Принцип суперпозиции потенциалов электростатических полей

Для потенциала электростатического поля справедлив принцип суперпозиции

На бесконечности потенциал системы неподвижных стационарных зарядов полагается равным нулю.

Потенциал величина непрерывная, он не изменяется на границе раздела двух заряженных сред.

Это скалярная величина.

Таким образом, потенциал системы неподвижных точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых отдельными зарядами

. (23.11)

Свойства потенциала электростатического поля:

Эти свойства потенциала используются для расчета с помощью формулы (23.9) напряженности электрических полей, а, следовательно, и кулоновских сил, создаваемых распределенными (неточечными) зарядами.

Эквипотенциальная поверхность − поверхность, во всех точках которой потенциал j имеет одно и то же значение. Вектор напряженности направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала j.

Так как вектор всюду нормален к эквипотенциальной поверхности, линии вектора перпендикулярны к этим поверхностям

Эквипотенциальные поверхности изображаются так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще («круче потенциальный рельеф»), там напряженность поля больше.

Пример 1. Потенциал поля точечного заряда.

Линии вектора точечного заряда направлены по лучам, исходящим из заряда. Поэтому, эквипотенциальные поверхности перпендикулярны в каждой точке этим линиям, т.е. представляют собой сферы. Потенциал в данной точке зависит только от одной переменной — расстояния от этой точки до заряда. Если обозначить это расстояние через r, то потенциал поля точечного заряда получается путем интегрирования (23.7) или одного из соотношений (23.8) с использованием соотношения (1-7) для напряженности :

.

Обычно константу выбирают так, чтобы на бесконечности
(r ® ¥) потенциал равнялся нулю, т. е.

.

Из принципа суперпозиции следует, что свойство потенциальности справедливо для электрического поля любой системы или конфигурации неподвижных зарядов. Тогда потенциал системы зарядов имеет вид:

Для непрерывного распределения заряда имеем:

a) для линейного источника с плотностью заряда , то потенциал равен

, (23.12, а)

б) для заряженной поверхности с плотностью заряда , то потенциал равен

, (23.12, б)

в) для объемной плотности заряда потенциал равен

. (23.12, в)

Пример 2. Расчет напряженности поля с помощью принципа суперпозиции для потенциала.

Решим задачу примера лекции 22, но используя принцип суперпозиции для потенциала. Потенциал, создаваемый в точке А элементарным зарядом dq = tdx найдем, используя формулу для точечного заряда:

.(23.13)

Потенциал, создаваемый заряженным стержнем найдем согласно формуле (23.12а), интегрируя (23.13):

Потенциал точек, лежащих на оси, проходящей через середину стержня, как видно их этого равенства, зависит только от одной координаты r0 . Напряженность поля и силу, действующую на заряд, найдем, используя одну из формул (23.8), дифференцируя полученное выражение для j по координате r0:

Это выражение полностью совпадает с полученным выше.

Одна из задач, которые ставит электростатика перед собой – это оценка параметров поля при заданном стационарном распределении зарядов в пространстве. И принцип суперпозиции является одним из вариантов решения такой задачи.

Принцип суперпозиции

Предположим наличие трех точечных зарядов, находящихся во взаимодействии друг с другом. При помощи эксперимента возможно осуществить измерение сил, действующих на каждый из зарядов. Для нахождения суммарной силы, с которой на один заряд действуют два других заряда, нужно силы воздействия каждого из этих двух сложить по правилу параллелограмма. При этом логичен вопрос: равны ли друг другу измеряемая сила, которая действует на каждый из зарядов, и совокупность сил со стороны двух иных зарядов, если силы рассчитаны по закону Кулона. Результаты исследований демонстрируют положительный ответ на этот вопрос: действительно, измеряемая сила равна сумме вычисляемых сил согласно закону Кулона со стороны других зарядов. Данное заключение записывается в виде совокупности утверждений и носит название принципа суперпозиции.

Определение 1

Принцип суперпозиции:

  • сила взаимодействия двух точечных зарядов не изменяется, если присутствуют другие заряды;
  • сила, действующая на точечный заряд со стороны двух других точечных зарядов, равна сумме сил, действующих на него со стороны каждого из точечных зарядов при отсутствии другого.

Принцип суперпозиции полей заряда является одним из фундаментов изучения такого явления, как электричество: значимость его сопоставима с важностью закона Кулона.

В случае, когда речь идет о множестве зарядов N (т.е. нескольких источников поля), суммарную силу, которую испытывает на себе пробный заряд q, можно определить по формуле:

F→=∑i=1NFia→,

где Fia→ является силой, с которой влияет на заряд q заряд qi, если прочий N-1 заряд отсутствует.

При помощи принципа суперпозиции с использованием закона взаимодействия между точечными зарядами существует возможность определить силу взаимодействия между зарядами, присутствующими на теле конечных размеров. С этой целью каждый заряд разбивается на малые заряды dq (будем считать их точечными), которые затем берутся попарно; вычисляется сила взаимодействия и в заключение осуществляется векторное сложение полученных сил.

Полевая трактовка принципа суперпозиции

Определение 2

Полевая трактовка: напряженность поля двух точечных зарядов есть сумма напряженностей, создаваемым каждым из зарядов при отсутствии другого.

Для общих случаев принцип суперпозиции относительно напряженностей имеет следующую запись:

E→=∑Ei→,

где Ei→=14πε0qiεri3ri→ является напряженностью i-го точечного заряда, ri→ — радиусом вектора, проложенного от i-го заряда в некоторую точку пространства. Указанная формула говорит нам о том, что напряженность поля любого числа точечных зарядов есть сумма напряженностей полей каждого из точечных зарядов, если другие отсутствуют.

Инженерная практика подтверждает соблюдение принципа суперпозиции даже для очень больших напряженностей полей.

Значимым размером напряженности обладают поля в атомах и ядрах (порядка 1011-1017 Вм), но и в этом случае применялся принцип суперпозиции для расчетов энергетических уровней. При этом наблюдалось совпадение результатов расчетов с данными экспериментов с большой точностью.

Все же следует также заметить, что в случае очень малых расстояний (порядка ~10-15 м) и экстремально сильных полей принцип суперпозиции, вероятно, не выполняется.

Пример 1

Например, на поверхности тяжелых ядер при напряженности порядка ~1022 Вм принцип суперпозиции выполняется, а при напряженности 1020 Вм возникают квантово-механические нелинейности взаимодействия.

Когда распределение заряда является непрерывным (т.е. отсутствует необходимость учета дискретности), совокупная напряженность поля задается формулой:

E→=∫dE→.

В этой записи интегрирование проводится по области распределения зарядов:

  • при распределении зарядов по линии (τ=dqdl — линейная плотность распределения заряда) интегрирование проводится по линии;
  • при распределении зарядов по поверхности (σ=dqdS — поверхностная плотность распределения) интегрирование проводится по поверхности;
  • при объемном распределении заряда (ρ=dqdV — объемная плотность распределения) интегрирование проводится по объему.

Принцип суперпозиции дает возможность находить E→ для любой точки пространства при известном типе пространственного распределения заряда.

Примеры применения принципа суперпозиции

Пример 2

Заданы одинаковые точечные заряды q, расположенные в вершинах квадрата со стороной a. Необходимо определить, какая сила воздействует на каждый заряд со стороны других трех зарядов.

Решение

На рисунке 1 проиллюстрируем силы, влияющие на любой из заданных зарядов в вершинах квадрата. Поскольку условием задано, что заряды одинаковы, для иллюстрации возможно выбрать любой из них. Сделаем запись суммирующей силы, влияющей на заряд q1:

F→=F12→+F14→+F13→.

Силы F12→ и F14→ являются равными по модулю, определим их так:

F13→=kq22a2.

Рисунок 1

Теперь зададим направление оси ОХ (рисунок 1), спроектируем уравнение F→=F12→+F14→+F13→, подставим в него полученные выше модули сил и тогда:

F=2kq2a2·22+kq22a2=kq2a222+12.

Ответ: сила, оказывающее воздействие на каждый из заданных зарядов, находящихся в вершинах квадрата, равна F=kq2a222+12.

Пример 3

Задан электрический заряд, распределенный равномерно вдоль тонкой нити (с линейной плотностью τ). Необходимо записать выражение, определяющее напряженность поля на расстоянии a от конца нити вдоль ее продолжения. Длина нити – l.

Рисунок 2

Решение

Первым нашим шагом будет выделение на нити точечного заряда dq. Составим для него, в соответствии с законом Кулона, запись, выражающую напряженность электростатического поля:

dE→=kdqr3r→.

В заданной точке все векторы напряженности имеют одинаковую направленность вдоль оси ОХ, тогда:

dEx=kdqr2=dE.

Условием задачи дано, что заряд имеет равномерное распределение вдоль нити с заданной плотностью, и запишем следующее:

Принцип суперпозиции для напряжённости и потенциала электрического поля.

Напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

→ n → → →

Е = Σ Еi = Е1 + Е2 + …

i=1

Потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов в каждой точке по отдельности:

φ = Σ φi = φ1 + φ2 + …

i=1

Эти свойства электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции.

Теорема Гаусса и её применение для расчёта напряжённости электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости, двух и более плоскостей; бесконечной равномерно заряженной нити, цилиндра; равномерно заряженной сферы, объёмно заряженного шара.

Теорема Гаусса: Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, поделенной на электрическую постоянную ε0.

Ф = ∫ Еп ds = 1/ ε0 Σ qi

s i=1

1.Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 1) заряжена с постоянной поверхностной плотностью +σ (σ = dQ/dS — заряд, который приходится на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны данной плоскости и направлены от нее в каждую из сторон. Возьмем в качестве замкнутой поверхности цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности поля (соsα=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Еn совпадает с Е), т. е. равен 2ES. Заряд, который заключен внутри построенной цилиндрической поверхности, равен σ∙S. Согласно теореме Гаусса, 2E∙S= σ ∙S/ε0, откуда

(1)

2.Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей(рис. 2). Пусть плоскости заряжены равномерно разными по знаку зарядами с поверхностными плотностями +σ и –σ. Поле таких плоскостей будем искать как суперпозицию полей, которые создаются каждой из плоскостей в отдельности. На рисунке верхние стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, нижние — от отрицательно заряженной плоскости. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (поскольку линии напряженности направлены навстречу друг другу), значит здесь напряженность поля E=0. В области между плоскостями E = E+ + E- (E+ и E- находятся по формуле (1)), поэтому результирующая напряженность

(2)

3.Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити). Бесконечный цилиндр радиуса R (рис. 6) равномерно заряжен с линейной плотностью τ (τ = –dQ/dt заряд, который приходится на единицу длины). Из соображений симметрии мы видим, что линии напряженности будут направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно оси цилиндра. Мысленно построим в качестве замкнутой поверхности коаксиальный цилиндр радиуса r и высотой l. Поток вектора Е сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы и линии напряженности параллельны), а сквозь боковую поверхность равен 2πrlЕ. Используя теорему Гаусса, при r>R 2πrlЕ = τl/ε0, откуда

(5)

Если r<R, то замкнутая поверхность внутри зарядов не содержит, поэтому в этой области E=0. Значит, напряженность поля вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра задается выражением (5), внутри же его поле равно нулю.

4.Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +σ. Т.к. заряд распределен равномерно по поверхности то поле, которое создается им, обладает сферической симметрией. Значит линии напряженности направлены радиально (рис. 3). Проведем мысленно сферу радиуса r, которая имеет общий центр с заряженной сферой. Если r>R,ro внутрь поверхности попадает весь заряд Q, который создает рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса, 4πr2E = Q/ε0 , откуда

(3)

При r>R поле убывает с расстоянием r по такому же закону, как у точечного заряда. График зависимости Е от r приведен на рис. 4. Если r'<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри себя зарядов, значит внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (E=0).

5.Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью ρ (ρ = dQ/dV – заряд, который приходится на единицу объема). Учитывая соображения симметрии, аналогичные п.3, можно доказать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в случае (3). Внутри же шара напряженность поля будет иная. Сфера радиуса r'<R охватывает заряд Q’=(4/3)πr’3ρ . Поэтому, используя теорему Гаусса, 4πr’2E=Q’/ε0=(4/3)πr’3ρ/ε0 . Т.к. ρ=Q/(4/3πR3)) получаем

  • ПРЕДИСЛОВИЕ
    1. Аналитическая геометрия на плоскости
  • 1.1. Декартовы и полярные координаты. Расстояние между точками
  • 1.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь многоугольника
  • 1.3. Различные виды уравнения прямой
  • 1.4. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой
  • 1.5. Окружность, эллипс, гипербола и парабола
  • 1.6. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
  • 2. Аналитическая геометрия в пространстве
  • 2.2. Векторы
  • 2.3. Действия над векторами. Скалярное произведение
  • 2.4. Векторное и смешанное произведения
  • 2.5. Плоскость в пространстве
  • 2.6. Прямая в пространстве
  • 2.7. Прямая и плоскость в пространстве
  • 2.8. Поверхности второго порядка
  • 3. Линейная алгебра
  • 3.2. Матрицы
  • 3.3. Системы линейных уравнений
  • 3.4. Системы n-мерных векторов. Собственные значения и собственные векторы матрицы
  • 4. Основные понятия математического анализа
  • 4.2. Элементарные функции и их графики
  • 4.3. Предел последовательности
  • 4.4. Предел функции
  • 4.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • 4.6. Непрерывность
  • 4.7. Асимптоты графика функции
  • 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
  • 5.2. Таблица производных и правила дифференцирования
  • 5.3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Правило Лопиталя
  • 5.4. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
  • 5.5. Экстремумы. Точки перегиба
  • 5.6. Общая схема исследования функции и построение графика
    6. Функции нескольких переменных
  • 6.1. Точечные множества. Функции. Предел и непрерывность
  • 6.2. Дифференцирование функций нескольких переменных
  • 6.3. Производная по направлению. Геометрические приложения
  • 6.4. Экстремумы функций нескольких переменных
    7. Неопределенный интеграл
  • 7.1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
  • 7.2. Таблица основных интегралов. Примеры интегрирования
  • 7.3. Интегрирование по частям. Метод замены переменной
  • 7.4. Интегрирование рациональных функций
  • 7.5. Интегрирование иррациональных функций
  • 7.6. Интегрирование показательных и тригонометрических функций
    8. Определенный интеграл
  • 8.1. Основные определения. Геометрический смысл определенного интеграла
  • 8.2. Свойства определенного интеграла
  • 8.3. Геометрические и физические приложения определенного интеграла
  • 8.4. Несобственные интегралы
    9. Двойные и тройные интегралы
  • 9.1. Определение и свойства двойного интеграла
  • 9.2. Вычисление двойного интеграла
  • 9.3. Геометрические и физические приложения двойного интеграла
  • 9.4. Определение и свойства тройного интеграла
  • 9.5. Вычисление тройного интеграла. Некоторые приложения
  • 10. Криволинейные и поверхностные интегралы
  • 10.2. Криволинейный интеграл второго рода
  • 10.3. Поверхностный интеграл первого рода
  • 10.4. Поверхностный интеграл второго рода
  • 10.5. Дифференциальные операции и интегральные формулы теории поля
    11. Ряды
  • 11.1. Числовые ряды
  • 11.2. Функциональные ряды
  • 11.3. Степенные ряды
  • 11.4. Ряд Фурье
  • 11.5. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье
  • 12. Обыкновенные дифференциальные уравнения
  • 12.2. Дифференциальные уравнения высших порядков
  • 12.3. Линейные уравнения n-го порядка
  • 12.4. Решение линейных однородных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами
  • 12.5. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка
  • 12.6. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
    13. Приближенные вычисления
  • 13.1. Метод наименьших квадратов
  • 13.2. Приближенное решение алгебраических уравнений
  • 13.3. Вычисление определенного интеграла
  • 13.4. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
    14. Теория вероятностей
  • 14.1. Правила и формулы комбинаторики
  • 14.2. Основные понятия теории вероятностей
  • 14.3. Условная вероятность. Теоремы и формулы теории вероятностей
  • 14.4. Математическое ожидание и дисперсия
  • 14.5. Закон больших чисел
    1. Физические основы механики
  • 1.1. Кинематика точки
  • 1.2. Кинематика твердого тела
  • 1.3. Динамика
  • 1.4. Закон сохранения импульса
  • 1.5. Закон сохранения энергии
  • 1.6. Закон сохранения момента импульса
  • 1.7. Задана двух тел и движение в центральном поле
  • 1.8. Поле тяготения
  • 1.9. Неинерциальные системы отсчета
  • 1.10. Динамика твердого тела
  • 1.11. Специальная теория относительности
  • 2. Молекулярная физика и термодинамика
  • 2.2. Первое начало термодинамики
  • 2.3. Второе начало термодинамики
  • 2.4. Энтропия. Свободная энергия
  • 2.5. Кинетическая теория идеального газа
  • 2.6. Реальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса
  • 2.7. Равновесие фаз. Фазовые переходы
  • 2.8. Поверхностное натяжение
  • 2.9. Явления переноса в газах
    3. Электродинамика
  • 3.1. Электрический заряд. Закон Кулона
  • 3.2. Электрическое поле. Напряженность поля
  • 3.3. Электростатическое поле. Принцип суперпозиции для напряженности и потенциала
  • 3.4. Теорема Гаусса
  • 3.5. Электростатика проводников
  • 3.6. Электростатика диэлектриков
  • 3.7. Конденсаторы
  • 3.8. Энергия электростатического поля
  • 3.9. Постоянный ток
  • 3.10. Магнитное поле. Сила Лоренца и закон Ампера
  • 3.11. Вычисление магнитной индукции
  • 3.12. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции
  • 3.13. Магнитное поле в веществе
  • 3.14. Электромагнитная индукция
  • 3.15. Уравнения Максвелла
    4. Колебания и волны
  • 4.1. Гармонические колебания. Сложение колебаний
  • 4.2. Свободные незатухающие колебания
  • 4.3. Затухающие и вынужденные колебания
  • 4.4. Упругие волны
  • 4.5. Электромагнитные волны
    5. Оптика
  • 5.1. Геометрическая оптика. Фотометрия
  • 5.2. Интерференция света
  • 5.3. Дифракция
  • 5.4. Поляризация света. Формулы Френеля
  • 5.5. Дисперсия и поглощение света
  • 5.6. Тепловое излучение
  • 5.7. Световые кванты
  • Список литературы
    1. Кинематика
  • 1.1. Кинематика точки
  • 1.2. Кинематика твердого тела
  • 1.3. Плоскопараллельное движение твердого тела
  • 1.4. Произвольное движение твердого тела
  • 1.5. Сложное движение точки
  • 2. Основные понятия и аксиомы механики
  • 2.2. Аксиомы механики
  • 3. Статика
  • 3.2. Условия уравновешенности систем сил, приложенных к твердому телу
  • 3.3. Решение задан статики
  • 3.4. Центр параллельных сил. Центр тяжести твердого тела
  • 3.5. Распределенные силы
  • 3.6. Законы трения (законы Кулона)
  • 4. Динамика материальной точки
  • 4.2. Первая и вторая задачи динамики
  • 5. Общие теоремы динамики механической системы
  • 5.2. Теорема о движении центра масс
  • 5.3. Теорема об изменении количества движения
  • 5.4. Теорема об изменении кинетического момента
  • 5.5. Теорема об изменении кинетической энергии
  • 6. Принцип Даламбера. Элементы аналитической механики
  • 6.2. Классификация механических связей. Обобщенные координаты
  • 6.3. Принцип возможных перемещений
  • 6.4. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера — Лагранжа)
  • 6.5. Уравнения Лагранжа второго рода
    1. Основные понятия
  • 1.1. Введение. Внешние и внутренние силы
  • 1.2. Напряжения и деформации в точке
  • 1.3. Основные понятия и допущения
  • 2. Напряженно-деформированное состояние в точке
  • 2.2. Одноосное растяжение и сжатие
  • 2.3. Чистый сдвиг
  • 3. Центральное растяжение и сжатие
  • 3.2. Напряжения и деформации при растяжении или сжатии
  • 3.3. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии
  • 4. Кручение
  • 4.2. Напряжения и деформации при кручении
  • 4.3. Расчеты на прочность при кручении
  • 5. Прямой изгиб
  • 5.2. Напряжения и деформации при прямом чистом изгибе
  • 5.3. Напряжения и деформации при прямом поперечном изгибе
  • 5.4. Расчет на прочность при прямом изгибе
  • 6. Сложное сопротивление
  • 6.2. Внецентренное растяжение или сжатие
  • 6.3. Изгиб с кручением
  • 7. Устойчивость сжатых стержней
  • 7.2. Формула Эйлера
  • 7.3. Влияние способов закрепления концов стержня на величину критической силы
  • 7.4. Пределы применимости формулы Эйлера
  • 7.5. Расчеты сжатых стержней на устойчивость
    ПРИЛОЖЕНИЯ
  • 1. Элементарные функции и их свойства
  • 2. Таблица неопределенных интегралов
  • 3. Решения обыкновенных дифференциальных уравнений
  • 4. Ортогональные криволинейные системы координат
  • 5. Некоторые физические постоянные

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *