ОЩВ, УОЩВ
        • Ящики и шкафы АВР, блоки и панели управления БУ, ПУ
        • Щиты автоматического переключения ЩАП
        • Щит учета выносного типа
        • Щитки для хозяйственных нужд
        • Вводное устройство ВУА
      • Корпуса электрощитов
        • Щиты распределительные ЩРН, ЩРВ
        • Щиты учетно-распределительные ЩРУН
        • Щиты с монтажной панелью ЩРНМ, ЩМП
        • Устройство этажное распределительное УЭРМС
        • Устройство этажное распределительное блочного типа УЭРБ
        • Корпус для щита этажного ЩЭ
        • Панели для установки однофазного счетчика ПУ
      • Шкафы напольные
        • Шкафы сборно-разборные
        • Каркасы ВРУ
        • Шкафы цельносварные
        • Шкаф наружного освещения ШНО
        • Шкаф управления наружным освещением
    • Электромонтажные изделия
      • Коробки
        • Установочные коробки в сплошные стены
        • Установочные коробки в полые стены
        • Распаячные (разветвительные) коробки в сплошные стены
        • Распаячные (разветвительные) коробки в полые стены
        • Коробки с кабельными вводами открытой установки
        • Коробки для монолитного строительства
        • Коробки для открытой установки с клеммной колодкой, нулевой шиной
        • Особенности монтажа
      • Трубы
      • Лотки
      • Электромонтажные короба
      • Шина нулевая
      • Соединители, сжимы ответвительные, наконечники
      • Стяжки(хомуты)
      • Термоусаживаемые трубки
      • Электроустановочные устройства
        • Выключатели и розетки
        • Требования к монтажу электроустановочных устройств
        • Требования к электрооборудованию ванных и душевых
    • Провод и кабель
      • Маркировка и характеристика
      • Кабельная продукция
      • ПРИЛОЖЕНИЕ по кабельной продукции
        • ПРИЛОЖЕНИЕ (стационарная прокладка)
        • ПРИЛОЖЕНИЕ (нестационарная прокладка)
        • ПРИЛОЖЕНИЕ (провода силовые)
        • ПРИЛОЖЕНИЕ (провода различного назначения)
      • Выбор провода
      • Соединение проводов
      • Советы по выбору кабеля
      • Кабельные муфты
    • Автоматические выключатели
      • ВА-88
      • ВА-99
      • ВА-99М
      • ВА-99С
      • ВА-45
      • Выбор ВА
      • АПД
      • АВМ
    • Контакторы
      • Контакторы малогабаритные КМЭ
      • Контакторы малогабаритные КМИ
      • Контакторы КМИ в оболочке
      • Контакторы серии КТИ
      • Контакторы серии КТ
      • Пускатели серии ПРК
      • Применение контакторов
    • Фазировка оборудования
    • Выполняем ВСЕ электромонтажные работы
  • Нормы
    • ГОСТы, справочная информация, правила
    • Все про заземление
    • Классификация помещений
    • Требования к электрооборудованию
    • Характеристика проводниковых и изоляционных материалов
    • ГОСТ, СНиП, СП, ТУ
      • Содержание по нормативным документам
      • СНиП 3.05.06-85 Электротехнические устройства
      • ГОСТ 10434-82 Соединения контактные электрические
      • ГОСТ 12.1.030-81 ССБТ Электробезопасность
      • ГОСТ 13781.0-86. Муфты для силовых кабелей на напряжение до 35 кВ
      • ГОСТ 11677-85. Трансформаторы силовые
      • ГОСТ 14695-80 ( СТ СЭВ 1127-78). Подстанции трансформаторные комплектные
      • ГОСТ 9.032-74. Покрытия лакокрасочные
    • Данные для расчета осветительной сети
    • Разложение в ряд Фурье
    • Свод правил по проектированию и строительству
    • Технические условия на СИП
    • Электропроводки
    • Прокладка кабелей до 35 кВ
  • Подстанция
    • Комплектные трансформаторные подстанции
      • Номенклатура КТП
    • Оборудование подстанций
      • Выключатели нагрузки ВНР
      • Рубильники, ящики силовые
      • Разъединители РЕ-19
      • Разъединители РЦ
      • Разъединители на 630 А
      • Шины
      • КСО-366, КСО-272, КРУ
      • Изоляторы
      • Разъединители РВ
      • Техническое описание разъединителей
      • Предохранители до 1000В
      • Высоковольтные предохранители
      • Приводы к выключателям напряжением 3-10 кВ
      • Техническое описание привода ППВ-10
    • Вакуумные выключатели
      • ВВ/TEL
      • ВР
      • ВРО
      • ВР1
      • ВР1 для КСО
      • ВРС
      • 3АН5
      • ВГГ-10
    • Камеры КСО
      • КСО-298 НН «Классика»
      • КСО 298АТ, КСО 298АТ-М, КСО 292АТ, КСО 285АТ, КСО 272АТ, КСО 2(УМЗ)АТ
      • КСО 366АТ, КСО 366АТ-В
      • КСО 393АТ, КСО 393АТ-М
      • КСО «Новация»
      • КРУ «Классика» серии D-12PT
      • КРУ серии «Эталон»
      • КСО-298 «СТАНДАРТ»
      • КСО-298 РУЭЛТА
      • КРУ серии R-40 (35 кВ)
    • Ограничители перенапряжений 6(10) кВ
    • Масляный выключатель
      • ВПМ-10
      • Техническое описание ВПМ
      • ВМП-10
      • ВМГ-133
    • Выключатель нагрузки автогазовый ВНА
      • Описание выключателя
      • Изображение выключателя
    • Ремонт электрооборудования
      • Эксплуатация и ремонт электрооборудования РУ
      • Ремонт масляных выключателей
      • Ремонт контактных частей РУ
      • Ремонт привода ПП-67 масляных выключателей
      • Особенности устройства и ремонта привода ППВ (ППО)
      • Особенности устройства и ремонта привода ПЭ-11
    • Повышение надежности МВ, приводов МВ
      • Наладка заводящего устройства пружинного привода
      • Наладка механизма включения пружинного привода
      • Наладка механизма отключения пружинного привода
      • Регулировка МВ с пружинным приводом
      • Регулировка МВ с электромагнитным приводом
      • Повышение надежности ВМП-10 и ВМГ-133
    • Установки компенсации реактивной мощности
      • Общие сведения об УКРМ
      • УКРМ 0,4 кВ
      • УКРМ 6(10) кВ
    • Выбор места расположения питающих подстанций
  • Электроснабжение
    • Понятие электроснабжения
      • Распределение электроэнергии
      • Электроснабжение административных зданий
      • Электроснабжение жилых зданий
      • Электропроводка
    • Расчет нагрузок
      • Расчетные нагрузки промышленных предприятий
      • Расчетные нагрузки жилых и общественных зданий
      • Допустимые токовые нагрузки на провода и кабели
    • Выбор максимальной токовой защиты линий
    • Выбор сечений по допустимой потере напряжения
      • Активные и индуктивные сопротивления линии
      • Расчет сети по допустимой потере напряжения без учета индуктивного сопротивления
      • Расчет сети по потере напряжения с учетом индуктивности линий
      • Расчет сети при помощи вспомогательных таблиц удельных потерь напряжения
      • Примеры расчетов сечений проводов и кабелей по допустимой потере напряжения
      • Расчет сети по условию наименьшей затраты металла
      • Расчет сети по условию постоянной плотности тока
    • Короткие замыкания в электрических системах
      • Общие указания к расчету токов к.з.
      • Трехфазное короткое замыкание
      • Несимметричные короткие замыкания
      • Короткое замыкание с одновременным разрывом фазы
      • Определение токов короткого замыкания для выбора выключателей
      • Токи короткого замыкания от электродвигателей
    • Выбор проводников по устойчивости к току к.з.
    • Проверка условий срабатывания защитного аппарата
    • Выбор проводов по экономической плотности тока
    • Шины и шинопроводы в системах электроснабжения
      • Распределение тока по сечению шин из цветного металла
      • Определение активного и реактивного сопротивлений шинопровода
      • Потери мощности и напряжения в шинопроводах
      • Выбор сечения шинопроводов
      • Проверка выбранного сечения шинопровода
      • Колебания шинопроводов, имеющих поворот
    • Потери мощности в сетях
    • Переходные процессы в электрических системах
      • Математическое описание переходных процессов
      • Переходные процессы при больших кратковременных возмущениях
      • Режимы при больших возмущениях
      • Режимы при малых возмущениях
      • Улучшение пропускной способности электрических систем
    • Регулирование напряжения
      • Регулирование напряжения в сетях
      • Местное регулирование напряжения
    • Внутренние перенапряжения сетей
      • Перенапряжения и защита от перенапряжений
      • Характеристика уровней изоляции сетей 6-35кВ
      • Характеристика внутренних перенапряжений
  • Освещение
    • Величины и единицы освещения
    • Источники света
    • Методы искусственного освещения
    • Расчет и защита осветительных сетей
    • Расчет освещения по методу коэф-та использования и удельной мощности
    • Расчет освещения по точечному методу
    • Специальные случаи светотехнических расчетов
    • Расчет качественных характеристик освещения
    • Наружное освещение
    • Подробный расчет осветительной сети
    • Основные требования и выбор освещенности
    • Системы и виды освещения
    • Управление освещением
    • Проектирование освещения
    • Ремонт светильников с люминесцентными лампами
    • Умный дом
  • Воздушная линия
    • Проектирование ВЛИ — 0,4кВ
    • Расчетные пролеты ВЛ — 0,4 кВ
    • Линейная арматура ENSTO для ВЛИ 0,4кВ
    • Линейная арматура NILED для ВЛИ 0,4кВ
    • Вводы линий электропередачи до 1 кВ в помещения
    • Применение линейной арматуры на ВЛЗ 6-20кВ
    • Оборудование для ВЛ(З)-6(10)кВ
    • Проектирование ВЛЗ — 6(10)кВ
    • Нарушения при монтаже СИП
    • Установка длинно-искровых разрядников РДИП на ВЛЗ-10кВ
    • Стальные конструкции для строительства ВЛИ-0,4кВ, ВЛЗ-6(10)кВ
    • Аналоги NILED
    • Пример расчета ВЛИ-0,4 кВ
    • Заземляющие устройства опор ВЛ
    • Узлы и детали соединений заземляющих проводников ВЛ 0,38-35 кВ

Правила Кирхгофа

Классическая электродинамика

Электричество · Магнетизм

Ковариантная формулировка

См. также: Портал:Физика

У этого термина существуют и другие значения, см. Закон Кирхгофа (химия). У этого термина существуют и другие значения, см. Закон излучения Кирхгофа. Не следует путать с Принципом Керкгоффса.

Пра́вила Кирхго́фа (часто в технической литературе ошибочно называются Зако́нами Кирхго́фа) — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи.

Решения систем линейных уравнений, составленных на основе правил Кирхгофа, позволяют найти все токи и напряжения в электрических цепях постоянного, переменного и квазистационарного тока.

Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач в теории электрических цепей и практических расчётов сложных электрических цепей.

Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов или напряжений и, соответственно, при решении этой системы найти значения токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения.

Сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году.

Название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третье уравнение Максвелла при неизменном магнитном поле). Эти правила не следует путать с ещё двумя законами Кирхгофа в химии и физике.

Формулировка правил

Определения

Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия узел, ветвь и контур электрической цепи. Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же током, например, на рис. отрезок, обозначенный R1, I1 есть ветвь. Узлом называют точку соединения трех и более ветвей (на рис. обозначены жирными точками). Контур — замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов разветвлённой электрической цепи. Термин замкнутый путь означает, что, начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный узел. Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.

В терминах данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.

Первое правило

Сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает.
i2 + i3 = i1 + i4

Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла.

∑ j = 1 n I j = 0. {\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{n}I_{j}=0.}

Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Это правило следует из фундаментального закона сохранения заряда.

Второе правило

Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю:

для постоянных напряжений ∑ k = 1 n E k = ∑ k = 1 m U k = ∑ k = 1 m R k I k ; {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}E_{k}=\sum _{k=1}^{m}U_{k}=\sum _{k=1}^{m}R_{k}I_{k};} для переменных напряжений ∑ k = 1 n e k = ∑ k = 1 m u k = ∑ k = 1 m R k i k + ∑ k = 1 m u L k + ∑ k = 1 m u C k . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}e_{k}=\sum _{k=1}^{m}u_{k}=\sum _{k=1}^{m}R_{k}i_{k}+\sum _{k=1}^{m}u_{L\,k}+\sum _{k=1}^{m}u_{C\,k}.}

Это правило вытекает из 3-го уравнения Максвелла, в частном случае стационарного магнитного поля.

Иными словами, при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению. Частным случаем второго правила для цепи, состоящей из одного контура, является закон Ома для этой цепи. При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура. При этом падение напряжения на ветви считают положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, и отрицательным — в противном случае (см. далее).

Правила Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных линеаризованных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

Особенности составления уравнений для расчёта токов и напряжений

Если цепь содержит p {\displaystyle p} узлов, то она описывается p − 1 {\displaystyle p-1} уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды и потока этих частиц.

Если цепь содержит m {\displaystyle m} ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве m i {\displaystyle m_{i}} , то она описывается m − m i − ( p − 1 ) {\displaystyle m-m_{i}-(p-1)} уравнениями напряжений.

  • Правила Кирхгофа, записанные для p − 1 {\displaystyle p-1} узлов или m − ( p − 1 ) {\displaystyle m-(p-1)} контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и все напряжения.
  • Перед тем, как составить уравнения, нужно произвольно выбрать:
    • положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме, при этом не обязательно следить, чтобы в узле направления токов были и втекающими, и вытекающими, окончательное решение системы уравнений всё равно даст правильные знаки токов узла;
    • положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону, с целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми (напр.: по часовой стрелке).
  • Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), падение напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.
  • При записи линейно независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону (достаточное, но не необходимое условие).
  • В сложных непланарных графах электрических цепей человеку трудно увидеть независимые контуры и узлы, каждый независимый контур (узел) при составлении системы уравнений порождает ещё 1 линейное уравнение в определяющей задачу системе линейных уравнений. Подсчёт количества независимых контуров и их явное указание в конкретном графе развит в теории графов.

Пример

На этом рисунке для каждой ветви обозначен протекающий по ней ток (буквой «I») и напряжение между соединяемыми ею узлами (буквой «U»)

Количество узлов: 3.

p − 1 = 2 {\displaystyle p-1=2}

Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.

m − m i − ( p − 1 ) = 2 {\displaystyle m-m_{i}-(p-1)=2}

Количество контуров: 2.

Для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом, выполняются следующие соотношения:

{ I 1 − I 2 − I 6 = 0 I 2 − I 4 − I 3 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{cases}}}

Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.

Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет определить все токи узлов и ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом контурных токов.

В соответствии со вторым правилом, справедливы соотношения:

{ U 2 + U 4 − U 6 = 0 U 3 + U 5 − U 4 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}U_{2}+U_{4}-U_{6}=0\\U_{3}+U_{5}-U_{4}=0\end{cases}}}

Полученные системы уравнений полностью описывают анализируемую цепь, и их решения определяют все токи и все напряжения ветвей. Такой подход к анализу цепи принято называть методом узловых потенциалов.

О значении для электротехники

Правила Кирхгофа имеют прикладной характер и позволяют наряду и в сочетании с другими приёмами и способами (метод эквивалентного генератора, принцип суперпозиции, способ составления потенциальной диаграммы) решать задачи электротехники. Правила Кирхгофа нашли широкое применение благодаря простоте формулировки уравнений и возможности их решения стандартными способами линейной алгебры (методом Крамера, методом Гаусса и др.).

Значение в математике

Первое правило Кирхгофа может быть сформулировано в матричном виде. Именно, пусть электрическая цепь состоит из n {\displaystyle n} узлов. Составим матрицу A = { a i j } i , j = 1 n {\displaystyle A=\{a_{ij}\}_{i,j=1}^{n}} , где a i j {\displaystyle a_{ij}} при i ≠ j {\displaystyle i\neq j} есть проводимость ветви, соединяющеей узлы с номерами i {\displaystyle i} и j {\displaystyle j} (если они не соединены, можно мысленно соединить их ветвью нулевой проводимости). Величины a i i {\displaystyle a_{ii}} положим равными ∑ i = 1 , i ≠ j n ( − a i j ) {\displaystyle \sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})} . Пусть U {\displaystyle U} — потенциал, который мы рассматриваем как функцию, определённую на множестве узлов (или, что то же самое, вектор u = ( U 1 , U 2 , … , U n ) {\displaystyle \mathbf {u} =(U_{1},U_{2},\dots ,U_{n})} в n {\displaystyle n} -мерном пространстве R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ). Тогда по определению проводимости имеем I i j = a i j ( U j − U i ) {\displaystyle I_{ij}=a_{ij}(U_{j}-U_{i})} , где I i j {\displaystyle I_{ij}} — ток в ветви, идущей из вершины i {\displaystyle i} в вершину j {\displaystyle j} . Стало быть, первое правило Кирхгофа для j {\displaystyle j} -того узла можно записать как ∑ i = 1 , i ≠ j n I i j = ∑ i = 1 , i ≠ j n a i j ( U j − U i ) = 0 {\displaystyle \sum _{i=1,~i\neq j}^{n}I_{ij}=\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}(U_{j}-U_{i})=0} , или же ∑ i = 1 , i ≠ j n a i j U j + ( ∑ i = 1 , i ≠ j n ( − a i j ) ) U i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1,~i\neq j}^{n}a_{ij}U_{j}+\left(\sum _{i=1,~i\neq j}^{n}(-a_{ij})\right)U_{i}=0} , или же, учитывая определение диагональных элементов матрицы, как ∑ i = 1 n a i j U j = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{ij}U_{j}=0} . В левой части равенства легко узнать координату произведения матрицы A {\displaystyle A} на вектор-столбец u {\displaystyle \mathbf {u} } . Итак, первое правило Кирхгофа в матричном виде гласит: A u = 0 {\displaystyle A\mathbf {u} =0} .

В таком виде оно допускает обобщение на проводящие поверхности. У криволинейной поверхности проводимость зависит не только от точки, но и от направления. Иными словами, проводимость является функцией на касательных векторах к поверхности. Если считать, что на касательных пространствах она хорошо приближается положительно определённой квадратичной формой, можно говорить о ней как о римановой метрике g {\displaystyle g} (отличающейся от расстояния на поверхности как геометрической форме, учитывающей неизотропность её электрических свойств). Каждая точка поверхности может служить узлом, и потому потенциал будет уже не вектором, а функцией u {\displaystyle u} на поверхности. Аналогом же матрицы проводимостей будет оператор Лапласа — Бельтрами Δ g {\displaystyle \Delta _{g}} метрики-проводимости, который действует на пространстве гладких функций. Первое правило Кирхгофа для поверхности гласит ровно то же: Δ g u = 0 {\displaystyle \Delta _{g}u=0} . Иначе говоря, потенциал есть гармоническая функция.

В связи с этим матрицу A {\displaystyle A} , сопоставляемую произвольному взвешенному графу, за исключением диагонали равную матрице смежности, иногда называют дискретным лапласианом. Аналоги теорем о гармонических функциях, такие как существование гармонической функции в области с краем при заданных значениях на крае, получающейся свёрткой с некоторым ядром, имеют место и для дискретных гармонических функций. Обратно, проводящая поверхность может быть приближена сеткой сопротивлений, и дискретные гармонические функции на этой сетке приближают гармонические функции на соответствующей поверхности. На этом обстоятельстве основан интегратор Гершгорина, аналоговая вычислительая машина, использовавшаяся для решения уравнения Лапласа в 30-х — 70-х годах XX века.

В случае проводящей поверхности вместо разности потенциалов имеет смысл говорить об 1-форме d u {\displaystyle du} . Связанное с ней при помощи метрики-проводимости векторное поле g r a d g ( u ) {\displaystyle \mathrm {grad} _{g}(u)} — и есть электрический ток на этой поверхности. Согласно первому правилу Кирхгофа, эта 1-форма тоже гармонична (то есть лежит в ядре ходжева лапласиана, определённого на дифференциальных формах). Это даёт ключ к тому, как правильно формулировать закон Кирхгофа для случая, когда поле не потенциально: именно, 1-форма, получающаяся из тока, рассматриваемого как векторное поле, при помощи проводимости, рассматриваемой как риманова метрика, должна быть гармонична. Зная электродвижущую силу вокруг каждого топологически нетривиального контура на поверхности, можно восстановить силу и направление тока в каждой точке, притом единственным способом. В частности, размерность пространства всевозможных токов равна размерности пространства топологически нетривиальных контуров. Этот факт был одним из оснований для открытия двойственности Пуанкаре; то обстоятельство, что электродвижущие силы определяют однозначно ток (гармоническую 1-форму), является частным случаем теории Ходжа для 1-форм (теория Ходжа утверждает, что на римановом многообразии всякий класс когомологий де Рама представляется гармонической формой, притом только одной).

Закон излучения Кирхгофа

Основная статья: Закон излучения Кирхгофа

Закон излучения Кирхгофа гласит — отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел при данной температуре для данной частоты для равновесного излучения и не зависит от их формы, химического состава и проч.

Закон Кирхгофа в химии

Основная статья: Закон Кирхгофа (химия)

Закон Кирхгофа гласит — температурный коэффициент теплового эффекта химической реакции равен изменению теплоёмкости системы в ходе реакции.

Примечания

  1. Кирхгофа правила — статья из Большой советской энциклопедии.
  2. Gustav Robert Kirchhoff. Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige. — 1845. — С. 497–514.

Литература

  • Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм : учебное пособие. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с.
  • Калашников С. Г. Электричество : учебное пособие. — М.: Физматлит, 2003. — 625 с.
  • Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. — 11-е издание. — М.: Гардарики, 2007.
  • Герасимов В. Г., Кузнецов Э. В., Николаева О. В. Электротехника и электроника. Кн. 1. Электрические и магнитные цепи. — М.: Энергоатомиздат, 1996. — 288 с. — ISBN 5-283-05005-X.

Почему важны законы кирхгофа для электрической цепи и как они используются?

По каждому проводнику, составляющему электрическую цепь, течет ток. В точке, где проводники сходятся, называемой узлом, справедливо правило: ток суммарный, подтекающий к нему, равняется сумме, оттекающих.

{ ArticleToC: enabled=yes }

Законы кирхгофа

Другими словами – сколько зарядов подтечет к этой точке за единицу времени, столько же оттечет. Если принять, что приходящий будет «+», а оттекающий – «-«, то суммарная его величина будет нулевой.

Это и есть Первый закон кирхгофа для электрической цепи. Смысл его в том состоит, что заряд не накапливается.

Закон Второй, применим к цепи электрической разветвленной.

Эти универсальные законы Кирхгофа применяют очень широко, поскольку позволяют решить множество задач. Большим их достоинство считают простую и понятную всем формулировку, несложные вычисления.

История

Пополнил ряды немецких ученых Кирхгоф в девятнадцатом столетии, когда в стране, находившаяся на пороге революции индустриальной, требовались новейших технологии. Ученые занимались поиском решений, которые могли бы ускорить развитие промышленности.

Активно занимались исследованиями в области электричества, поскольку понимали, что в будущем оно будет широко использоваться. Проблема состояла на тот момент не в том, как составлять электрические цепи из возможных элементов, а в проведении математических вычислений. Тут и появились законы, сформулированные физиком. Они очень помогли.

Алгебраическая сумма приходящих к узлам токов и исходящих из него равна нулю. Эта одновременно вытекает из другого закона — постоянства энергии.

К узлу подходят 2 провода, а отходит один. Значение тока, текущего от узла, такое же, как сумма его, протекающего по двум остальным проводникам, т.е. идущим к нему. Правило Кирхгофа объясняет, что, при ином раскладе, накапливался бы заряд, но такого не бывает. Все знают, что всякую сложную цепь легко разделить на отдельные участки.

Но, при этом непросто определить путь, по которому он проходит. Тем более, что на различных участках сопротивления не одинаковы, поэтому и распределение энергии не будет равномерным.

В соответствие со Вторым правилом Кирхгофа, энергия электронов на каждом из замкнутых участков электрической цепи равняется нулю – нулю равняется всегда в таком контуре суммарное значение напряжений. Если бы нарушилось данное правило, энергия электронов при прохождении определенных участков, уменьшалась бы или увеличивалась. Но, этого не наблюдается.

Применение

Таким образом, благодаря этим двум, выдвинутым Кирхгофом утверждениям, установлено зависимость токов от напряжений в разветвленных участках.

Рекомендуем:

  • Частотный преобразователь для однофазного электродвигателя
  • Электродвигатели асинхронные трехфазные, их достоинства, технические характеристики, виды, особенности
  • Сила тока в цепи: как ее определить?

Формула Первого закона такова:

Для схемы, приведенной ниже, справедливо:

I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0

Плюсовые — это токи, идущие к точке, а те, что выходят из нее «-«.

Записывается это так:

  • k — количество ЭДС источников;
  • m – ветви замкнутого контура;
  • Ii,Ri – их сопротивление i-й и ток.

В данной схеме: Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4.

  • ЭДС принимается «+» при совпадении ее направления с выбранным направлением обхода.
  • При совпадении направления тока и обхода на резисторе, с плюсом будет также напряжение.

Расчет цепи

Способ заключается в умении составления систем уравнений, а также решении их, для нахождения токов в каждой ветви (b), а уже, зная их, умении нахождения величины напряжений.

Проще говоря, количество ветвей совпадать должно с неизвестными величинами в системе. Вначале записывают их, исходя из первого правила: число их идентично с количеством узлов.

Но, независимыми будут (y – 1) выражений. Обеспечивается это выбором, а происходит он так, чтобы разнились они (последующий со смежными) минимум одной ветвью.

Далее, составляются уравнения с использованием второго закона: b — (y — 1) = b — y +1.

Независимым считают контур, содержащий одну (или больше) ветвь, которая в другие не входит.

В качестве примера можно рассмотреть такую схему:

Сдержит она:

узлов – 4;

ветвей –6.

По Первому закону записывают три выражения, т.е. y — 1 = 4 – 1=3.

И столько же на основании Второго, поскольку b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3.

В ветвях выбирают плюсовое направление и путь обхода (у нас — по стрелке часовой).

Получается:

Осталось относительно токов решить получившуюся систему, понимая, что, когда в процессе решения он получается отрицательным, это свидетельствует о том, что направлен он будет в противоположную сторону.

Правило Кирхгофа применительно к синусоидальным токам

Правила для синусоидального, такие же, как для тока постоянного. Правда, учитываются величины напряжений с комплексными токами.

Первое звучит: «в электрической цепи нулю равна сумма алгебраическая комплексных токов в узле».

Второе правило выглядит так: «алгебраическая сумма ЭДС комплексных в контуре замкнутом равняется сумме алгебраической значений комплексных напряжений, имеющихся на пассивных составляющих данного контура.

Видео: Законы Кирхгофа

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *