Построение изображения в сферическом зеркале

Сферическое зеркало

Мнимое изображение фотокамеры и окружающего пространства в выпуклом сферическом зеркале — ёлочном шаре.

Сферическое зеркало — зеркало, отражающая поверхность которого имеет вид сегмента сферы.

Описание

Сферическое зеркало может быть выпуклым или вогнутым — в зависимости от того, какая сторона сегмента сферы — выпуклая или вогнутая — является отражающей. Центр соответствующей сферическому зеркалу сферы называется его центром или оптическим центром, середина сегмента — полюсом зеркала, прямая, проходящая через центр и полюс — главной оптической осью зеркала. Другие прямые, проходящие через центр зеркала и точку, отличную от полюса, называются его побочными оптическими осями.

Параксиальные лучи, параллельные главной оптической оси выпуклого сферического зеркала, так же как и продолжения параксиальных лучей, параллельных главной оптической оси вогнутого сферического зеркала, пересекаются в одной точке, называемой его фокусом. Он расположен посередине между центром и полюсом зеркала, то есть расстояние (f) его до зеркала равно половине радиуса (R):

f = R 2 {\displaystyle f={\frac {R}{2}}}

У сферического зеркала, как вообще у любого зеркала, отсутствует хроматическая аберрация, но выражена сферическая аберрация. Сферическая аберрация выражена потому, что в отличие от параболического зеркала (то есть сегмента параболоида вращения), сферическое зеркало может собирать в одной точке лишь параксиальные лучи, то есть те из лучей, параллельных главной оптической оси, которые близки к этой оси. Сферическая аберрация в одном из примеров применения сферического вогнутого зеркала, зеркально-линзовом телескопе системы Дмитрия Максутова, устраняется компенсированием специально подобранной линзой — мениском.

Известным примером выпуклого сферического зеркала является ёлочный шар.

Построение изображения в сферическом зеркале

Проще всего построить изображение отрезка, перпендикулярного главной оптической оси зеркала и настолько небольшого по высоте, что луч, исходящий из его верхней точки и параллельный главной оптической оси зеркала — параксиальный. Его изображение будет также перпендикулярным главной оптической оси зеркала, расстояние его от зеркала при известном расстоянии от зеркала до предмета и фокусного расстояния зеркала можно вычислить по формуле зеркала. Высота изображения (y’) будет равна произведению высоты предмета (y) на отношение расстояния от изображения до зеркала (v) к расстоянию от зеркала до предмета (u):

y ′ = y ⋅ v u {\displaystyle y’=y\cdot {\frac {v}{u}}}

Для вогнутого сферического зеркала

Видеоурок: вогнутое зеркало

Если сферическое зеркало вогнутое, возможны различные случаи расположения изображения относительно зеркала при различных расстояниях до предмета. Буквой C обозначен центр зеркала, а буквой F — его фокус. При u>f формула зеркала имеет вид:

1 u + 1 v = 2 R , {\displaystyle {\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}={\frac {2}{R}},}

а при u<f:

1 u − 1 v = 2 R . {\displaystyle {\frac {1}{u}}-{\frac {1}{v}}={\frac {2}{R}}.}

Для построения взято три луча (хотя достаточно и двух):

  • луч, параллельный главной оптической оси после отражения от зеркала пройдёт через его фокус;
  • луч, проходящий через фокус после отражения пойдёт параллельно главной оптической оси;
  • луч, падающий на полюс зеркала после отражения пойдёт под углом, равным углу падения (по закону отражения света).
Если предмет приближён к зеркалу и находится на расстоянии, превышающем расстояние от зеркала до его центра, то изображение его будет действительным, перевёрнутым и уменьшенным и расположится на отрезке между центром и фокусом. Если предмет помещён в центре зеркала, то его изображение также будет расположено в центре зеркала. Изображение получается действительным, перевёрнутым и равным по величине предмету.
Если предмет помещён между центром и фокусом, то изображение будет расположено дальше от зеркала, чем его центр и будет действительным, перевёрнутым и увеличенным. Если предмет ближе фокуса к зеркалу, то изображение — мнимое, прямое, увеличенное, по другую сторону зеркала от предмета.

Для выпуклого сферического зеркала

Построение изображения в выпуклом сферическом зеркале проще, чем в вогнутом: здесь при любом расстоянии предмета до зеркала его изображение будет расположено за зеркалом. На рисунке ниже буквой F обозначен фокус выпуклого зеркала, буквой V — полюс, y (в формуле u) — высота предмета, y’ (в формуле v) — высота изображения. Формула зеркала в этом случае имеет вид:

1 u − 1 v = − 2 R {\displaystyle {\frac {1}{u}}-{\frac {1}{v}}=-{\frac {2}{R}}}

Для построения взято два луча:

  • луч от верхней точки предмета, параллельный главной оптической оси, отразится от зеркала, и продолжение этого отражённого луча пройдёт через фокус и через верхнюю точку изображения;
  • луч от верхней точки предмета, продолжение которого проходит через фокус, после отражения пойдёт параллельно главной оптической оси, а продолжение этого отражённого луча также пройдёт через верхнюю точку изображения.

Таким образом, верхней точкой изображения будет точка пересечения продолжения первого отражённого луча и продолжения второго отражённого луча.

Изображение в выпуклом зеркале — мнимое, прямое, уменьшенное, находится по другую сторону зеркала от предмета. > См. также

  • Линза

Литература

  • Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. — 13-е изд. — М.: Физматлит, 2003. — Т. 3. Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика. — С. 249—266. — 656 с. — ISBN 5922103512.

Это заготовка статьи по оптике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Построение изображений в сферических зеркалах

Для того чтобы построить изображение любого точечного источника света в сферическом зеркале, достаточно построить ход любых двух лучей, исходящих из этого источника и отраженных от зеркала. Точка пересечения самих отраженных лучей даст действительное изображение источника, а точка пересечения продолжений отраженных лучей – мнимое.

Характерные лучи.Для построения изображений в сферических зеркалах удобно пользоваться определенными характерными лучами, ход которых легко построить.

1. Луч 1, падающий на зеркало параллельно главной оптической оси, отразившись, проходит через главный фокус зеркала в вогнутом зеркале (рис. 3.6, а); в выпуклом зеркале через главный фокус проходит продолжение отраженного луча 1¢ (рис. 3.6 ,б).

Рис. 3.6

2. Луч 2, проходящий через главный фокус вогнутого зеркала, отразившись, идет параллельно главной оптической оси – луч 2¢ (рис. 3.7,а). Луч 2, падающий на выпуклое зеркало так, что его продолжение проходит через главный фокус зеркала, отразившись, также идет параллельно главной оптической оси – луч 2¢ (рис. 3.7, б).

Рис. 3.7

3. Рассмотрим луч 3, проходящий через центр вогнутого зеркала – точку О (рис. 3.8, а) и луч 3, падающий на выпуклое зеркало так, что его продолжение проходит через центр зеркала – точку О (рис. 3.8, б). Как мы знаем из геометрии, радиус окружности перпендикулярен касательной к окружности в точке касания, поэтому лучи 3 на рис. 3.8 падают на зеркала под прямым углом, то есть углы падения этих лучей равны нулю. А значит, отраженные лучи 3¢ в обоих случаях совпадают с падающими.

Рис. 3.8

4. Луч 4, проходящий через полюс зеркала – точку Р, отражается симметрично относительно главной оптической оси (лучи 4¢ на рис. 3.9), поскольку угол падения равен углу отражения.

Рис. 3.9

СТОП! Решите самостоятельно: А2, А5.

Читатель: Как-то я взял обычную столовую ложку и попытался разглядеть в ней свое изображение. Изображение я увидел, но оказалось, что если смотреть на выпуклую часть ложки, то изображение прямое, а если на вогнутую, то перевернутое. Интересно, почему это так? Ведь ложку, я думаю, можно рассматривать как некоторое подобие сферического зеркала.

Чтобы разобраться в этом вопросе, решим следующую задачу.

Задача 3.1.Постройте изображения небольших вертикальных отрезков одинаковой длины в вогнутом зеркале (рис. 3.10). Фокусное расстояние задано. Считается известным, что изображения небольших прямолинейных отрезков, перпендикулярных главной оптической оси, в сферическом зеркале представляют собой также небольшие прямолинейные отрезки, перпендикулярные главной оптической оси.

Рис. 3.10

Решение.

1. Случай а. Заметим, что в данном случае все предметы находятся перед главным фокусом вогнутого зеркала.

Рис. 3.11

Будем строить изображения только верхних точек наших отрезков. Для этого проведем через все верхние точки: А, В и С один общий луч 1, параллельный главной оптической оси (рис. 3.11). Отраженный луч 1¢ пройдет через главный фокус зеркала – точку F1.

Теперь из точек А, В и С пустим лучи 2, 3 и 4 через главный фокус зеркала. Отраженные лучи 2¢, 3¢ и 4¢ пойдут параллельно главной оптической оси.

Точки пересечения лучей 2¢, 3¢ и 4¢ с лучом 1¢ являются изображениями точек А, В и С. Это точки А¢, В¢ и С¢ на рис. 3.11.

Чтобы получить изображения отрезков достаточно опустить из точек А¢, В¢ и С¢ перпендикуляры на главную оптическую ось.

Как видно из рис. 3.11, все изображения получились действительными и перевернутыми.

Читатель: А что значит – действительными?

Изображение предметов бывает действительным и мнимым. С мнимым изображением мы уже познакомились, когда изучали плоское зеркало: мнимое изображение точечного источника – это точка, в которой пересекаются продолжения отраженных от зеркала лучей. Действительное изображение точечного источника – это точка, в которой пересекаются сами отраженные от зеркала лучи.

Заметим, что чем дальше находился предмет от зеркала, тем меньшим получилось его изображение и тем ближе это изображение к фокусу зеркала. Заметим также, что изображение отрезка, нижняя точка которого совпадала с центром зеркала – точкой О, получилось симметричным предмету относительно главной оптической оси.

Надеюсь, теперь Вам понятно, почему, рассматривая свое отражение в вогнутой поверхности столовой ложки, Вы увидели себя уменьшенным и перевернутым: ведь предмет (Ваше лицо) находилось явно перед главным фокусом вогнутого зеркала.

2. Случай б. В данном случае предметы находятся между главным фокусом и поверхностью зеркала.

Первый луч – луч 1, как и в случае а, пустим через верхние точки отрезков – точки А и В параллельно главной оптической оси. Отраженный луч 1¢ пройдет через главный фокус зеркала – точку F1(рис. 3.12).

Рис. 3.12

Теперь воспользуемся лучами 2 и 3, исходящими из точек А и В и проходящими через полюс зеркала – точку Р. Отраженные лучи 2¢ и 3¢ составляют с главной оптической осью те же углы, что и падающие лучи.

Как видно из рис. 3.12, отраженные лучи 2¢ и 3¢ не пересекаются с отраженным лучом 1¢. Значит, действительных изображений в данном случае нет. Зато продолжения отраженных лучей 2¢ и 3¢ пересекаются с продолжением отраженного луча 1¢ в точках А¢ и В¢ за зеркалом, образуя мнимые изображения точек А и В.

Опустив перпендикуляры из точек А¢ и В¢ на главную оптическую ось, получим изображения наших отрезков.

Как видно из рис. 3.12, изображения отрезков получились прямыми и увеличенными, причем чем ближе предмет к главному фокусу, тем больше его изображение и тем дальше это изображение от зеркала.

СТОП! Решите самостоятельно: А3, А4.

Задача 3.2.Постройте изображения двух небольших одинаковых вертикальных отрезков в выпуклом зеркале (рис. 3.13).

Рис. 3.13 Рис. 3.14

Решение. Пустим луч 1 через верхние точки отрезков А и В параллельно главной оптической оси. Отраженный луч 1¢ пойдет так, что его продолжение пересечет главный фокус зеркала – точку F2 (рис. 3.14).

Теперь пустим на зеркало лучи 2 и 3 из точек А и В так, чтобы продолжения этих лучей проходили через центр зеркала – точку О. Эти лучи отразятся так, что отраженные лучи 2¢ и 3¢ совпадут с падающими лучами.

Как видим из рис. 3.14, отраженный луч 1¢ не пересекается с отраженными лучами 2¢ и 3¢. Значит, действительных изображений точек А и В нет. Зато продолжение отраженного луча 1¢ пересекается с продолжениями отраженных лучей 2¢ и 3¢ в точках А¢ и В¢. Следовательно, точки А¢ и В¢ – мнимые изображения точек А и В.

Для построения изображений отрезков опустим перпендикуляры из точек А¢ и В¢ на главную оптическую ось. Как видно из рис. 3.14, изображения отрезков получились прямыми и уменьшенными. Причем чем ближе предмет к зеркалу, тем больше его изображение и тем ближе оно к зеркалу. Однако даже очень удаленный предмет не может дать изображение, удаленное от зеркала дальше главного фокуса зеркала.

Надеюсь, теперь понятно, почему, рассматривая свое отражение в выпуклой поверхности ложки, вы видели себя уменьшенным, но не перевернутым.

СТОП! Решите самостоятельно: А6.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *