Формула пуазейля для вязкости

Вязкость

У этого термина существуют и другие значения, см. Вязкость (значения).

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Основные уравнения

Известные учёные

Ньютон · Гук
Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

Поведение жидкости с малой (сверху) и с большой (снизу) вязкостью

Вя́зкость (вну́треннее тре́ние) — одно из явлений переноса, свойство текучих (жидкостей и газов) и твёрдых (металлов, полупроводников, диэлектриков, ферромагнетиков) тел оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. В результате работа, затрачиваемая на это перемещение, рассеивается в виде тепла.

Механизм внутреннего трения в жидкостях и газах заключается в том, что хаотически движущиеся молекулы переносят импульс из одного слоя в другой, что приводит к выравниванию скоростей — это описывается введением силы трения. Вязкость твёрдых тел обладает рядом специфических особенностей и рассматривается обычно отдельно.

Различают динамическую вязкость (единица измерения в Международной системе единиц (СИ) — Па·с, в системе СГС — пуаз; 1 Па·с = 10 пуаз) и кинематическую вязкость (единица измерения в СИ — м²/с, в СГС — стокс, внесистемная единица — градус Энглера). Кинематическая вязкость может быть получена как отношение динамической вязкости к плотности вещества и своим происхождением обязана классическим методам измерения вязкости, таким как измерение времени вытекания заданного объёма через калиброванное отверстие под действием силы тяжести. Прибор для измерения вязкости называется вискозиметром.

Переход вещества из жидкого состояния в стеклообразное обычно связывают с достижением вязкости порядка 1011—1012 Па·с.

Сила вязкого трения

Сила вязкого трения F, действующая на жидкость, пропорциональна (в простейшем случае сдвигового течения вдоль плоской стенки) скорости относительного движения v тел и площади S и обратно пропорциональна расстоянию между плоскостями h:

F → ∝ − v → ⋅ S h {\displaystyle {\vec {F}}\propto -{\frac {{\vec {v}}\cdot S}{h}}}

Коэффициент пропорциональности, зависящий от природы жидкости или газа, называют коэффициентом динамической вязкости. Этот закон был предложен Исааком Ньютоном в 1687 году и носит его имя (закон вязкости Ньютона). Экспериментальное подтверждение закона было получено в начале XIX века в опытах Кулона с крутильными весами и в экспериментах Хагена и Пуазёйля с течением воды в капиллярах.

Качественно существенное отличие сил вязкого трения от сухого трения, кроме прочего, то, что тело при наличии только вязкого трения и сколь угодно малой внешней силы обязательно придет в движение, то есть для вязкого трения не существует трения покоя, и наоборот — под действием только вязкого трения тело, вначале двигавшееся, никогда (в рамках макроскопического приближения, пренебрегающего броуновским движением) полностью не остановится, хотя движение и будет бесконечно замедляться.

Вторая вязкость

Основная статья: Объёмная вязкость

Вторая вязкость, или объёмная вязкость — внутреннее трение при переносе импульса в направлении движения. Влияет только при учёте сжимаемости и (или) при учёте неоднородности коэффициента второй вязкости по пространству.

Если динамическая (и кинематическая) вязкость характеризует деформацию чистого сдвига, то вторая вязкость характеризует деформацию объёмного сжатия.

Объёмная вязкость играет большую роль в затухании звука и ударных волн, и экспериментально определяется путём измерения этого затухания.

Вязкость газов

В кинетической теории газов коэффициент внутреннего трения вычисляется по формуле

η = 1 3 ⟨ u ⟩ ⟨ λ ⟩ ρ {\displaystyle \eta ={\frac {1}{3}}\langle u\rangle \langle \lambda \rangle \rho } ,

где ⟨ u ⟩ {\displaystyle \langle u\rangle } — средняя скорость теплового движения молекул, ⟨ λ ⟩ {\displaystyle \langle \lambda \rangle } − средняя длина свободного пробега. Из этого выражения в частности следует, что вязкость не очень разреженных газов практически не зависит от давления, поскольку плотность ρ {\displaystyle \rho } прямо пропорциональна давлению, а ⟨ λ ⟩ {\displaystyle \langle \lambda \rangle } — обратно пропорциональна. Такой же вывод следует и для других кинетических коэффициентов для газов, например, для коэффициента теплопроводности. Однако этот вывод справедлив только до тех пор, пока разрежение газа не становится столь малым, что отношение длины свободного пробега к линейным размерам сосуда (число Кнудсена) не становится по порядку величины равным единице; в частности, это имеет место в сосудах Дьюара (термосах).

С повышением температуры вязкость большинства газов увеличивается, это объясняется увеличением средней скорости молекул газа u {\displaystyle u} , растущей с температурой как T {\displaystyle {\sqrt {T}}}

Влияние температуры на вязкость газов

В отличие от жидкостей, вязкость газов увеличивается с увеличением температуры (у жидкостей она уменьшается при увеличении температуры).

Формула Сазерленда может быть использована для определения вязкости идеального газа в зависимости от температуры:

μ = μ 0 T 0 + C T + C ( T T 0 ) 3 / 2 , {\displaystyle {\mu }={\mu }_{0}{\frac {T_{0}+C}{T+C}}\left({\frac {T}{T_{0}}}\right)^{3/2},}

где:

  • μ — динамическая вязкость в (Па·с) при заданной температуре T;
  • μ0 — контрольная вязкость в (Па·с) при некоторой контрольной температуре T0;
  • T — заданная температура в Кельвинах;
  • T0 — контрольная температура в Кельвинах;
  • C — постоянная Сазерленда для того газа, вязкость которого требуется определить.

Эту формулу можно применять для температур в диапазоне 0 < T < 555 K и при давлениях менее 3,45 МПа с ошибкой менее 10 %, обусловленной зависимостью вязкости от давления.

Постоянная Сазерленда и контрольные вязкости газов при различных температурах приведены в таблице ниже:

Газ C, K T0, K μ0, мкПа·с
Воздух 120 291,15 18,27
Азот 111 300,55 17,81
Кислород 127 292,25 20,18
Углекислый газ 240 293,15 14,8
Угарный газ 118 288,15 17,2
Водород 72 293,85 8,76
Аммиак 370 293,15 9,82
Оксид серы(IV) 416 293,65 12,54
Гелий 79,4 273 19

Вязкость жидкостей

Динамическая вязкость

Внутреннее трение жидкостей, как и газов, возникает при движении жидкости вследствие переноса импульса в направлении, перпендикулярном к направлению движения. Для так называемых ньютоновских жидкостей (которых вокруг нас большинство) справедлив общий закон внутреннего трения — закон Ньютона:

τ = − η ∂ v ∂ n , {\displaystyle \tau =-\eta {\frac {\partial v}{\partial n}},}

Коэффициент вязкости η {\displaystyle \eta } (коэффициент динамической вязкости, динамическая вязкость) может быть получен на основе соображений о движениях молекул. Очевидно, что η {\displaystyle \eta } будет тем меньше, чем меньше время t «оседлости» молекул. Эти соображения приводят к выражению для коэффициента вязкости, называемому уравнением Френкеля-Андраде:

η = C e w / k T {\displaystyle \eta =Ce^{w/kT}}

Иная формула, представляющая коэффициент вязкости, была предложена Бачинским. Как показано, коэффициент вязкости определяется межмолекулярными силами, зависящими от среднего расстояния между молекулами; последнее определяется молярным объёмом вещества V M {\displaystyle V_{M}} . Многочисленные эксперименты показали, что между молярным объёмом и коэффициентом вязкости существует соотношение:

η = c V M − V C , {\displaystyle \eta ={\frac {c}{V_{M}-V_{C}}},}

где:

  • c {\displaystyle {c}} — константа, характерная для определенной жидкости;
  • V C {\displaystyle V_{C}} — собственный объем, занимаемый частицами жидкости.

Это эмпирическое соотношение называется формулой Бачинского.

Динамическая вязкость жидкостей уменьшается с увеличением температуры, и растёт с увеличением давления.

Кинематическая вязкость

В технике, в частности, при расчёте гидроприводов и в триботехнике, часто приходится иметь дело с величиной:

ν = η ρ , {\displaystyle \nu ={\frac {\eta }{\rho }},}

и эта величина получила название кинематической вязкости.

Здесь ρ {\displaystyle \rho } — плотность жидкости; η {\displaystyle \eta } — коэффициент динамической вязкости.

Кинематическая вязкость в старых источниках часто указана в сантистоксах (сСт). В СИ эта величина переводится следующим образом: 1 сСт = 1 мм²/c = 10−6 м²/c.

Условная вязкость

Условная вязкость — величина, косвенно характеризующая гидравлическое сопротивление течению, измеряемая временем истечения заданного объёма раствора через вертикальную трубку (определённого диаметра). Измеряют в градусах Энглера (по имени немецкого химика К. О. Энглера), обозначают — °ВУ. Определяется отношением времени истечения 200 см³ испытываемой жидкости при данной температуре из специального вискозиметра ко времени истечения 200 см³ дистиллированной воды из того же прибора при 20 °С. Условную вязкость до 16 °ВУ переводят в кинематическую по таблице ГОСТ, а условную вязкость, превышающую 16 °ВУ, по формуле:

ν = 7 , 4 ⋅ 10 − 6 E t , {\displaystyle \nu =7,4\cdot 10^{-6}E_{t},}

где ν {\displaystyle \nu } — кинематическая вязкость (в м2/с), а E t {\displaystyle E_{t}} — условная вязкость (в °ВУ) при температуре t.

Ньютоновские и неньютоновские жидкости

Ньютоновскими называют жидкости, для которых вязкость не зависит от скорости деформации. В уравнении Навье — Стокса для ньютоновской жидкости имеет место аналогичный вышеприведённому закон вязкости (по сути, обобщение закона Ньютона, или закон Навье — Стокса):

σ i j = η ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) , {\displaystyle \sigma _{ij}=\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right),}

где σ i , j {\displaystyle \sigma _{i,j}} — тензор вязких напряжений.

Среди неньютоновских жидкостей, по зависимости вязкости от скорости деформации различают псевдопластики и дилатантные жидкости. Моделью с ненулевым напряжением сдвига (действие вязкости подобно сухому трению) является модель Бингама. Если вязкость меняется с течением времени, жидкость называется тиксотропной. Для неньютоновских жидкостей методика измерения вязкости получает первостепенное значение.

С повышением температуры вязкость многих жидкостей падает. Это объясняется тем, что кинетическая энергия каждой молекулы возрастает быстрее, чем потенциальная энергия взаимодействия между ними. Поэтому все смазки всегда стараются охладить, иначе это грозит простой утечкой через узлы.

Вязкость аморфных материалов

Вязкость аморфных материалов (например, стекла или расплавов) — это термически активизируемый процесс:

η ( T ) = A ⋅ exp ⁡ ( Q R T ) , {\displaystyle \eta (T)=A\cdot \exp \left({\frac {Q}{RT}}\right),}

где:

  • Q {\displaystyle Q} — энергия активации вязкости (Дж/моль);
  • T {\displaystyle T} — температура (К);
  • R {\displaystyle R} — универсальная газовая постоянная (8,31 Дж/моль·К);
  • A {\displaystyle A} — некоторая постоянная.

Вязкое течение в аморфных материалах характеризуется отклонением от закона Аррениуса: энергия активации вязкости Q {\displaystyle Q} изменяется от большой величины Q H {\displaystyle Q_{H}} при низких температурах (в стеклообразном состоянии) на малую величину Q L {\displaystyle Q_{L}} при высоких температурах (в жидкообразном состоянии). В зависимости от этого изменения аморфные материалы классифицируются либо как сильные, когда ( Q H − Q L ) < Q L {\displaystyle \left(Q_{H}-Q_{L}\right)<Q_{L}} , или ломкие, когда ( Q H − Q L ) ≥ Q L {\displaystyle \left(Q_{H}-Q_{L}\right)\geq Q_{L}} . Ломкость аморфных материалов численно характеризуется параметром ломкости Доримуса R D = Q H Q L {\displaystyle R_{D}={\frac {Q_{H}}{Q_{L}}}} : сильные материалы имеют R D < 2 {\displaystyle R_{D}<2} , в то время как ломкие материалы имеют R D ≥ 2 {\displaystyle R_{D}\geq 2} .

Вязкость аморфных материалов весьма точно аппроксимируется двуэкспоненциальным уравнением:

с постоянными A 1 {\displaystyle A_{1}} , A 2 {\displaystyle A_{2}} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} и D {\displaystyle D} , связанными с термодинамическими параметрами соединительных связей аморфных материалов.

В узких температурных интервалах недалеко от температуры стеклования T g {\displaystyle T_{g}} это уравнение аппроксимируется формулами типа VTF или сжатыми экспонентами Кольрауша.

Вязкость

Если температура существенно ниже температуры стеклования T < T g {\displaystyle T<T_{g}} , двуэкспоненциальное уравнение вязкости сводится к уравнению типа Аррениуса

η ( T ) = A L T ⋅ exp ⁡ ( Q H R T ) , {\displaystyle \eta (T)=A_{L}T\cdot \exp \left({\frac {Q_{H}}{RT}}\right),}

с высокой энергией активации Q H = H d + H m {\displaystyle Q_{H}=H_{d}+H_{m}} , где H d {\displaystyle H_{d}} — энтальпия разрыва соединительных связей, то есть создания конфигуронов, а H m {\displaystyle H_{m}} — энтальпия их движения. Это связано с тем, что при T < T g {\displaystyle T<T_{g}} аморфные материалы находятся в стеклообразном состоянии и имеют подавляющее большинство соединительных связей неразрушенными.

При T ≫ T g {\displaystyle T\gg T_{g}} двуэкспоненциальное уравнение вязкости также сводится к уравнению типа Аррениуса

η ( T ) = A H T ⋅ exp ⁡ ( Q L R T ) , {\displaystyle \eta (T)=A_{H}T\cdot \exp \left({\frac {Q_{L}}{RT}}\right),}

но с низкой энергией активации Q L = H m {\displaystyle Q_{L}=H_{m}} . Это связано с тем, что при T ≫ T g {\displaystyle T\gg T_{g}} аморфные материалы находятся в расправленном состоянии и имеют подавляющее большинство соединительных связей разрушенными, что облегчает текучесть материала.

Относительная вязкость

В технических науках часто пользуются понятием относительной вязкости, под которой понимают отношение коэффициента динамической вязкости (см. выше) раствора к коэффициенту динамической вязкости чистого растворителя:

μ r = μ μ 0 , {\displaystyle \mu _{r}={\frac {\mu }{\mu _{0}}},}

где:

  • μ — динамическая вязкость раствора;
  • μ0 — динамическая вязкость растворителя.

Вязкость некоторых веществ

Для авиастроения и судостроения наиболее важно знать вязкости воздуха и воды.

Вязкость воздуха

Зависимость вязкости сухого воздуха от давления при температурах 300, 400 и 500 K

Вязкость воздуха зависит в основном от температуры. При 15,0 °C вязкость воздуха составляет 1,78⋅10−5 кг/(м·с), 17,8 мкПа·с или 1,78⋅10−5 Па·с. Можно найти вязкость воздуха как функцию температуры с помощью программ расчёта вязкостей газов.

Вязкость воды

Зависимость динамической вязкости воды от температуры в жидком состоянии (Liquid Water) и в виде пара (Vapor)

Динамическая вязкость воды составляет 8,90·10−4 Па·с при температуре около 25 °C. Как функция температуры: T = A × 10B/(T−C), где A = 2,414·10−5 Па·с; B = 247,8 K; C = 140 K.

Значения динамической вязкости жидкой воды при разных температурах вплоть до точки кипения приведены в таблице:

Температура, °C Вязкость, мПа·с
10 1,308
20 1,002
30 0,7978
40 0,6531
50 0,5471
60 0,4668
70 0,4044
80 0,3550
90 0,3150
100 0,2822

Динамическая вязкость разных веществ

Ниже приведены значения коэффициента динамической вязкости некоторых ньютоновских жидкостей:

Вязкость отдельных видов газов

Газ при 0 °C (273 K), мкПа·с при 27 °C (300 K), мкПа·с
воздух 17,4 18,6
водород 8,4 9,0
гелий 20,0
аргон 22,9
ксенон 21,2 23,2
углекислый газ 15,0
метан 11,2
этан 9,5
Вязкость жидкостей при 25 °C

Жидкость Вязкость, Па·с Вязкость, мПа·с
ацетон 3,06·10−4 0,306
бензол 6,04·10−4 0,604
кровь (при 37 °C) (3—4)·10−3 3—4
касторовое масло 0,985 985
кукурузный сироп 1,3806 1380,6
этиловый спирт 1.074·10−3 1.074
этиленгликоль 1,61·10−2 16,1
глицерин (при 20 °C) 1,49 1490
мазут 2,022 2022
ртуть 1,526·10−3 1,526
метиловый спирт 5,44·10−4 0,544
моторное масло SAE 10 (при 20 °C) 0,065 65
моторное масло SAE 40 (при 20 °C) 0,319 319
нитробензол 1,863·10−3 1,863
жидкий азот (при 77K) 1,58·10−4 0,158
пропанол 1,945·10−3 1,945
оливковое масло 0,081 81
пек 2,3·108 2,3·1011
серная кислота 2,42·10−2 24,2
вода 8,94·10−4 0,894

Примечания

  1. Ред. Ф. Н. Тавадзе Внутреннее трение в металлах, полупроводниках, диэлектриках и ферромагнетиках. — М., Наука, 1978. — 235 c.
  2. В общем случае это не так.
  3. О некоторых ошибках в курсах гидродинамики, с. 3—4.
  4. Alexander J. Smits, Jean-Paul Dussauge Turbulent shear layers in supersonic flow. — Birkhäuser, 2006. — P. 46. — ISBN 0-387-26140-0.
  5. data constants for sutherland’s formula
  6. Viscosity of liquids and gases
  7. Хмельницкий Р. А. Физическая и коллоидная химия: Учебних для сельскохозяйственных спец. вузов. — М.: Высшая школа, 1988. — С. 40. — 400 с. — ISBN 5-06-001257-3.
  8. Попов Д. Н. Динамика и регулирование гидро- и превмосистем. : Учеб. для машиностроительных вузов. — М. : Машиностроение, 176. — С. 175. — 424 с.
  9. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. — М.: Наука, 1970. — С. 166.
  10. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. —Ленинград, Наука, 1975. — стр. 226
  11. Ojovan M. Viscous flow and the viscosity of melts and glasses. Physics and Chemistry of Glasses, 53 (4) 143—150 (2012).
  12. Gas Viscosity Calculator

См. также

  • Уравнения Навье — Стокса
  • Закон вязкого трения Ньютона
  • Течение Пуазёйля
  • Степенной закон вязкости жидкостей
  • Тиксотропия
  • Реопексия
  • Псевдопластичность
  • Текучесть
  • Вязкоупругость
  • Индекс вязкости

Литература

  • R. H. Doremus. J. Appl. Phys., 92, 7619—7629 (2002).
  • M. I. Ojovan, W. E. Lee. J. Appl. Phys., 95, 3803—3810 (2004).
  • M. I. Ojovan, K. P. Travis, R. J. Hand. J. Phys.: Condensed Matter, 19, 415107 (2007).
  • Л. И. Седов. Механика сплошной среды. Т. 1. — М.: Наука, 1970. — 492 с.
  • П. Н. Гедык, М. И. Калашникова. Смазка металлургического оборудования. — М.: Металлургия, 1976. — 380 с.
  • И. Ф. Голубев. Вязкость газов и газовых смесей. — М.: Физматлит, 1959.
  • Ред. Ф. Н. Тавадзе Внутреннее трение в металлах, полупроводниках, диэлектриках и ферромагнетиках. — М., Наука, 1978. — 235 c.

Ссылки

  • Аринштейн А. Сравнительный вискозиметр Жуковского // Квант, № 9, 1983.
  • Измерение вязкости нефтепродуктов
  • Булкин П. С. Попова И. И.,Общий физический практикум. Молекулярная физика
  • Статья в энциклопедии Химик.ру
  • Градус условной вязкости
  • Вязкость воды

Словари и энциклопедии

Нормативный контроль

GND: 4063625-2 · NDL: 00568098

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.
Эта отметка установлена 28 апреля 2013 года.
Для улучшения этой статьи желательно:

  • Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
  • Викифицировать список литературы.

Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.

Вязкость жидкости. Уравнение Ньютона. Ньютоновские и неньютоновские жидкости

Измерение скорости жидкости. Трубка Пито.

Можно сделать столь узкое сечение трубки, что вследствие малого давления (ниже атмосферного) в это сечение будет засасываться воздух или жидкость (так называемое всасывающее действие струи). Это явление используют в водоструйных насосах, ингаляторах и пульверизаторах.

Выберем в движущемся потоке жидкости точки 1 и 2, лежащие на одной линии тока (рис. 3).

Так как трубка горизонтальная, а V2 = 0, то на основании (7) запишем:

, откуда .

Трубку 2, изображенную на рисунке называют трубкой Пито, по высоте h2 столба жидкости в которой измеряют полное давление р2 .

Статическое давление р1 движущейся жидкости определяют при помощи трубки 1 по высоте h1 столба.

При течении реальной жидкости отдельные слои ее воздейст­вуют друг на друга с силами, касательными к слоям. Это явление называют внутренним трением или вязкостью.

Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твердыми пластинками (рис. 7.1), из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со скоростью uВ. Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1, 2, 3 и т. д. Слой, «прилипший» ко дну, неподвижен. По мере удаления от дна (нижняя пластинка) слои жид­кости имеют все большие скорости (u1 < u2 < u3 < …), максимальная скорость uВ будет у слоя, который «прилип» к верхней пластинке.

Рис. 7.1

Слои воздействуют друг на друга. Так, например, третий слой стремится ускорить движение второго, носам испытывает торможение с его стороны, а ускоряется четвертым слоем и т. д. Сила внутреннего трения пропорциональна площади S взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше их относительная скорость. Так как разде­ление на слои условно, то принято выражать силу в зависимости от изменения скорости на некотором участке в направлении х, перпендикулярном скорости, отнесенного к длине этого участка, т. е. от величины du/dx — градиента скорости (скорости сдвига):

(7.1)

Это уравнение Ньютона.Здесь h — коэффициент пропорци­ональности, называемый коэффициентом внутреннего трения, или динамической вязкостью (или просто вязкостью). Вязкость зави­сит от состояния и молекулярных свойств жидкости (или газа).

Единицей вязкости является паскалъ-секунда (Па • с). В системе СГС вязкость выражают в пуазах (П): 1 Па • с = 10 П.

Для многих жидкостей вязкость не зависит от градиента ско­рости, такие жидкости подчиняются уравнению Ньютона (7.1), и их называют ньютоновскими. Жидкости, не подчиняющиеся уравнению (7.1), относят к неньютоновским. Иногда вязкость ньютоновских жидкостей называют нормальной, а неньютонов­ских — аномальной.

Жидкости, состоящие из сложных и крупных молекул, напри­мер растворы полимеров, и образующие благодаря сцеплению мо­лекул или частиц пространственные структуры, являются ненью­тоновскими. Их вязкость при прочих равных условиях много больше, чем у простых жидкостей. Увеличение вязкости происхо­дит потому, что при течении этих жидкостей работа внешней си­лы затрачивается не только на преодоление истинной, ньютонов­ской, вязкости, но и на разрушение структуры. Кровь является неньютоновской жидкостью.

Течение вязкой жидкости по трубам. Формула Пуазейля

Течение вязкой жидкости по трубам представляет для медици­ны особый интерес, так как кровеносная система состоит в основ­ном из цилиндрических сосудов разного диаметра.

Вследствие симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Наибольшей скоростью обладают частицы, движущиеся вдоль оси трубы; примыкающий к трубе слой жидкости неподвижен.

Примерное распределение скорости сло­ев v жидкости в сечении трубы показано на рис. 7.2.

Для определения зависимости ско­рости слоев от их расстояния r от оси выделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса r и длины l (рис. 7.3, а). На торцах этого цилиндра поддерживаются давления pl и р2 соответственно, что обусловливает результирующую силу

(7.2)

На боковую поверхность цилиндра со стороны окружающего слоя жидкости действует сила внутреннего трения, равная

(7.3)

где S = 2prl — площадь боковой поверхности цилиндра. Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на выде­ленный цилиндр, уравновешены: F = Fтр . Подставляя в это равен­ство (7.2) и (7.3), получаем

(7.4)

Знак «-» в правой части уравнения обусловлен тем, что du/dr < 0 (скорость уменьшается с увеличением r). Из (7.4) имеем

Проинтегрируем это уравнение:

(7.5)

здесь нижние пределы соответствуют слою, «прилипшему» к внут­ренней поверхности трубы (u = 0 при r = R), а верхние пределы — переменные. После интегрирования (7.5) получаем параболиче­скую зависимость скорости слоев жидкости от расстояния их до оси трубы (см. огибающую концов векторов скорости на рис. 7.2):

Наибольшую скорость имеет слой, текущий вдоль оси трубы (r = 0):

Установим, от каких факторов зависит объем Q жидкости, про­текающей через горизонтальную трубу за 1 с. Для этого выделим цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr. Площадь сече­ния этого слоя (рис. 7.3, б) dS = 2prdr. Так как слой тонкий, то можно считать, что он перемещается с одинаковой скоростью u. За 1 с слой переносит объем жидкости

dQ = udS = u • 2prdr/. (7.7)

Подставляя (7.6) в (7.7), получаем

откуда интегрированием по всему сечению находим

Зависимость объема жидкости Q, протекающей через горизон­тальную трубу радиуса R за 1 с, определяется формулой Пуазейля (7.8), где h — вязкость жидкости, а р1 — р2 — разность давле­ний, поддерживаемая на торцах трубы длиной l.

Как видно из (7.8), при заданных внешних условиях (р1 и р2) через трубу протекает тем больший объем жидкости, чем меньше ее вязкость и больше радиус трубы.

Проведем аналогию между формулой Пуазейля (7.8) и законом Ома для участка цепи без источника тока. Разность потенциалов соответствует разности давлений на концах трубы, сила тока — объему жидкости, протекающей через сечение трубы в 1 с, элект­рическое сопротивление — гидравлическому сопротивлению:

(7.9)

Гидравлическое сопротивление тем больше, чем больше вязкость h, длина l трубы и меньше площадь поперечного сечения. Аналогия между электрическим и гидравлическим сопротивлениями позво­ляет в некоторых случаях использовать правило нахождения элект­рического сопротивления последовательного и параллельного соеди­нений проводников для определения гидравлического сопротивления системы последовательно или параллельно соединенных труб. Так, например, общее гидравлическое сопротивление трех труб, со­единенных последовательно (рис. 7.4, а) и параллельно (рис. 7.4, б), вычисляется соответственно по формулам:

Х = Х1 + Хг + Х3,(7.10)

(7.11)

Чтобы придать уравнению Пуазейля более общее выражение, справедливое и для труб переменного сечения, заменим (р1 — р2)/dl градиентом давления dp/dl, и тогда

(7.12)

Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы разного сечения, по которой течет вязкая жидкость, мано­метрические трубки (рис. 7.5, а). Они показывают, что статическое давление вдоль трубы переменного сечения убывает пропорци­онально l : dp/dl = const. Так как величина Q одинакова (несжимае­мая жидкость), то градиент давления больше в трубах меньшего радиуса. График зависимости давления от расстояния вдоль труб разного радиуса приближенно показан на рис. 7.5, б

Физические вопросы гемодинамики

Гемодинамикой называют область биомеханики, в которой исследуется движение крови по сосудистой системе. Физи­ческой основой гемодинамики является гидродинамика. Те­чение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов

В главе рассматриваются также физические основы работы некоторых технических устройств, используемых в связи с кровообращением.

Течение Пуазёйля

Параболическое распределение скорости при течении Пуазёйля. Пропеллеры показывают, что у этого течения ненулевая зави́хренность.

Тече́ние Пуазёйля — ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между параллельными плоскостями. Течение Пуазёйля — одно из самых простых точных решений уравнений Навье — Стокса. Описывается законом Пуазёйля (также называемым законом Гагена — Пуазёйля или Хагена — Пуазёйля).

Постановка задачи

Рассматривается установившееся течение несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения под действием постоянной разности давлений. Если предположить, что течение будет ламинарным и одномерным (иметь только компоненту скорости, направленную вдоль канала), то уравнение решается аналитически, и для скорости получается параболический профиль (часто называемый профилем Пуазёйля) — распределение скорости в зависимости от расстояния до оси канала:

v ( r ) = p 1 − p 2 4 η L ( R 2 − r 2 ) , {\displaystyle v\left(r\right)={\frac {p_{1}-p_{2}}{4\eta L}}(R^{2}-r^{2}),}

где

  • v {\displaystyle v} — скорость жидкости вдоль трубопровода;
  • r {\displaystyle r} — расстояние от оси трубопровода;
  • R {\displaystyle R} — радиус трубопровода;
  • p 1 − p 2 {\displaystyle p_{1}-p_{2}} — разность давлений на входе и на выходе из трубы;
  • η {\displaystyle \eta } — вязкость жидкости;
  • L {\displaystyle L} — длина трубы.

Такой же профиль в соответствующих обозначениях имеет скорость при течении между двумя бесконечными параллельными плоскостями. Такое течение также называют течением Пуазёйля.

Закон Пуазёйля (Гагена — Пуазёйля)

Основная статья: Закон Пуазёйля

Уравнение или закон Пуазёйля (закон Гагена — Пуазёйля или закон Хагена — Пуазёйля) — закон, определяющий расход жидкости при установившемся течении вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке круглого сечения.

Сформулирован впервые Готтхильфом Хагеном (нем. Gotthilf Hagen, иногда Гаген) в 1839 году на основе экспериментальных данных и вскоре повторно выведен Ж. Л. Пуазёйлем (фр. J. L. Poiseuille) в 1840 году (также на основании эксперимента). Согласно закону, секундный объёмный расход жидкости пропорционален перепаду давления на единицу длины трубки (градиенту давления в трубе) и четвёртой степени радиуса (диаметра) трубы:

Q = ∫ S v ( r ) d S = 2 π ∫ 0 R v ( r ) r d r = π D 4 ( p 1 − p 2 ) 128 η L = π R 4 ( p 1 − p 2 ) 8 η L , {\displaystyle Q=\int \limits _{S}v\left(r\right)dS=2\pi \int \limits _{0}^{R}v\left(r\right)rdr={\frac {\pi D^{4}(p_{1}-p_{2})}{128\eta L}}={\frac {\pi R^{4}(p_{1}-p_{2})}{8\eta L}},}

где

  • Q {\displaystyle Q} — расход жидкости в трубопроводе
  • D {\displaystyle D} — диаметр трубопровода

Закон Пуазёйля работает только при ламинарном течении и при условии, что длина трубки превышает так называемую длину начального участка, необходимую для развития в трубке ламинарного течения с параболическим профилем скорости.

Свойства

  • Течение Пуазёйля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки.
  • В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше максимальной скорости в этом сечении.

Вариации и обобщение

Имеется обобщение формулы закона Пуазёйля для цилиндрической трубы эллиптического сечения. Из Этой формулы следует еще одна формула закона Пуазёйля для движения жидкости между двумя параллельными плоскостями (когда большая полуось эллипса стремится к бесконечности). Формулы имеются для закона распределения скоростей течения жидкости и для расхода жидкости в единицу времени через единицу площади. Первая пара формул есть в . Вторая пара формул есть в

> См. также

  • Число Рейнольдса
  • Течение Куэтта
  • Течение Куэтта — Тейлора

> Литература

  • Касаткин А. Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. — М.: ГХИ, — 1961. — 831 с.
  • Воларович М. П. Работы Пуазейля о течении жидкости в трубах (К столетию со времени опубликования) // Известия Академии наук СССР. Серия физическая. 1947, Т. 11, № 1
  • Б.М. Яворский, А.А. Детлаф. Справочник по физике. 1978..
  • Эберт Г. Краткий справочник по физике: справочное издание/ пер. со 2-го нем. изд. ; под ред. К. П. Яковлева. М.: Физматгиз, 1963. 552 с..
  • Течения в трубе. Формула Пуазейля

    Число задач, для которых получено аналитическое решение гидродинамической системы уравнений для модели вязкой жидкости, немногочисленно. Рассмотрим одну из них, в которой определяются параметры установившегося прямолинейного потока вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе. Эта задача имеет важное прикладное значение, поскольку транспортировка жидкости (воды, нефти и т.д.) и газа осуществляется по трубопроводам. Во многих случаях инженерные расчеты напорных течений вязкой жидкости в трубопроводах приходится осуществлять, принимая ряд существенных упрощений, которых нет в реальных течениях. Однако полученные решения оказываются вполне удовлетворительными для практических потребностей.

    Поставим задачу следующим образом. По заданным начальным и граничным условиям для потока в трубе требуется вычислить распределение скорости по сечению трубы и определить объемный расход жидкости. Систему координат для потока в круглой трубе радиуса и длины выберем так, как показано на рис. 7.35. Из уравнения неразрывности при условии стационарности течения имеем

    (7.76)

    Считаем, что течение плоское со скоростью, направленной вдоль оси , тогда

    (7.77)

    Векторное уравнение Навье – Стокса для стационарного движения вязкой жидкости имеет вид

    С учетом (7.77) в компонентной форме его можно записать так:

    (7.78)

    Так как давление не зависит от координаты , то левая и правая части уравнения Навье – Стокса взаимно независимы. Следовательно, если правая часть уравнения зависит от переменной , то левую часть можно считать зависящей только от переменной . Обозначим правую часть уравнения следующим образом:

    . (7.79)

    Перейдем к записи уравнений в цилиндрической системе координат :

    В результате уравнение движения вязкой жидкости в трубе примет такой вид:

    (7.80)

    Поток в трубе осесимметричен, поэтому в (7.80) производные по углу можно опустить:

    После преобразования имеем

    Группируем производные под знак дифференциала:

    Интегрируем с точностью до константы:

    После второго интегрирования получаем

    (7.81)

    Для определения констант интегрирования используем следующие граничные условия. Полагаем, что на оси трубы при скорость достигает максимального значения , а на стенке трубы при из-за прилипания скорость обращается в нуль. Тогда для постоянных интегрирования получаем: , .

    Градиент давления в (7.79) можно представить в виде отношения перепада давления к длине трубы :

    Тогда для зависимости скорости от радиальной координаты получаем следующую формулу:

    (7.82)

    Формула (7.82) для распределения скорости по радиусу в круглой трубе называется законом Пуазейля. Впервые эта формула была получена опытным путем французским врачом Ж. Пуазейлем (1799 – 1869), исследовавшим движение крови в сосудах животных.

    По известным компонентам вектора скорости можно легко вычислить компоненты тензора скоростей деформаций

    В нашем случае, очевидно,

    Зная компоненты тензора скоростей деформаций, на основе закона Навье – Стокса

    легко вычислить компоненты тензора напряжений:

    Отсюда ясно, что не зависят от и что компоненты тензора вязких напряжений и вызваны градиентом скорости .

    Нетрудно убедиться, что рассматриваемое движение жидкости вихревое, несмотря на то, что линии тока являются прямыми. Вектор вихря в нашем случае можно вычислить по формуле

    Для течения Пуазейля, как следует из (7.82), скорость потока в трубе в поперечном направлении изменяется по параболе. Параболический профиль скорости слоев будет и при течении жидкости между двумя пластинами, как изображено на рис. 7.26. Если этот рисунок разрезать посередине на высоте и наклонить нижнюю пластину под углом к горизонту, то получится картина течения воды в реке под действием силы тяжести (см. рис. 7.36). При расчете профиля скоростей течения вместо градиента давления можно использовать компоненту силы тяжести .

    Из закона Пуазейля следует, что при (на оси трубы), скорость достигает максимального значения, которое равно

    (7.83)

    Для средней скорости получаем

    (7.84)

    Объемный расход потока вязкой жидкости в круглой трубе вычисляется следующим образом:

    (7.85)

    Это уравнение Хагена – Пуазейля играет значительную роль в физиологии нашего кровообращения. Капиллярная система человека имеет длину (около окружности Земли!). Повышение мускульной деятельности требует увеличения тока крови . Это наиболее действенно достигается расширением капилляров . Расширенная сеть сосудов должна быть наполнена. Требуемое количество крови заимствуется, прежде всего, из селезенки и печени.

    Точные решения уравнений Навье – Стокса получены также для описания течений жидкостей, обладающих относительно большой вязкостью. Этот результат связывают с Н.Н. Петровым (1836 – 1920), который разработал гидродинамическую теорию смазки. В его теории обоснована способность тел, смазанных сильно вязкими жидкостями по контактной поверхности, воспринимать значительные нагрузки при незначительном трении с толщиной смазочного слоя, измеряемой сотыми долями миллиметра.

    Вычислим силу , действующую со стороны жидкости на участок длины трубы круглого поперечного сечения. С одной стороны, из уравнения количества движения для жидкого цилиндра радиуса и длины будем иметь

    . (7.86)

    С другой стороны, касательное напряжение, действующее со стороны жидкости на стенку, можно вычислить по закону Навье – Стокса

    ,

    откуда по (7.82) при будем иметь

    (7.86’)

    т.е. касательное напряжение на стенках трубы постоянно, и сила сопротивления будет равна

    (7.87)

    Движение жидкости сопровождается взаимодействием со средой, являющейся внешней по отношению к течению, и одновременно внутренним трением между частицами потока. Гидравлическое сопротивление делится на две группы: сопротивление по длине и сопротивление местное, возникающее при взаимодействии жидкости с различными препятствиями на пути потока (например, задвижками, кранами, решетками и т.д.).

    Коэффициентом трения называется отношение силы к скоростному напору и к некоторой характерной площади

    Если за принять площадь участка боковой поверхности трубы, на которую рассчитывается сопротивление, то в случае круглой трубы для по (7.86) и (7.87) получим

    ,

    или, на основе (7.84), придем к формуле

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *