Период маятника

Физический маятник

У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник (значения).

Физи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Определения

  • θ {\displaystyle \theta } — угол отклонения маятника от равновесия;
  • α {\displaystyle \alpha } — начальный угол отклонения маятника;
  • m {\displaystyle m} — масса маятника;
  • h {\displaystyle h} — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
  • r {\displaystyle r} — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
  • g {\displaystyle g} — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

I = m ( r 2 + h 2 ) {\displaystyle I=m\left(r^{2}+h^{2}\right)} .

Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Основная статья: Приведённая длина

Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

I d 2 θ d t 2 = − m g h sin ⁡ θ {\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgh\sin \theta } .

Полагая r 2 h + h = l {\displaystyle {\frac {r^{2}}{h}}+h=l} , предыдущее уравнение можно переписать в виде:

l d 2 θ d t 2 = − g sin ⁡ θ {\displaystyle l{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\sin \theta } .

Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной l {\displaystyle l} . Величина l {\displaystyle l} называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии l {\displaystyle l} от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен I = m l 2 {\displaystyle I=ml^{2}} , а момент силы тяжести относительно той же оси − m g l sin ⁡ θ {\displaystyle -mgl\sin \theta } . Легко заметить, уравнение движения не изменится.

Теорема Гюйгенса

Формулировка

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Доказательство

Вычислим приведенную длину для нового маятника:

l 1 = r 2 r 2 / h + r 2 h = h + r 2 h = l {\displaystyle l_{1}={\frac {r^{2}}{r^{2}/h}}+{\frac {r^{2}}{h}}=h+{\frac {r^{2}}{h}}=l} .

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Период колебаний физического маятника

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.
Для этого умножим левую l d 2 θ d t 2 = l d d t ( d θ d t ) {\displaystyle l{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=l{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)} и правую часть этого уравнения на d θ {\displaystyle d\theta } . Тогда:

l d θ d t d ( d θ d t ) = − g sin ⁡ θ d θ {\displaystyle l{\frac {d\theta }{dt}}d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)=-g\sin \theta \,d\theta } .

Интегрируя это уравнение, получаем.

l ( d θ d t ) 2 = 2 g cos ⁡ θ + C {\displaystyle l\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}=2g\cos \theta +C} ,

где C {\displaystyle C} произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты θ = ± α , d θ d t = 0 {\displaystyle \theta =\pm \alpha \,\,\,,{\frac {d\theta }{dt}}=0} . Получаем: C = − 2 g cos ⁡ α {\displaystyle C=-2g\cos \alpha } . Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

d θ d t = 2 g l sin 2 ⁡ α 2 − sin 2 ⁡ θ 2 {\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=2{\sqrt {\frac {g}{l}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}} .

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

g l t = ∫ 0 θ 2 d ( θ 2 ) sin 2 ⁡ α 2 − sin 2 ⁡ θ 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{l}}}t=\int \limits _{0}^{\frac {\theta }{2}}{\frac {d\left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}} .

Удобно сделать замену переменной, полагая sin ⁡ θ 2 = sin ⁡ α 2 sin ⁡ φ {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin \varphi } . Тогда искомое уравнение принимает вид:

t = l g ∫ 0 φ d φ 1 − sin 2 ⁡ α 2 sin 2 ⁡ φ = l g F ( φ ∖ α / 2 ) {\displaystyle t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {\frac {l}{g}}}F\left(\varphi \setminus \alpha /2\right)} .

Здесь F ( φ ∖ α ) {\displaystyle F\left(\varphi \setminus \alpha \right)} — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

T = 4 l g ∫ 0 π / 2 d φ 1 − sin 2 ⁡ α 2 sin 2 ⁡ φ = 4 l g K ( sin ⁡ α 2 ) {\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)} .

Здесь K ( sin ⁡ α 2 ) {\displaystyle K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)} — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

T = 2 π l g { 1 + ( 1 2 ) 2 sin 2 ⁡ ( α 2 ) + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 sin 4 ⁡ ( α 2 ) + ⋯ + 2 sin 2 n ⁡ ( α 2 ) + … } {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}} .

Период малых колебаний физического маятника

Если амплитуда колебаний α {\displaystyle \alpha } мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

T = 2 π l g = 2 π I m g h {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgh}}}} .

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах до 1 радиана (≈60°)

T ≈ 2 π l g ( 1 + 1 4 sin 2 ⁡ ( α 2 ) ) = π 4 l g ( 9 − cos ⁡ α ) {\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right)={\frac {\pi }{4}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}\left(9-\cos {\alpha }\right)} . > См. также

  • Математический маятник

Ссылки

  • маятник — статья из Большой советской энциклопедии.
Для улучшения этой статьи желательно:

  • Проставив сноски, внести более точные указания на источники.
  • Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.
  • Добавить иллюстрации.

Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под точкой подвеса маятника O, на одной с ней вертикали (рис. 50). При отклонении маятника от положения равновесия на угол α возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

М = – mglsin(α)

где m – масса маятника, а l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника. Знак «–» означает, что вращательный момент стремится вернуть маятник в положение равновесия, т. е. направлен в сторону, противоположную изменения угла Δα. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой J, можно написать:

. (136)

Введем обозначение:

(137)

Тогда для малых отклонений, когда выполняется условие sin(α) ≈ α, получаем уравнение гармонических колебаний:

. (138)

При малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, циклическая частота которых определяется формулой (137). Соответственно, период колебаний физического маятника равен:

. (139)

Рис. 50.

Физический маятник

Из сопоставления формул (139) и (134) следует, что математический маятник с длиной

(140)

будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник. Величину (140) называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом,приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку О’ на рис. 50).

По теореме Штейнера момент инерции маятника l может быть представлен в виде

J = J0 + ml2, (141)

где J0 – момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр инерции маятника. Подставив (141) в формулу (140), получаем:

. (142)

Из (142) следует, что приведенная длина всегда больше l, так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции.

Подвесим маятник в точке, совпадающей с центром качания О’. В соответствии с (142) приведенная длина в этом случае будет равна

(143)

где l’ – расстояние между первоначальным центром качания и центром инерции маятника. Учитывая, что l’ = L – l, выражение (143) можно записать следующим образом:

Поскольку J0 + ml2 равно моменту инерции относительно первоначальной оси вращения J, и этой же величине, согласно (140) равно выражение mlL, то числитель дроби будет равен нулю. Поэтому L’ = L. Это означает, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Это положение называется теоремой Гюйгенса:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *