Момент через угловую скорость

Система понятий кинематики включает в себя также такую величину как угловое ускорение тела. Дадим ей определение, рассмотрим основные аспекты с использованием примеров.

Основные понятия

Определение 1

Угловое ускорение – величина, характеризующая изменение скорости с течением времени.

Пусть рассматриваемый промежуток времени это: Δt=t1-t, а изменение угловой скорости составит Δω=ω1-ω, тогда числовое значение среднего углового ускорения за тот же интервал времени: ε=∆ω∆t=ε. Перейдем к пределу, когда Δt>0, тогда формула углового ускорения будет иметь вид: ε=lim∆t→0∆ω∆t=dωdt=d2φdt=ω˙=φ¨.

Определение 2

Числовое значение ускорения в заданный момент времени есть первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени.

Размерность углового ускорения 1T2 (т.е. 1время2). Укажем также, в чем измеряется угловое ускорение: за единицу измерения стандартно принимается рад/с2 или иначе: 1с2(с-2).

Определение 3

Ускоренное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) возрастает с течением времени.

Определение 4

Замедленное вращение тела – это вращение, при котором угловая скорость (ее модуль) убывает с течением времени.

В общем, довольно просто заметить, что, если ω и ε имеют одинаковые знаки, наблюдается ускоренное вращение, а, когда противоположные знаки – замедленное.

Рисунок 1. Вектор углового ускорения

Если мы представим угловое ускорение как вектор ε→=dω→dt, имеющий направление вдоль оси вращения, то в случае ускоренного вращения ε→ и ω→ совпадут по направлениям (левая часть
рисунка 1) и будут противоположны по направлениям в случае замедленного вращения (правая часть
рисунка 1).

Закон равнопеременного вращения

Определение 5

Равнопеременное вращение – вращение, при котором угловое ускорение во все время движения является постоянным (ε=const).

Выведем формульно закон равнопеременного вращения. Пусть в начальный момент времени t0 угол вращения равен ϕ=ϕ0; угловая скорость — ω=ω0 (т.е. ω0 является начальной угловой скоростью).

Выражение ε=dωdt=ω˙=φ¨ дает нам возможность сделать запись: dω=εdt. Проинтегрируем левую часть крайней записи в пределах от ω0 до ω, а правую – в пределах от 0 до t, тогда:

ω=ω0+εt, dφ=ω0dt+εtdt.

Проинтегрируем вторично и получим формулу, выражающую закон равнопеременного вращения:

Определение 6

Закон равнопеременного вращения: φ=φ0+ωt+εt22.

Вращение является равноускоренным, когда ω и ε имеют одинаковые знаки.

Вращение является равнозамедленным, когда ω и ε противоположны по знаку.

Угловое ускорение имеет связь с полным и тангенциальным ускорениями. Пусть некоторая точка вращается неравномерно по окружности с радиусом R, тогда: αr=εR. Нормальное ускорение имеет также связь с угловым: an=ω2R. Учтем это выражение и для полного ускорения получим: a=ar2+an2=Rε2+ω4 Для равнопеременного движения: ω=εt; an=ω2R=ε2t2R и a=Rε2+ε4t4=Rε1+ε2t4.

Практические примеры

Пример 1

На рисунке 2 заданы различные типы вращения гироскопа (волчка). С учетом соответствующих подписей необходимо указать, какой рисунок верно демонстрирует направление углового ускорения.

Рисунок 2

Решение

Правило буравчика (правого винта) связывает направление вращения и псевдовектор угловой скорости. Рисунки 2.1. и 2.3. показывают направление псевдовектора вверх, а рисунки 2.2. и 2.4. – вниз.

Когда угловая скорость возрастает, ее приращение и вектор ускорения совпадут с вектором угловой скорости (рисунки 2.1. и 2.4.). Когда угловая скорость будет уменьшаться, ее приращение и вектор ускорения окажутся противоположно направлены вектору угловой скорости (рисунки 2.2. и 2.3.). Таким образом, все рисунки демонстрируют верное направление углового ускорения.

Пример 2

Пусть задана некоторая материальная точка, совершающая движение по окружности с радиусом R. При этом выражение ϕ=αt3 отражает зависимость угла поворота от времени. Необходимо найти полное ускорение заданной точки как функцию времени.

Решение

Запишем выражения для угловой скорости и углового ускорения заданной точки:

Лабораторная работа №3

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Сибирский государственный университет путей сообщения

Кафедра физики

Лабораторная работа №3

ИЗУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Разработал

студент гр. СМТ-114

Горшкова Я.А.

2012год

Цель работы: исследовать, от каких величин зависит угловое ускорение вращающегося твердого тела, и проверить эти зависимости экспериментально.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, грузы на нити, секундомер, линейка.

Теоретическое введение

Абсолютно твердым называется тело, деформацией которого в данной задаче можно пренебречь.

Любое движение твердого тела можно разложить на два простейших движения: поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение тела, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе. Вращательным называется движение, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центрами на одной прямой, называемой осыо вращения, при этом плоскости всех окружностей перпендикулярны оси.

Как известно, причиной изменения скорости движения (т.е. ускорения) является внешнее воздействие на тело. Уравнение динамики устанавливает связь между ними.

При поступательном движении в любой момент времени все точки тела имеют одинаковые скорости (а также одинаковые ускорения), так что уравнением динамики поступательного дви­жения является уравнение второго закона Ньютона:

масса тела m является мерой инертности тела.

Характеристикой инертности тела при враща­тельном движении является момент инерции тела. Момент инерции отдельно взятой материальной точки массой m, удален­ной от оси вращения на расстояние r, определяется формулой

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции всех материальных точек, образующих это тело.

Результат внешнего воздействия на вращающееся тело зависит не только от величины и направления силы, как при поступательном движении, но и от точки ее приложения. Если сила параллельна оси вращения, то она не влияет на вращение тела. Воздействие оказывает только сила, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела. При вращательном движении мерой воздействия служит момент силы М относительно оси, модуль его равен:

где F — проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l— ее плечо.

Плечом силы относительно данной оси на­зывают длину перпендикуляра, опущенного из оси на линию действия F . На рис. 3.1 ось вращения перпендикулярна плоскости черте­жа и проходит через точку О. Сила приложе­на в точке А и лежит в плоскости чертежа, ее плечом является отрезок ОН.

Таким образом, уравнение, описывающее вращательное движение твердого тела:

и называется уравнением динамики вращательного движения твердого тела

Эксперимент

Изучение уравнения динамики в ращательного движения проведем в два этапа: 1 -й изучим влияние момента силы на угловое ускорение тела: 2-й изучим влияние момента инерции тела на его угловое ускорение. Измерительная установка должна обеспечить возможность изме­нять момент силы, приложенный к вращающемуся телу, и изменять момент инерции тела. Такая установка называется маятни­ком Обербека, ее схематическое изображе­ние дано на рис. 3.2.

Момет инерции маятника Обербека складывается из момента инерции пустого маятника (без цилин­дров) и моментов инерции цилиндров, принятых за материаль­ные точки общей массой

Внешнее воздействие на маятник создадим так. На шкив одного из дисков намотаем пить, к концу которой привязан груз массой m (см. рис. 3.2). Если груз не удерживать, то, падая, он тянет нить и приводит маятник во вращение. На груз массой т действуют сила тяжести и сила натяжения нити, под действием которых он приобретает ускорение а. Считая груз материальной точкой, запишем уравнение его движения (второй закон Ньютона) в векторном виде:

В проекции на направление движения груза (ось У) уравнение (3.7) примет вид:

откуда следует выражение, позволяющее вычислить силу натя­жения нити:

Считая нить невесомой и нерастяжимой и используя третий закон Ньютона, констатируем, что такая же точно сила натяже­ния приложена со стороны нити к маятнику, и именно эта сила создает вращающий момент и раскручивает маятник. Момент М силы натяжения нити относительно оси равен:

Подставляя формулу (3.8) в формулу (3.9), получаем

Учитывая, что а»g, упростим предыдущую формулу:

Итак, изменяя массу привязанного к нити груза или наматы­вая нить на другой шкив, изменяем величину момента силы, приложенного к маятнику.

Угловое ускорение маятника и тангенциальное ускорение а его точки, описывающей окружность радиуса g, связаны формулой

Падающий груз и все точки обода, на который намотана нить, имеют одинаковое ускорение а. Пусть груз начинает падать равноускоренно из состояния покоя, тогда пройденный им за время t путь h выражается формулой , откуда

Изучение зависимости углового ускорения от величины момента силы при неизменном моменте инерции

Из соотношения (3.5) следует, что для тела с неизменным моментом инерции угловые ускорения, получаемые под влия­нием различных моментов сил, прямо пропорциональны этим моментам, т.e.

Исследуем это утверждение экспериментально.

Изучение зависимости углового ускорения от величины момента инерции при неизменном моменте силы

Из соотношения (3.5) следует, что угловые ускорения двух тел, находящихся gод воздействием одинаковых моментов сил, обратно пропорциональны моментам инерции этих тел, т.е.

§ 42. Связь между силой и ускорением

В § 31 мы изложили закон инерции, согласно которому тело получает ускорение только в том случае, если на него действует сила. Опыт показывает, что направление ускорения совпадает с направлением вызывающей его силы. Выясним связь между модулем силы, действующей на тело, и модулем ускорения, сообщаемого телу этой силой.

Повседневные наблюдения показывают, что модуль ускорения, сообщаемого данному телу, тем больше, чем больше действующая на него сила: мяч получит тем большее ускорение (и в результате приобретет тем большую скорость), чем сильнее его ударят; мощный электровоз, развивающий большую силу тяги, сообщает поезду большее ускорение, чем маневровый тепловоз, и т. п. Грубо количественную связь между силой, действующей на данное тело, и приобретаемым телом ускорением можно установить на следующем опыте. Пусть подвижная тележка прикреплена при помощи пружинного динамометра к перекинутой через блок нити с грузом на конце (рис. 66). Груз растягивает пружину, сообщающую своей силой упругости ускорение тележке. Чем больше подвешенный груз, тем сильнее растянута пружина и тем больше ускорение тележки. Заметим, что показание динамометра будет меньше, чем при подвешивании груза к неподвижному динамометру, т. е. меньше, чем сила тяжести, действующая на груз. Причину этого поясним в § 52.

Рис. 66. Изучение зависимости между силой и ускорением тела. Пути, проходимые тележкой, отмечаются капельницей

Наблюдая растяжение динамометра при движении тележки, обнаружим, что оно не меняется. Значит, сила, действующая на тележку, постоянна. Ее модуль дает показание динамометра. Путь , проходимый тележкой за различные промежутки времени от начала движения, можно определять, пользуясь, например, капельницей. Измерения покажут, что путь, пройденный тележкой, пропорционален квадрату промежутка времени, прошедшего от начала движения. Это означает, что тележка движется равноускоренно (§ 22). Модуль ускорения найдем по формуле

Если подвешивать к концу нити различные грузы, на тележку будет действовать каждый раз другая сила. Определив по динамометру модули сил, действующих на тележку в каждом случае, и найдя сообщаемые тележке ускорения мы убедимся, что ускорения тележки прямо пропорциональны силам, действующим на тележку:

Опыт показывает, что не только в этом примере, но и во всех случаях ускорение тела пропорционально действующей на него силе. Отсюда следует, что для нахождения ускорений, сообщаемых данному телу разными силами, достаточно только один раз измерить и силу, действующую на тело, и вызываемое ею ускорение; если затем на то же тело подействовать другой силой, то возникающее ускорение изменится во столько же раз, во сколько раз изменилась сила.

Конечно, такие опыты с тележкой слишком грубы для точного установления закона пропорциональности между силами и ускорениями. Однако при помощи более точных методов измерений, в частности по данным астрономических наблюдений, было установлено, что прямая пропорциональность между действующей на данное тело силой и сообщаемым ею этому телу ускорением весьма точно оправдывается на опыте.

§ 2.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ УСКОРЕНИЕМ И СИЛОЙ

Ускорения тел определяются действующими на них силами. После того как мы научились измерять силу и знаем в принципе, как определять ускорение, можно ответить на главный вопрос: «Как зависит ускорение тела от действующих на него сил?»
Экспериментальное определение зависимости ускорения от силы
Установить на опыте связь между ускорением и силой с абсолютной точностью нельзя, так как любое измерение дает приблизительное значение измеряемой величины. Но подметить характер зависимости ускорения от силы можно с помощью несложных опытов. Уже простые наблюдения показы-вают, что чем больше сила, тем быстрее меняется скорость тела, т. е. тем больше его ускорение. Естественно предположить, что ускорение прямо пропорционально силе. В принципе, конечно, зависимость ускорения от силы может быть более сложной, но сначала надо посмотреть, не справедливо ли самое простое предположение.
Лучше всего изучать поступательное движение тела, например металлического бруска, по горизонтальной поверхности стола, так как только при поступательном движении ускорение всех точек одно и то же, и мы можем говорить об определенном ускорении тела в целом. Однако в этом случае сила трения о стол велика и, главное, ее трудно точно измерить .
Поэтому возьмем тележку с легкими колесами и установим ее на рельсы. Тогда сила трения сравнительно невелика, а мас-
Рис. 2.14
X
Q
о
Рис. 2.13 сой колес можно пренебречь по сравнению с массой тележки, движущейся поступательно (рис. 2.13).
Пусть на тележку действует постоянная сила со стороны ни-ти, к концу которой прикреплен груз. Модуль силы измеряется пружинным динамометром. Эта сила постоянна, но не равна при движении силе, с которой Земля притягивает подвешенный груз. Измерить ускорение тележки непосредственно, определяя изменение ее скорости за малый интервал времени, весьма затруднительно. Но его можно оценить, измеряя время t, затрачиваемое тележкой на прохождение пути s.
Учитывая, что при действии постоянной силы ускорение тоже постоянно, так как оно однозначно определяется силой, можно использовать кинематические формулы равноускоренного движения. При начальной скорости, равной нулю,
at ~2~ где и ¦ Отсюда
начальная и конечная координаты тела. 2s
(2.5.1) Непосредственно на глаз видно, что тележка тем быстрее набирает скорость, чем больше действующая на нее сила. Тщательные измерения модулей силы и ускорения показывают прямую пропорциональность между ними:

а ~ F.
Существуют и другие опыты, подтверждающие эту связь. Вот один из них. Массивный каток (рис. 2.14) установлен на платформе. Если привести платформу во вращение, то каток под действием натянутой нити приобретает центростремительное ускорение, которое легко определить по радиусу вращения R и числу оборотов в секунду п:
а = 4 K2n2R.
Силу найдем из показаний динамометра. Изменяя число оборотов и сопоставляя F и а, убедимся, что F ~ а.
Если на тело одновременно действует несколько сил, то модуль ускорения тела будет пропорционален модулю геометрической суммы всех этих сил, равной:
F = Fj + F2+ … . (2.5.2)
—>
Векторы а и F направлены по одной прямой в одну и ту же сторону:
а ~ F. (2.5.3)
Это видно на опыте с тележкой: ускорение тележки направ- ленр вдоль привязанной к ней нити.
Что такое инерция?
Согласно механике Ньютона сила однозначно определяет ускорение тела, но не его скорость. Это нужно очень отчетливо представлять себе. Сила определяет не скорость, а то, как быстро она изменяется. Поэтому покоящееся тело приобретет заметную скорость под действием силы лишь за некоторый интервал времени.
mm
Ускорение возникает сразу, одновременно с началом действия силы, но скорость нарастает постепенно. Даже очень большая сила не в состоянии сообщить телу сразу значительную скорость. Для этого нужно время. Чтобы остановить тело, опять-таки нужно, чтобы тор-мозящая сила, как бы она ни была велика, действовала некоторое время.
Именно эти факты имеют в виду, когда говорят, что тела инертны. Приведем примеры простых опытов, в которых очень наглядно проявляется инертность тел.
1. Массивный шар подвешен на тонкой нити, внизу к нему привязана точно такая же нить (рис. 2.15). Если медленно тянуть за нижнюю Рис. 2.15
нить, то, как и следовало ожидать, рвется верхняя нить. Ведь на нее действует и вес шара, и сила, с которой мы тянем шар вниз. Однако если за нижнюю нить очень быстро дернуть, то оборвется именно она, что на первый взгляд довольно странно. Но это легко объяснить. Когда мы тянем за нить медленно, то шар постепенно опускается, растягивая верхнюю нить до тех пор, пока она не оборвется.
При быстром рывке с большой силой шар получает большое ускорение, но скорость его не успевает увеличиться сколь- ко-нибудь значительно за тот малый промежуток времени, в течение которого нижняя нить сильно растягивается, поэтому именно она и обрывается, а верхняя нить растягивается мало и остается целой.
Интересен опыт с длинной палкой, подвешенной на бумажных кольцах (рис. 2.16). Если резко ударить по палке железным стержнем, то палка ломается, а бумажные кольца остаются невредимыми. Этот опыт вы постарайтесь объяснить сами.
Еще более простой опыт можно выполнить дома. Идея опыта ясна из рисунка 2.17. Левая часть рисунка соответствует ситуации, когда v = const или а = 0. На правой части рисунка v Ф const, т. е. а Ф 0.
Рис. 2.16
Рис. 2.17
Наконец, самый, пожалуй, эффектный опыт. Если выстрелить в пустой пластмассовый сосуд, пуля оставит в стенках отверстия, но сосуд останется целым. Если же выстрелить в такой же сосуд, заполненный водой, то сосуд разорвется на мелкие части. Этот результат опыта объясняется так. Вода очень мало сжимаема, и небольшое изменение ее объема приводит к резкому возрастанию давления. Когда пуля очень быстро входит в воду, пробив стенки сосуда, давление резко возрастает. Из-за инертности воды ее уровень не успевает повыситься и возросшее давление разрывает сосуд на части.

Иногда говорят, что благодаря инерции тело «сопротивляется» попыткам изменить его скорость. Это не совсем верно. Тело всегда меняет скорость под действием силы, но изменение скорости требует времени. Как подчеркивал Дж. Максвелл, говорить о сопротивлении тела попыткам изменить его скорость так же неправильно, как и говорить о том, что чай «сопротивляется» тому, чтобы стать сладким. Просто нужно некоторое время для растворения сахара.
Законы механики и повседневный опыт
Основное утверждение механики достаточно наглядно и не сложно. Оно без особого труда укладывается в нашем сознании. Ведь мы с рождения живем в мире тел, движение которых подчиняется законам механики Ньютона.
Но иногда приобретенные из жизненного опыта представления могут подвести. Так, слишком укоренилось представление о том, что скорость тела направлена в ту же сторону, куда направлена приложенная к нему сила. На самом же деле сила определяет не скорость, а ускорение тела, и направление скорости и силы могут не совпадать. Это хорошо видно на рисунке 2.18.
При движении тела, брошенного под углом к горизонту, сила тяжести все время направлена вниз, и скорость, касательная к траектории, образует с силой некоторый угол, который в процессе полета тела изменяется.
Направление силы совпадает с направлением скорости только в частном случае прямолинейного движения с растущей по модулю скоростью.
Установлен главный для динамики факт: ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе.
? 1. Нить, на которой подвешен шарик, отклонили на некоторый угол и отпустили. Куда направлена равнодействующая сил, действующих на шарик, в момент, когда нить вертикальна?
2. Начертите на полу небольшой круг и устройте соревнование. Каждый участник быстро идет по прямой в направлении к кругу, держа в руке теннисный мячик. Задача состоит в том, чтобы выпущенный из рук мячик попал в круг. Это соревнование покажет, кто из вас лучше понимает сущность механики Ньютона. Рис. 2.18

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *