По циклу карно

Цикл Карно

Термодинамические циклы

Статья является частью серии «Термодинамика».

См. также
«Физический портал»

править

В термодинамике цикл Карно́ или процесс Карно — это идеальный круговой процесс, состоящий из двух адиабатных и двух изотермических процессов. В процессе Карно термодинамическая система выполняет механическую работу за счёт обмена теплотой с двумя тепловыми резервуарами, имеющими постоянные, но различающиеся температуры. Резервуар с более высокой температурой называется нагревателем, а с более низкой температурой — холодильником.

Цикл Карно назван в честь французского учёного и инженера Сади Карно, который впервые его описал в своём сочинении «О движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» в 1824 году.

Поскольку идеальные процессы могут осуществляться лишь с бесконечно малой скоростью, мощность тепловой машины в цикле Карно равна нулю. Мощность реальных тепловых машин не может быть равна нулю, поэтому реальные процессы могут приближаться к идеальному процессу Карно только с большей или меньшей степенью точности.

Коэффициент полезного действия (КПД) любой тепловой машины не может превосходить КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно с теми же самыми температурами нагревателя и холодильника. По этой причине, позволяя оценить верхний предел КПД тепловой машины, цикл Карно важен для теории тепловых машин. В то же время КПД цикла Карно настолько чувствителен к отклонениям от идеальности (потерям на трение), что данный цикл никогда не применяли в реальных тепловых машинах.

Описание цикла Карно

Рис. 1. Цикл Карно в координатах T—SРис. 2. Цикл Карно в координатах p—VРис. 3. Цикл Карно на термодинамической поверхности идеального газа

Пусть тепловая машина состоит из нагревателя с температурой T H {\displaystyle T_{H}} , холодильника с температурой T X {\displaystyle T_{X}} и рабочего тела.

Цикл Карно состоит из четырёх обратимых стадий, две из которых осуществляются при постоянной температуре (изотермически), а две — при постоянной энтропии (адиабатически). Поэтому цикл Карно удобно представить в координатах T {\displaystyle T} (температура) и S {\displaystyle S} (энтропия).

1. Изотермическое расширение (на рис. 1 — процесс A→Б). В начале процесса рабочее тело имеет температуру T H {\displaystyle T_{H}} , то есть температуру нагревателя. Затем тело приводится в контакт с нагревателем, который изотермически (при постоянной температуре) передаёт ему количество теплоты Q H {\displaystyle Q_{H}} . При этом объём рабочего тела увеличивается, оно совершает механическую работу, а его энтропия возрастает.

2. Адиабатическое расширение (на рис. 1 — процесс Б→В). Рабочее тело отсоединяется от нагревателя и продолжает расширяться без теплообмена с окружающей средой. При этом температура тела уменьшается до температуры холодильника T X {\displaystyle T_{X}} , тело совершает механическую работу, а энтропия остаётся постоянной.

3. Изотермическое сжатие (на рис. 1 — процесс В→Г). Рабочее тело, имеющее температуру T X {\displaystyle T_{X}} , приводится в контакт с холодильником и начинает изотермически сжиматься под действием внешней силы, отдавая холодильнику количество теплоты Q X {\displaystyle Q_{X}} . Над телом совершается работа, его энтропия уменьшается.

4. Адиабатическое сжатие (на рис. 1 — процесс Г→А). Рабочее тело отсоединяется от холодильника и сжимается под действием внешней силы без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура увеличивается до температуры нагревателя, над телом совершается работа, его энтропия остаётся постоянной.

Обратный цикл Карно

В термодинамике холодильных установок и тепловых насосов рассматривают обратный цикл Карно, состоящий из следующих стадий: адиабатического сжатия за счёт совершения работы (на рис. 1 — процесс В→Б); изотермического сжатия с передачей теплоты более нагретому тепловому резервуару (на рис. 1 — процесс Б→А); адиабатического расширения (на рис. 1 — процесс А→Г); изотермического расширения с отводом теплоты от более холодного теплового резервуара (на рис. 1 — процесс Г→В).

КПД тепловой машины Карно

Количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя при изотермическом расширении, равно

Q H = ∫ T d S = T H ( S 2 − S 1 ) = T H Δ S . {\displaystyle Q_{H}=\int TdS=T_{H}(S_{2}-S_{1})=T_{H}\Delta S.}

Аналогично, при изотермическом сжатии рабочее тело отдаёт холодильнику

Q X = T X ( S 2 − S 1 ) = T X Δ S . {\displaystyle Q_{X}=T_{X}(S_{2}-S_{1})=T_{X}\Delta S.}

Отсюда коэффициент полезного действия тепловой машины Карно равен

η = Q H − Q X Q H = T H − T X T H . {\displaystyle \eta ={\frac {Q_{H}-Q_{X}}{Q_{H}}}={\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}.}

Первая и вторая теоремы Карно

Основная статья: Теорема Карно (термодинамика)

Из последнего выражения следует, что КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, зависит только от температур нагревателя и холодильника, но не зависит ни от устройства машины, ни от вида или свойств её рабочего тела. Этот результат составляет содержание первой теоремы Карно. Кроме того, из него следует, что КПД может составлять 100 % только в том случае, если температура холодильника равна абсолютному нулю. Это невозможно, но не из-за недостижимости абсолютного нуля (этот вопрос решается только третьим началом термодинамики, учитывать которое здесь нет необходимости), а из-за того, что такой цикл или нельзя замкнуть, или он вырождается в совокупность двух совпадающих адиабат и изотерм.

Поэтому максимальный КПД любой тепловой машины не может превосходить КПД тепловой машины Карно, работающей при тех же температурах нагревателя и холодильника. Это утверждение называется второй теоремой Карно. Оно даёт верхний предел КПД любой тепловой машины и позволяет оценить отклонение реального КПД от максимального, то есть потери энергии вследствие неидеальности тепловых процессов.

Связь между обратимостью цикла и КПД

Для того чтобы цикл был обратимым, в нём должна быть исключена передача теплоты при наличии разности температур, иначе нарушается условие адиабатичности процесса. Поэтому передача теплоты должна осуществляться либо в изотермическом процессе (как в цикле Карно), либо в эквидистантном процессе (обобщённый цикл Карно или, для примера, его частный случай Цикл Брайтона). Для того чтобы менять температуру рабочего тела от температуры нагревателя до температуры холодильника и обратно, необходимо использовать либо адиабатические процессы (они идут без теплообмена и, значит, не влияют на энтропию), либо циклы с регенерацией тепла при которых нет передачи тепла при разности температур. Мы приходим к выводу, что любой обратимый цикл может быть сведён к циклу Карно.

Примером обратимого цикла, не являющегося циклом Карно, но интегрально совпадающим с ним, является идеальный цикл Стирлинга: в двигателе Стирлинга добавлен регенератор, обеспечивающий полное приближение цикла к циклу Карно с достижением обратимости и тех же величин КПД. Возможны и другие идеальные циклы, в которых коэффициент полезного действия определяется по той же формуле, что и для циклов Карно и Стирлинга, например цикл Эрикссона (англ.)русск., состоящий из двух изобар и двух изотерм.

Если же в цикле возникает передача теплоты при наличии разности температур, а таковыми являются все технические реализации термодинамических циклов, то цикл утрачивает свойство обратимости. Иначе говоря, посредством отведённой в цикле механической работы становится невозможным получить исходную теплоту. КПД такого цикла будет всегда меньше, чем КПД цикла Карно.

См. также

  • Термодинамические циклы
  • Первое начало термодинамики
  • Второе начало термодинамики
  • Термодинамическая энтропия
  • Термодинамические потенциалы

Примечания

  1. То есть без потерь, в первую очередь на трение.
  2. Карно цикл // Италия — Кваркуш. — М. : Советская энциклопедия, 1973. — (Большая советская энциклопедия : / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 11).
  3. Сивухин, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика, 2005, с. 94.
  4. Carnot S. Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. — Paris: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878. — 102 p. (фр.)
  5. Второе начало термодинамики. (Работы Сади Карно — В. Томсон — Кельвин — Р. Клаузиус — Л. Больцман — М. Смолуховский) / Под. ред. А. К. Тимирязева. — Москва—Ленинград: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. — С. 17—61.
  6. Сивухин, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика, 2005, с. 113—114.
  7. Кинан Дж., Термодинамика, 1963, с. 93.
  8. Николаев Г. П., Лойко А. Э., Техническая термодинамика, 2013, с. 172.
  9. Бахшиева Л. Т. и др., Техническая термодинамика и теплотехника, 2008, с. 148.
  10. Сивухин, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика, 2005, с. 95.
  11. Сивухин, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика, 2005, с. 113.
  12. Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш., Термодинамика, статистическая физика и кинетика, 2000, с. 35.
  13. 1 2 Крестовников А. Н., Вигдорович В. Н., Химическая термодинамика, 1973, с. 63.

Литература

  • Carnot S. Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. — Paris: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878. — 102 p. (фр.)
  • Бахшиева Л. Т., Кондауров Б. П., Захарова А. А., Салтыкова В. С. Техническая термодинамика и теплотехника / Под ред. проф А. А. Захаровой. — 2-е изд., испр. — М.: Академия, 2008. — 272 с. — (Высшее профессиональное образование). — ISBN 978-5-7695-4999-1.
  • Кинан Дж. Термодинамика / Пер с англ. А. Ф. Котина под ред. М. П. Вукаловича. — М.—Л.: Госэнергоиздат, 1963. — 280 с.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 3-е, дополненное. — М.: Наука, 1976. — 584 с. — («Теоретическая физика», том V).
  • Крестовников А. Н., Вигдорович В. Н. Химическая термодинамика. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Металлургия, 1973. — 256 с.
  • Николаев Г. П., Лойко А. Э. Техническая термодинамика. — Екатеринбург: УрФУ, 2013. — 227 с.
  • Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. — 2-е изд., испр. и доп. — Новосибирск: Изд-во Носиб. ун-та, 2000. — 608 с. — ISBN 5-7615-0383-2.
  • Савельев И. В. Курс общей физики:Молекулярная физика и термодинамика. — М.: Астрель, 2001. — Т. 3. — 208 с. — 7000 экз. — ISBN 5-17-004585-9.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 5 изд., испр.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 544 с. — ISBN 5-9221-0601-5.

В термодинамике цикл Карно́ или процесс Карно — это обратимый круговой процесс, состоящий из двух адиабатических и двух изотермических процессов. В процессе Карно термодинамическая система выполняет механическую работу и обменивается теплотой с двумя тепловыми резервуарами, имеющими постоянные, но различающиеся температуры. Резервуар с более высокой температурой называется нагревателем, а с более низкой температурой — холодильником

Цикл Карно назван в честь французского учёного и инженера Сади Карно, который впервые его описал в своём сочинении «О движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу» в 1824 году

Поскольку обратимые процессы могут осуществляться лишь с бесконечно малой скоростью, мощность тепловой машины в цикле Карно равна нулю. Мощность реальных тепловых машин не может быть равна нулю, поэтому реальные процессы могут приближаться к идеальному обратимому процессу Карно только с большей или меньшей степенью точности. В цикле Карно тепловая машина преобразует теплоту в работу с максимально возможным коэффициентом полезного действия из всех тепловых машин, у которых максимальная и минимальная температуры в рабочем цикле совпадают соответственно с температурами нагревателя и холодильника в цикле Карно.

Кпд тепловой машины Карно

Количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя при изотермическом расширении, равно

Аналогично, при изотермическом сжатии рабочее тело отдаёт холодильнику

Отсюда коэффициент полезного действия тепловой машины Карно равен

Цикл Карно;

Впервые изученный С. Карно (1824) .

Циклом Карно называется обратимый цикл, который совершается теплом, вступающим в теплообмен с двумя тепловыми резервуарами бесконечно большой емкости. Этот цикл

· состоит из четырех обратимых процессов: двух изотермических и двух адиабатных.

· позволил подойти к анализу коэффициентов полезного действия тепловых двигателей, т.о сыграл большую роль в развитии термодинамики и теплотехники.

Рассмотренный Карно тепловой двигатель состоял из

— нагревателя с температурой Т1;

— холодильника с температурой Т2;

— рабочего тела, т.е. устройства , способного получать тепло и совершать работу.

Под рабочим телом будем понимать идеальный газ в цилиндре с поршнем.

На рисунке изображен прямой цикл Карно, совершаемый идеальным газом и состоящий последовательных обратимых процессов:

1—2 — изотермического расширения при температуре Т1 (газ находится в контакте с нагревателем Т1, получает тепло Q1) ,

2 — 3 — адиабатного расширения,

3—4 — изотермического сжатия при температуре Т2 (газ отдает тепло холодильнику Т2);

4 – 1 — адиабатного сжатия.

При адиабатическом процессе , поэтому , т.е. S = const (процесс 2 -3 и 4-1).

Участок 1 – 2 и 3 -4 — изотермы, T = const

Можно показать, что КПД цикла Карно определяется выражением:

Практически прямой цикл Карно можно представить себе происходящим следующим образом.

Газ, заключенный в цилиндре с подвижным поршнем в процессе

1) изотермического расширения 1 – 2 газ находится в тепловом контакте и равновесии с телом, имеющим температуру Т1. Это тело называется нагревателем(теплоотдатчиком). Им может быть большой резервуар с водой. В процессе 1-2 нагреватель передает газу теплоту Q1 (Q1>0). Теплоемкость нагревателя должна быть бесконечно большой. Иначе отдача газу теплоты Q1 вызвала бы понижение температуры нагревателя, а следовательно, и нарушение изотермического процесса расширения газа 1 – 1 .

2) адиабатное расширение 2 –3 — газ полностью теплоизолируют. Для этого необходимо на участке 2 – 3 цикла разобщить газ с нагревателем и заключить в адиабатную оболочку, например покрыть цилиндр с газом толстым слоем войлока.

3) изотермическое сжатие 3—4 газ приводится в тепловой контакт с другим телом, имеющим температуру Т2 (Т2<Т1). Она называется холодильником(теплоприемником). В процессе 3 – 4 газ и передает холодильнику теплоту —Q2 (если считать, что Q2 есть теплота, получаемая газом от холодильника, т.е. Q2<0).

4) адиабатное сжатие 4 – 1 газ снова полностью теплоизолируется и до первоначального состояния 1, где цикл Карно завершается.

Работа, которую совершает рабочее тело в прямом цикле Карно, на основании уравнения равна

Из этой формулы видно, что A<Q1, т. е. при совершении рабочим телом цикла Карно полезная работа меньше энергии, полученной в форме теплоты от нагревателя, на количество теплоты, переданное холодильнику.

Этот результат справедлив для любого прямого кругового процесса: работа А, совершаемая за прямой цикл, всегда меньше количества теплоты Qподв., подводимого к рабочему телу всеми нагревателями.

Величина, равная отношению работы А, совершенной рабочим телом в прямом обратимом цикле, к количеству теплоты Qподв, сообщенному в этом процессе рабочему телу нагревателями, называетсятермическим коэффициентом полезного действия цикла.

Термический КПД

· характеризует экономичность цикла теплового двигателя.

Зависит только от температур нагревателя и холодильника и определяется выражением:

Для прямого цикла Карно справедливо соотношение

или

Доказано, что КПД всех обратимых машин, работающих при одних и тех же температурах нагревателя и холодильника, одинаков и определяется только температурами нагревателя и холодильника. Это теорема Карно.

Машина Карно (двигатель Карно) — самая эффективная из всех возможных типов тепловых машин. В машине Карно

· используется цилиндр с поршнем, она не имеет каналов, так что во всех циклах многократно используется одно и тоже рабочее вещество.

· Источник энергии (бензин, мазут и др. ) используется для поддержания постоянной температуры Т1 теплового резервуара.

· Для работы машины необходим еще один резервуар с температурой Т2 (холодильник, например, озеро или река с водой).

Рассмотрим необратимый цикл.

Пусть машина работает с тем же нагревателем и холодильником, что и при обратимом цикле. После цикла машина возвращается в исходное состояние, поэтому приращение энтропии за цикл

Все процессы, из которых состоит цикл, необратимы, поэтому , тогда за цикл

Этот интеграл представим в виде:

,

выражение соответствует получению от резервуара с температурой Т1 (нагревателя) тепла Q1 , поэтому

выражение — это первый адиабатический участок , поэтому =0;

выражение соответствует передаче резервуару с температурой Т2 (холодильнику) тепла Q2 , поэтому

— второй адиабатический участок цикла , поэтому , и

— КПД необратимой машины всегда меньше, чем обратимой, работающей в тех же условиях.

Если в качестве нагревателя и холодильника машины Карно являются кипящая и замерзающая вода, то h=0,36. КПД двигателя использующегося на тепловых электростанциях «40%.

В любом случае при использовании тепловых машин большая часть энергии возвращается холодильнику в форме тепла, а затем рассеивается.

Теоретически доказано, что из всех тепловых машин, машина Карно имеет максимально возможный КПД.

Американское физическое общество предлагало определять КПД энергетических машин путем сравнения получаемой энергии с пределом, который можно получить с помощью идеальной машины Карно. Этот оценки получил название КПД по второму закону термодинамики.

КПД машины Карно можно увеличить, уменьшая температуру холодильника и увеличивая температуру нагревателя.

Отношение температур любых двух тепловых резервуаров можно найти, измеряя количество тепла, передаваемые за один цикл машины Карно. Это соотношение определяет термодинамическую шкалу температур. Она тождественна абсолютной шкале.

Для сопоставления температур двух тел нужно осуществить цикл Карно, используя тела в качестве нагревателя и холодильника. Отношение количества тепла, отдаваемого холодильнику, к количеству тепла, взятому у нагревателя, дает отношение температур рассматриваемых тел.

Докажем, что тепло может переходить лишь от горячего тела к холодному, а не наоборот. Рассмотрим два одинаковых тела, первоначально находящихся при температуре Т2 и Т2.

Между этими телами устанавливается тепловой контакт.

Через небольшой отрезок времени их температуры станут равными T1-dT1 и T1+dT1.

Теплота перехода dQ1= — mcdT1 и dQ2=+mcdT2.

Изменение энтропии первого тела dS1=dQ1/T1= — mcdT1/T1,

для второго dS2=dQ2/T2=+mcdT2/T2.

Суммарное изменение энтропии:dS=dS1+dS2= mcdT2/T2­ — mcdT1/T1 = mcdT(1/T2-1/T1),

а изменение температуры: dT=(T1T2/mc)*(dS/T1-T2), dS>0,

следовательно, dT будет иметь тот же знак, что и T1-T2, т.е. dТ>0 при T1>T2 и dT<0 при T1<T2, т.е. тепло будет перетекать от тела с более высокой температурой к телу с меньшей температурой.

С этим фактом связана другая формулировка второго начала термодинамики, данная Клаузиусом: невозможны такие процессы, единственным конечным результатом которых был бы переход тепла от менее нагретого тела к более нагретому.

Полученный результат является частным случаем более общей теоремы:

При увеличении энтропии замкнутой системы, содержащей тела с разными температурами, возрастание энтропии ds сопровождается потерями полезной механической энергии, в количестве dS, \***\ на температуру более холодного тела. Таким образом, энтропия – это количество полезной энергии, которая теряется в расчёте на единицу температуры. Это ещё одна физическая интерпретация энтропии.

4.7. Термодинамическая диаграмма Т – S и её применение

При изучении термодинамических процессов и некоторых общих вопросов термодинамики широко используется Т — S-диаграмма, в которой по осям абсцисс и ординат отложены соответственно энтропия S и термодинамическая температура Т рассматриваемого тела (системы).

Рассмотрим некоторый обратимый процесс, который в этой диаграмме изображается линией DE (рис. ).

На диаграмме Т — S

— элементарная теплота изображается площадью, закрашенной на рисунке.

— количество теплоты, сообщаемое системе в процессе DE, пропорционально площади фигуры SDDESE (коэффициент пропорциональности зависит от выбора масштабов по осям координат) :

1) Cвязь между температурой и энтропией идеального газа в четырех простейших его процессах

Построим соответствующие им линии в Т — S-диаграмме.

Пусть

· точка О в диаграмме Т — S изображает начальное состояние идеального газа

· прямая 1 – 1/ проходящая через точку О параллельно оси абсцисс, соответствует изотермическому процессу:

0—1 — изотермическое расширение (теплота подводится, так что dS>0),

0—1′ — изотермическое сжатие (теплота отводится, так что dS<0).

· прямая 2’—2, проходящая через точку О параллельно оси ординат, изображает адиабатный (изоэнтропийный) процесс:

0—2— адиабатное сжатие (dТ>0)

0—2’—адиабатное расширение (dТ<0).

· линия 3’—3 — изохорный процесс е:

0—3 — изохорное нагревание (dS>0 и dТ>0),

0—3’—изохорное охлаждение (dS<0 и dТ<0).

в конечном изохорном процессе

· линией 4’—4 — изобарный процесс,так как , то изобарный процесс показан, идущей положе изохоры З’—З.

В изобарном процессе,

в конечном изобарном процессе

-изобарному расширению газа соответствует участок изобары 0—4 (dS>0 и dT>0),

— изобарному сжатию — участок 0—4′ (dS<0 и dT<0).

2) На рисунке изображен в Т — S-диаграмме произвольный (обратимый!) прямой цикл abcda.

· Состояния а и с соответствуют наименьшему (Smin) и наибольшему (Smax) значениям энтропии рабочего тела в цикле.

· в процессе аbс теплота подводится: >0

· в процессе cda — отводится: <0.

· Работе за цикл А =соответствует площадь цикла, т. е. площадь, ограниченная замкнутой кривой abcda процесса: >0

· Термическому КПД цикла соответствует отношение площади цикла к площади под кривой abc

3) Прямой цикл Карно независимо от природы рабочего тела изображается в Т — S-диаграмме в виде прямоугольника, стороны которого параллельны осям координат

Термический КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя и холодильника

Таким образом мы доказали важное положение термодинамики, называемое теоремой Карно:

Теорема Карно и формула служат основанием для установления термодинамической шкалы температур:

Таким образом, для сравнения температур Т1 и Т2 двух тел нужно осуществить обратимый цикл Карно, в котором эти тела являются нагревателем и холодильником. Отношение температур тел равно отношению абсолютных значений количеств теплоты, отданных или полученных телами в этом цикле. По теореме Карно, химический состав рабочего тела, осуществляющего цикл, не влияет на результаты сравнения температур. Поэтому установленная таким образом термодинамическая шкала температур не связана со свойствами какого-либо определенного термометрического тела. В этом состоит большое достоинство такой шкалы.

Однако вследствие необратимости реальных термодинамических процессов такой способ сравнения температур практически неосуществим и имеет лишь принципиальное значение.

5.2. Цикл Карно

Для работы любой тепловой машины по замкнутому циклу необходима внешняя среда, которую условно можно представить себе как два тела — нагреватель, находящийся при температуре Тmах, и холодильник, находящийся при температуре Tmin (Tmin < Тmах). Предполагается, что при контакте с нашей системой температуры нагревателя и холодильника не меняются. При контакте с нагревателем система получает тепло, при контакте с холодильником — отдает его.

В термодинамике существует теорема Карно (рис. 5.2):

Рис. 5.2. Леонар Сади Карно (французский физик и военный инженер)

При заданных температурах нагревателя и холодильника максимально возможный КПД тепловой машины не зависит от природы рабочего тела машины и определяется формулой

(5.5)

Реализация максимально возможного КПД достигается в так называемом цикле Карно, когда идеальный газ проходит замкнутый цикл, составленный из двух адиабат и двух изотерм (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Цикл Карно (обходится по часовой стрелке) — комбинация двух изотерм 1-2, 3-4 и двух адиабат 2-3 и 4-1; теплообмен со средой осуществляется на изотермических участках цикла: на участке 1-2 газ получает теплоту Q1, а на участке 3-4 отдает теплоту Q2

Убедимся, что показанный замкнутый процесс действительно имеет КПД, соответствующий формуле (5.5). Температура системы равна T1 в точках 1, 2 и T2 в точках 3, 4. Значения остальных термодинамических параметров (р, V) будут иметь в качестве индекса номер соответствующей точки на диаграмме. Нам надо вычислить количества полученной Q1, и отданной Q2 теплоты, найти совершенную газом работу АЦ = Q1 – Q2 и определить КПД цикла. Сразу заметим, что на участках 2-3 и 4-1 система не обменивается теплом с внешней средой. Следовательно, теплоту Q1 газ получает на участке 1-2, а теплоту Q2 отдает на участке 3-4. Рассмотрим подробнее различные участки цикла.

См. анимацию «Цикл Карно»

Изотерма 1-2. На этом участке газ находится в контакте с нагревателем и происходит изотермическое расширение от объема V1 до объема V2. Температура Т1 не меняется, следовательно, не изменяется внутренняя энергия, а вся полученная теплота расходуется на совершение газом работы:

Величину работы газа при изотермическом процессе мы уже вычисляли ранее, так что с учетом формулы (2.13) находим

(5.6)

Адиабата 2-3. Здесь система отсоединяется от нагревателя и не обменивается теплом с внешней средой: Q23 = 0. Газ продолжает расширяться, но уже адиабатно. Работа совершается за счет внутренней энергии газа, и его температура падает до значения Т2. На этом участке цикла нам нужна информация, доставляемая уравнением адиабаты:

(5.7)

Изотерма 3-4. Система подключается к холодильнику, и газ начинает сжиматься. Внутренняя энергия остается неизменной, над газом совершается работа (А34 < 0), а выделяющееся

тепло

передается холодильнику. Имеем аналогично (5.6)

(5.8)

Адиабата 4-1. Система отключена от внешней среды и продолжает сжиматься изотермически, что приводит к повышению ее температуры до Т1. В конечном итоге система возвращается в первоначальное состояние. Поскольку точки 4 и 1 лежат на адиабате, получаем связь объемов и температур, аналогичную (5.7):

(5.9)

Из уравнений (5.7) и (5.9) находим отношения объемов

откуда следует, что

(5.10)

Поэтому отдаваемую холодильнику теплоту Q2 (см. уравнение (5.8)) можно записать как

(5.11)

Используя выражение (5.6) для теплоты, полученной системой, находим совершенную в ходе цикла работу

(5.12)

Из проведенного анализа следует также, что максимальная температура в цикле равна Тmах = Т1, а минимальная — Тmin = Т2. Если разделить (5.12) на (5.6), то немедленно получим выражение (5.5) для КПД цикла Карно, из которого выпадают все параметры, кроме температур холодильника и нагревателя.

Пример 1. Котел тепловой станции работает при температуре около t1 = 550 °С. Отработанное тепло отводится к реке при температуре около t2 = 20 °С. Найдем максимально возможный КПД этой станции (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Схема работы тепловой машины Карно

Поскольку в формуле для КПД цикла Карно используются абсолютные температуры, надо перейти от шкалы Цельсия к шкале Кельвина: Т1 = 550 + 273 = 823 К, Т2 = 20 + 273 = 293 К. Теперь находим КПД тепловой станции:

Конечно, реальный КПД станции заметно ниже.

Если цикл Карно осуществить в обратном направлении, то есть против часовой стрелки на рис. 5.2, то для определения эффективности холодильной установки надо использовать формулы (5.3), (5.4) и выражения (5.6), (5.11). Получаем тогда

(5.13)

Печально, но чем ниже температура внешней среды Т1, тем меньше мы нуждаемся в холодильнике, и тем эффективнее он работает.

Рис. 5.5. Схема работы холодильной установки

Приведем численный пример. Если кондиционер поддерживает в комнате температуру t2 = 20 °С, а температура наружного воздуха равна t1 = 30 °С, то для холодильного коэффициента имеем

а для КПД холодильника

Конечно, на самом деле температура тепловыделяющего элемента больше наружной температуры на 20–30 градусов, так что разность температур может достигать 30–40 градусов, что приводит к значениям

Напомним, что речь идет об идеальных установках, работающих по циклу Карно. Реальный типичный кондиционер потребляет мощность 750 Вт, перекачивая за час около 5 МДж тепловой энергии. Это значит, что за секунду кондиционер совершает работу А = 750 Дж и отнимает у воздуха в комнате теплоту

Отсюда находим

Мы видим, что реальный кондиционер гораздо менее эффективен, нежели идеальный холодильник Карно.

Пример 2. Пусть в домашнем холодильнике поддерживается температура t2 = –3 °С (Т2 = 270 К), а температура в кухне равна t1 = 27 °С (T1 = 300 К). Пусть далее мотор холодильника потребляет мощность N = 200 Вт. Предполагая, что холодильник работает по циклу Карно и что тепловыделяющий элемент имеет температуру окружающего воздуха, определим мощность потока тепловой энергии, перекачиваемой из камеры холодильника в кухню.

За время t мотор совершит работу

КПД холодильника равен

откуда находим количество теплоты, поступающее в кухню в единицу времени:

Обратите внимание, что холодильник работает как весьма эффективный обогреватель помещения. Надо только оплачивать потребляемую мотором мощность 200 Вт, а в кухню поступит в 10 раз большая энергия, 90 % которой перекачивается из камеры холодильника (90 % — КПД холодильника в этом примере). Любопытно, что если бы вместо холодильника был включен обогреватель той же мощности, то он нагревал бы помещение в 10 раз слабее.

Наши численные оценки можно рассматривать как пример теплового загрязнения окружающей среды, свойственного технической цивилизации.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *