Работа переменной силы

Работа переменной силы. Мощность.

Тела, образующие механические системы, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, подразделяются на внутренние и внешние. Внутренние силы — это силы, с которыми на данное тело воздействуют остальные тела системы. Внешние силы — это силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих данной системе. В случае, если внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой. Кинетическая энергия. Если система замкнута, то есть =0, то , а сама величина остаётся постоянной. Кинетическая энергия связана с работой внешних и внутренних сил. Если на частицу действует сила , кинетическая энергия не остаётся постоянной. В этом случае, согласно утверждению , приращение кинетической энергии за время dt равно скалярному произведению dS (dS — перемещение частицы за время dt). Величина называется работой силы F на пути dS (dS — это модуль перемещения). Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идёт на приращение кинетической энергии частицы, , следовательно, энергия имеет такую же размерность, как и работа, в соответствии энергия измеряется в тех же единицах, что и работа. Понятие поля. Консервативные силы и потенциальные поля. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле. Связь силы и потенциальной энергии. Поле центральных сил. Потенциальная энергия системы. Потенциальная энергия упругой деформации. Потенциальная энергия в поле тяготения. Поле сил — это поле, в котором частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел. Для стационарного поля может оказаться, что работа, совершаемая над частицей силами поля, зависит лишь от начального и конечного положения частицы и не зависит от пути, по которому двигалась частица. Силы, обладающие таким свойством, называются консервативными силами. Отметим, что консервативное поле сил являются частным случаем потенциального силового поля. Поле сил называется потенциальным, если его можно описать функцией П (x,y,z,t), градиент которой определяет силу в каждой точке поля: F= П.ФункцияП называется потенциальной функциейили потенциалом. — это величина для частицы, находящейся в поле консервативных сил Þ U входит слагаемым в интеграл движения имеющей размерность энергии. В связи с этим функцию U(x,y,z) называют потенциальной энергией частицы во внешнем поле сил. Иначе можно сказать, что работа совершается за счет запаса потенциальной энергии. Связь силы и потенциальной энергии существует. (перевернутый треугольник это оператор набла) – Сила это минус градиент потенциальной энергии. Поле центральных сил — это поле, характерное тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный центр, а величина силы зависит только от расстояния до этого центра F=F(r). Согласно , полная механическая энергия системы независимо действующих частиц, на которые действуют только консервативные силы, остаётся постоянной. Это утверждение выражает закон сохранения энергии для указанной механической системы. Согласно формуле как для расширения, так и для сжатия пружины на величину x, необходимо затратить работу . Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Зависимость потенциальной энергии пружины от удлинения имеет вид где k-коэффициент жесткости пружины (эта формула написана в предположении, что потенциальная энергия недеформированной пружины равна нулю). При упругой продольной деформации стержня совершается работа, определяемая формулой A=1/2(Es/l0)(Dl)2=1/2Esl0(Dl/l0)2=1/2Eve2. В соответствии с этим, потенциальная энергия упруго деформируемого стержня равна , где e — относительная деформация , E — модуль Юнга, а V — это объём тела. Потенциальная энергия в поле тяготения.

Лекция 4. Работа и энергия

План лекции

4.1. Работа переменной силы. Мощность.

4.2. Энергия. Кинетическая и потенциальная энергии.

4.3. Закон сохранения энергии в механике.

Работа переменной силы. Мощность.

Если под действием силы F происходит движение и тело перемещается на величину S, то говорят, что сила совершает работу. Работа – скалярная физическая величина, равная произведению проекции силы Fs на направление перемещения на перемещение S.

А = Fs · S (4.1)

Эта формула справедлива для прямолинейного движения при Fs= const, а также когда угол между вектором силы и перемещением не изменяется. Учитывая, что Fs = F·cos выражению (4.1) можно придать вид:

А = F · S cos (4.2)

Другими словами, работу можно представить как скалярное произведение векторов и .

А = · (4.3)

Из формулы (4.2) видно, что работа может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Когда cos >0 (a – острый угол), работа положительна (А>0), при cos <0 (a – тупой угол), работа отрицательна (А<0).

Единица работы – джоуль (Дж): 1 Дж = 1 Н·м.

Работу можно изобразить графически. При Fs= const график силы представлен на рис. 4.1.

Рис. 4.1.

На графике видно, что работа равна площади заштрихованного прямоугольника.

Если работа совершается под действием переменной силы, т.е. F ≠ const (F = F (S)), то графически работа будет равна площади под кривой (рис. 4.2).

Чтобы найти работу переменной силы разобьем пройденный путь на элементарные отрезки пути dSi. Тогда работа на элементарном отрезке пути будет:

(4.4)

Если при прямолинейном движении элементарный отрезок пути выбрать таким, чтобы F = const и = const, то на пути от S1до S2 работа будет равна:

(4.5)

Рис. 4.2

Для характеристики быстроты совершения работы вводится понятие мощности. Мощность N – физическая величина, равная отношению работы ΔА к промежутку времени Δt, в течение которого она совершается

Лекция 3. Вопросы:1) Работа постоянной и переменной силы

Тема:Работа и энергия

Вопросы:1) Работа постоянной и переменной силы.

2) Энергия. Потенциальная энергия.

3) Кинетическая энергия. Закон сохранения энергии.

1. При неупругом столкновении тела могут остановиться, в этом случае исчезает механическое движение и тела нагреваются. Законы динамики такого превращения объяснить не могут, потребовалось ввести новую физическую величину – «энергию». В механике передача энергии осуществляется путем совершения работы.

Пусть тело перемещается на некоторое расстояние S под действием постоянной силы F. Опытным путем получена формула работы

A = FScosα, (3.1)

где α — угол между направлением силы и перемещения. Единица измерения работы = = Н·м = Дж (джоуль).

Если 0 ≤α< 90°, то cosα > 0 и А > 0, то есть работа внешней силы над телом положительна (сила действует в направлении движения).

Если α = 90°, то cosα = 0 и А = 0 , значит сила, перпендикулярная к направлению движения, работу над телом не совершает.

Если 90°<α ≤180°, то cosα <0 и А<0; в этом случае тело совершает работу против силы (например, трения) и работа тела отрицательна.

Мощностью называют физическую величину, численно равную работе, совершаемой телом, за единицу времени: N = A/t. Единица измерения мощности = Дж/с = Вт (ватт).

Рассмотрим перемещение тела из точки 1 в точку 2 под действием непостоянной силы F≠const. Может меняться как величина, так и направление силы. Работу на всем пути уже нельзя определять выражением 3.1. Мысленно разобьем путь на участки ΔЅ1, ΔЅ2, ΔЅ3,… ΔЅi…, такие, чтобы силу в пределах отдельного участка можно было считать постоянной. Тогда работу на каждом участке можно определить как ΔAi = FiΔSicosαi., а работу на всем пути сложением .

Чем меньше длина участков, тем точнее результат определения работы, поэтому работу на всем пути следует определять как

(3.2)

Под знаком интеграла стоит элементарная работа dA = FdScosα на бесконечно малом отрезке пути dS.

2. Энергия – это количественная мера движения материи во всех формах ее движения. Различают механическую энергию (кинетическую и потенциальную), тепловую, электрическую, ядерную и др. Для всех видов энергии единой мерой является джоуль.

Если тело деформируется под действием силы, то сила совершает работу. Моделью упругого тела служит пружина. Чтобы пружину растянуть, надо приложить силу F, равную и противоположно направленную силе противодействия пружины Fупр = — kx, где k – коэффициент упругости (жесткость) пружины, а х – величина деформации пружины. Значит F = kx, т.е. F≠const. Работа деформации

А = (3.3)

Работа внешней силы идет на увеличение запаса энергии деформируемого тела, значит потенциальная энергия деформируемого тела Епот = А, т.е.

(3.4)

Рассмотрим тело, поднятое над поверхностью Земли на высоту h. На тело действует сила тяготения, направленная к центру Земли, следовательно, надо совершить работу, равную силе тяжести, чтобы поднять тело.

Работа А = mgh и идет на увеличение запаса потенциальной энергии тела в поле Земли Епот = mgh. Уменьшая свою высоту, тело совершает работу, равную mgh, или отдаст энергию mgh.

Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия тел или частей тела, зависящая от их взаимного расположения. Потенциальная энергия появляется всегда, когда между телами или частями тела действуют силы, зависящие от расстояния между телами.

3.Кинетической энергией тела называют энергию его движения. Она равна работе, совершаемой внешней силой F, которая выводит тело из состояния покоя и сообщает ему скорость V.

Действие силы подчиняется основному закону динамики .

После умножения на dS получим и проведем замену переменных: FdS = dA; V = . Получим dA = mVdV. Проинтегрируем обе части равенства:

.

Работа пошла на сообщение кинетической энергии А = Екин., значит

(3.5)

Если надо увеличить скорость, то следует совершить работу А = ΔЕ, т.е. . Если движущееся тело остановилось, то оно передало свою энергию телу, с которым оно взаимодействовало при торможении.

При вращении тела его частицы обладают кинетической энергией , скорости частиц могут иметь разные значения. Кинетическая энергия вращающегося тела:

; так как Vi = riω, то .

(3.6)

Если тело движется поступательно и одновременно вращается, то его кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии поступательного и вращательного движений.

В изолированной от внешних воздействий системе выполняется закон сохранения энергии: полная энергия остается постоянной при любых ее превращениях.

Закон сохранения механической энергии Епот + Екин = const выполняется, если в системе отсутствует трение и неупругие деформации. При их наличии часть механической энергии превращается в тепло.

6. Работа переменной силы.

Работа, совершаемая постоянной силой F при перемещении тела M на прямолинейном участке пути s равна A=Fs=Fscos(). Работа – скалярная величина. Если cos()>0, то работа – положительна.

Консервативная (потенциальная) сила – сила, работа которой определяется только начальным и конечным положениями тела и не зависит от формы пути.

Примером работы, совершаемой переменной силой, может служить работа упругой или квазиупругой силы F=-kx, где k – упругость, x – смещение тела, на которое действует упругая сила F относительно положения равновесия (x=0).

Мощность – величина, характеризующая скорость выполнения работы. N=dA/dt.

Консервативные силы и потенциальные поля.

Поле, в котором работа силы не зависит от формы пути, а зависит лишь от положения начальной и конечной точек траектории, называют потенциальными, а силы, действующие в нём, — консервативными.

В потенциальном поле работа сил по любому замкнутому контуру равна нулю.

7.Кинетическая энергия и её связь с работой внешних и внутренних сил.

Кинетической энергией называют энергию, зависящую от скорости движения тела.

Всякое движущее тело может производить работу. Кинетическая энергия определяется работой, которую может совершать тело вследствие того, что оно обладает определённой скоростью.

А= -m(d/dt). Элементарная работа, совершаемая движущимся телом против силы F на пути dx равна A=-Fdx=-m(d/dx)=-md.

Если скорость тела уменьшается от 1 до 2, то A=m12/2- m22/2, т.е. работа равна убыли кинетической энергии тела, т.к. работа совершается против внешних сил. Если внешние силы, действуя на тело, совершают работу, то кинетическая энергия тела, движущегося со скоростью  равна Eк=m2/2.

При изменении скорости тела на d кинетическая энергия изменяется на dEк=d(m2/2)=md.

8. Закон сохранения механической энергии.

E=Eк+U=const.

Для консервативных систем, в которых не происходит преобразование механической энергии в другие формы энергии (нет трений и других сил, зависящих от скорости), полная энергия системы при ей движении остаётся неизменной.

9. Момент силы.

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО’.

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы. Произведение силы на плечо определяет модуль момента силы относительно точки О: M=Fp=Frsin(rF).

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиус-вектора точки приложения силы и вектора силы. M=.

Момент импульса материальной точки.

Момент импульса – вектор, совпадающий по направлению с вектором угловой скорости.

Момент импульса материальной точки равен L=I.

Связь между моментом силы и моментом импульса.

Основное уравнение динамики вращательного движения.

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом r. Пусть на неё действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение. a=F/m или F= am. a=r => F=rm; Fr=mr2; M=Fr; I= mr2 => M=I или = M/I.

Угловое ускорение точки при её вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

10.Момент инерции.

Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от её распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Если тело однородно и его плотность =m/V, то

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объёму.

Тонкий стержень

Перп. (центр)

Перп. (конец)

Кольцо, обруч, труба, маховик

Перп. плоскости основания

Диск (цилиндр)

Шар

Центр щара

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов импульсов отдельных его частей L=sum(miri2)=I.

Работа постоянной силы

Пусть тело, на которое действует сила F = const, проходит, двигаясь прямолинейно, некоторый путь s (при прямолинейном поступательном движении путь совпадает с перемещением). При поступательном движении тела используем модель материальная точка. Введём обозначения: а — угол между вектором силы F и направлением движения тела, т. е. направлением перемещения точки приложения силы. Это направление перемещения задаём с помощью единичного вектора т.

При F = const, а = const и проекция силы F на направление перемещения т FT — const (рис. 4.1).

Рис. 4.1

В этом случае работа А силы F:

Дадим характеристику действующей силе и совершаемой ею работе при различных значениях угла а.

В примере (3) сила работы не совершает; например, сила, играющая роль центростремительной силы, обуславливающей нормальное ускорение ап.

Работа переменной силы (Р- ^ const)

Рассмотрим случай, когда, например, F = const, но траектория движения материальной точки криволинейна, или траектория прямолинейна, но F Ф const.

Для вычисления работы в этом случае следует разбить траекторию движения на бесконечно малые участки пути d?, в пределах каждого из которых F можно считать постоянной.

Рис. 4.2

Элементарная работа 8А, совершаемая силой F па пути ds, определяется выражением

Если г — радиус-вектор точки приложения силы, то, как уже отмечалось, бесконечно малый участок пути ds’ = |dr|, где dr — элементарное перемещение точки приложения силы за время d/.

Тогда элементарная работа 8А (4.1.3), используя (1.3.8), также может быть определена в виде

Работа А на всем пути 5 равна сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути (перемещения) и может быть вычислена путем интегрирования

Используя (4.1.4), работу силы F по перемещению точки приложения силы (тела) вдоль некоторой траектории L можно определить как

Значение полученного интеграла в общем случае зависит от пути интегрирования (рис. 4.2).

То есть, в общем случае:

поэтому под интегралом в выражениях (4.1.5) и (4.1.6) стоит вариация БА, а не полный дифференциал (L4.

Единица измерения работы

В системе СИ единицей измерения работы является джоуль (Дж). Согласно (4.1.1)

Работа в 1 Дж — это работа, совершаемая силой 1 Н, действующей в направлении перемещения, на пути, равном 1 м.

Работа нескольких сил

Работа результирующей нескольких сил, действующих на тело, равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности.

Например, для двух сил F, и F2, действующих на материальную точку, используя принцип суперпозиции, по которому F = F,+F2, и (4.1.6), найдем работу результирующей силы

Мощность

Для того чтобы охарактеризовать быстроту совершения работы введено понятие — мощность.

Мощностью N силы F называется физическая величина, числено равная работе, совершаемой этой силой за единицу времени. Подставляя (4.1.3) в (4.1.9), получим:

где и = — — скорость точки приложения силы, а — угол между вектором dt

силы F и вектором скорости б (вектором перемещения).

Следовательно, мгновенная мощность силы равна скалярному произведению векторов силы и скорости движения в данный момент времени.

Если N Фconst, то можно пользоваться средней мощностью ((V) за некоторый конечный промежуток времени д/, в течение которого сила совершила работу А,

В системе единиц измерений Си единицей измерения мощности является ватт (Вт). Согласно (4.1.11), 1 Вт — это работа в 1 Дж, совершенная за 1 секунду.

Физика > Работа и переменные силы

Что такое работа переменной силы в физике: определение силы и работы, методы вычисления, система величин, формула работы, закон Гука, постоянная сила, джоуль.

Интеграцию применяют для вычисления работы, осуществляемой переменной силой.

style=»text-align: left;»>Задача обучения

  • Описать методы, используемые для вычисления работы, осуществляемой переменной силой.

Основные пункты

  • Работа, осуществляемая постоянной силой в точке, перемещающейся в направлении силы, воспроизводится как W = Fd.
  • Интеграцию можно применять для расчета работы, осуществляемой переменной силой и постоянной.
  • Единицей работы выступает джоуль.

Термины

  • Сила – физическая величина, передающая способность влиять на тело (масса, умноженная на дистанцию, поделенную на время2).
  • Работа – мера энергии, которую необходимо потратить, чтобы сместить объект. Если тело остается неподвижным, то работа не выполняется.

Использование интеграции и переменные силы

Считается, что сила активна, когда влияет на объект и смещает его с изначальной точки в направлении силы. Поэтому сила появляется вместе с движением. Работа, осуществляемая постоянной силой величины F на точке смещения Δx, отображается в формуле W = F⋅Δx.

Если мы сталкиваемся с переменной силой, то нуждаемся в интеграции для вычисления осуществляемой работы. Например, возьмем пружину. В законе Гука ясно сказано, что сила пружины выступает противоположной направлению растяжения/сжатия. Поэтому она определяется как Fs = -кх.

Она пропорциональна смещению в направлении х. Для переменной силы нужно внести бесконечно малые вклады в работу, осуществляемые в бесконечно малых временных промежутках времени dt. Интеграл оцениваем как:

Здесь пружина прикладывает переменную силу к массе, смещающейся от х0 к х. Работа положительная, если сила пребывает в том же направлении, что и движение, поэтому равна:

Здесь Fa выступает силой, влияющей на пружину, а Wa приравнивается к энергии упругого потенциала.

Применение интеграции для вычисления работы, выполняемой постоянными силами

Подобный интеграционный метод можно применить к работе, осуществляемой постоянной силой. Давайте рассмотрим это на примере с газом в поршне (важно для термодинамики). Здесь давление выступает постоянным и выводится из интеграла:

Можно также привести пример с работой, выполняемой гравитацией на свободно падающем объекте:

Заметьте, что подобный результат можно получить, оценив силу и дистанцию.

Единицы работы

Единицей работы выступает джоуль. Это работа, выполняемая силой 1 Ньютона, смещающего объект на дистанцию в 1 метр.

Среди неофициальных единиц можно встретить киловатт-час, лошадиная сила на час, эрг, фунт и т.д.

Раздел Физика

Введение
  • Введение в работу и энергию
Работа, выполняемая постоянной силой
  • Сила в направлении перемещения
  • Сила в угловом смещении
Работа, выполняемая переменными силами
  • Работа и переменные силы
Теорема Работа-Энергия
  • Кинетическая энергия и теорема о работе-энергии
Потенциальная энергия и сохранение энергии
  • Консервативные и неконсервативные силы
  • Что такое потенциальная энергия?
  • Сила тяжести
  • Пружины
  • Сохранение механической энергии
  • Решение проблем с сохранением энергии
  • Решение проблем с диссипативными силами
Мощность
  • Что такое мощность?
  • Люди: работа, энергия и сила
ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ: Мировое энергопотребление
  • Мировое использование энергии
Дальнейшие темы
  • Другие формы энергии
  • Энергетическая трансформация
  • Потенциальные энергетические кривые и эквипотенциалы

Механическая работа

Работа

A , W {\displaystyle A,W}

Размерность

L2MT−2

Единицы измерения

СИ

Дж

СГС

эрг

Примечания

скалярная величина

Механическая работа

A = F ⋅ S = F ⋅ S ⋅ cos ⁡ φ {\displaystyle A={\mathbf {F}}\cdot {\mathbf {S}}=F\cdot S\cdot \cos \varphi } Работа силы

Ключевые статьи

Работа в физике

Механическая работа Закон сохранения энергии Термодинамическая работа Первое начало термодинамики

Размерность

Известные учёные

См. также: Портал:Физика

Мeханическая работа — это физическая величина — скалярная количественная мера действия силы (равнодействующей сил) на тело или сил на систему тел. Зависит от численной величины и направления силы (сил) и от перемещения тела (системы тел).

> Используемые обозначения

Работа обычно обозначается буквой A (от нем. Arbeit — работа, труд) или буквой W (от англ. work — работа, труд).

Определение

Работа силы, приложенной к материальной точке

Суммарная работа по перемещению одной материальной точки, совершаемая несколькими силами, приложенными к этой точке, определяется как работа равнодействующей этих сил (их векторной суммой). Поэтому дальше будем говорить об одной силе, приложенной к материальной точке.

При прямолинейном движении материальной точки и постоянном значении приложенной к ней силы, работа (этой силы) равна произведению проекции вектора силы на направление движения и длины вектора перемещения, совершённого точкой:

A = F s s = F s c o s ( F , s ) = F → ⋅ s → {\displaystyle A=F_{s}s=Fs\ \mathrm {cos} (F,s)={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}

Здесь точкой обозначено скалярное произведение, s → {\displaystyle {\vec {s}}} — вектор перемещения; подразумевается, что действующая сила F → {\displaystyle {\vec {F}}} постоянна в течение времени, за которое вычисляется работа.

В общем случае, когда сила не постоянна, а движение не прямолинейно, работа вычисляется как криволинейный интеграл второго рода по траектории точки:

A = ∫ F → ⋅ d s → . {\displaystyle A=\int {\vec {F}}\cdot {\vec {ds}}.}

(подразумевается суммирование по кривой, которая является пределом ломаной, составленной из последовательных перемещений d s → , {\displaystyle {\vec {ds}},} если вначале считать их конечными, а потом устремить длину каждого к нулю).

Если существует зависимость силы от координат, интеграл определяется следующим образом:

A = ∫ r → 0 r → 1 F → ( r → ) ⋅ d r → {\displaystyle A=\int \limits _{{\vec {r}}_{0}}^{{\vec {r}}_{1}}{\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)\cdot {\vec {dr}}} ,

где r → 0 {\displaystyle {\vec {r}}_{0}} и r → 1 {\displaystyle {\vec {r}}_{1}} — радиус-векторы начального и конечного положения тела соответственно.

  • Следствие. Если направление приложенной силы ортогонально перемещению тела или перемещение равно нулю, то работа (этой силы) равна нулю.

Работа сил, приложенных к системе материальных точек

Работа сил по перемещению системы материальных точек определяется как сумма работ этих сил по перемещению каждой точки (работы, совершённые над каждой точкой системы, суммируются в работу этих сил над системой).

Даже если тело не является системой дискретных точек, его можно разбить (мысленно) на множество бесконечно малых элементов (кусочков), каждый из которых можно считать материальной точкой, и вычислить работу в соответствии с определением выше. В этом случае дискретная сумма заменяется на интеграл.

  • Эти определения могут быть использованы как для вычисления работы конкретной силы или класса сил, так и для вычисления полной работы, совершаемой всеми силами, действующими на систему.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия вводится в механике в прямой связи с понятием работы.

Схема рассуждений такова: 1) попробуем записать работу, совершаемую всеми силами, действующими на материальную точку и, пользуясь вторым законом Ньютона (позволяющим выразить силу через ускорение), попытаемся выразить ответ только через кинематические величины, 2) убедившись, что это удалось, и что этот ответ зависит только от начального и конечного состояния движения, введём новую физическую величину, через которую эта работа будет просто выражаться (это и будет кинетическая энергия).

Если A t o t a l {\displaystyle A_{total}} — полная работа, совершённая над частицей, определяемая как сумма работ, совершенных приложенными к частице силами, то она выражается как:

A t o t a l = Δ ( m v 2 2 ) = Δ E k , {\displaystyle A_{total}=\Delta \left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=\Delta E_{k},}

где E k {\displaystyle E_{k}} называется кинетической энергией. Для материальной точки кинетическая энергия определяется как половина произведения массы этой точки на квадрат её скорости и выражается как:

E k = 1 2 m v 2 . {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}.}

Для сложных объектов, состоящих из множества частиц, кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий частиц.

Потенциальная энергия

Сила называется потенциальной, если существует скалярная функция координат, известная как потенциальная энергия и обозначаемая E p {\displaystyle E_{p}} , такая, что

F → = − ∇ E p . {\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla E_{p}.}

Если все силы, действующие на частицу, консервативны, и E p {\displaystyle E_{p}} является полной потенциальной энергией, полученной суммированием потенциальных энергий, соответствующих каждой силе, тогда:

Этот результат известен как закон сохранения механической энергии и утверждает, что полная механическая энергия в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы,

∑ E = E k + E p {\displaystyle \sum E=E_{k}+E_{p}}

является постоянной во времени. Этот закон широко используется при решении задач классической механики.

Работа в термодинамике

Основная статья: Термодинамическая работа

В термодинамике работа, совершённая газом при расширении, рассчитывается как интеграл давления по объёму:

A 1 → 2 = ∫ V 1 V 2 P d V . {\displaystyle A_{1\rightarrow 2}=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}PdV.}

Работа, совершённая над газом, совпадает с этим выражением по абсолютной величине, но противоположна по знаку.

  • Естественное обобщение этой формулы применимо не только к процессам, где давление есть однозначная функция объёма, но и к любому процессу (изображаемому любой кривой в плоскости PV), в частности, к циклическим процессам.
  • В принципе, формула применима не только к газу, но и к чему угодно, способному оказывать давление (надо только чтобы давление в сосуде было всюду одинаковым, что неявно подразумевается в формуле).

Эта формула прямо связана с механической работой. Действительно, попробуем написать механическую работу при расширении сосуда, учитывая, что сила давления газа будет направлена перпендикулярно каждой элементарной площадке, равна произведению давления P на площадь dS площадки, и тогда работа, совершаемая газом для смещения h одной такой элементарной площадки будет

d A = P d S h . {\displaystyle dA=PdSh.}

Видно, что это и есть произведение давления на приращение объёма вблизи данной элементарной площадкой. А просуммировав по всем dS, получим конечный результат, где будет уже полное приращение объёма, как и в главной формуле раздела.

Работа силы в теоретической механике

Рассмотрим несколько детальнее, чем это было сделано выше, построение определения энергии как риманова интеграла.

Пусть материальная точка M {\displaystyle M} движется по непрерывно дифференцируемой кривой G = { r = r ( s ) } {\displaystyle G=\{r=r(s)\}} , где s — переменная длина дуги, 0 ≤ s ≤ S {\displaystyle 0\leq s\leq S} , и на неё действует сила F ( s ) {\displaystyle F(s)} , направленная по касательной к траектории в направлении движения (если сила не направлена по касательной, то будем понимать под F ( s ) {\displaystyle F(s)} проекцию силы на положительную касательную кривой, таким образом сведя и этот случай к рассматриваемому далее). Величина F ( ξ i ) △ s i , △ s i = s i − s i − 1 , i = 1 , 2 , . . . , i τ {\displaystyle F(\xi _{i})\triangle s_{i},\triangle s_{i}=s_{i}-s_{i-1},i=1,2,…,i_{\tau }} , называется элементарной работой силы F {\displaystyle F} на участке G i {\displaystyle G_{i}} и принимается за приближённое значение работы, которую производит сила F {\displaystyle F} , воздействующая на материальную точку, когда последняя проходит кривую G i {\displaystyle G_{i}} . Сумма всех элементарных работ ∑ i = 1 i τ F ( ξ i ) △ s i {\displaystyle \sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangle s_{i}} является интегральной суммой Римана функции F ( s ) {\displaystyle F(s)} .

В соответствии с определением интеграла Римана, можем дать определение работе:

Предел, к которому стремится сумма ∑ i = 1 i τ F ( ξ i ) △ s i {\displaystyle \sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangle s_{i}} всех элементарных работ, когда мелкость | τ | {\displaystyle |\tau |} разбиения τ {\displaystyle \tau } стремится к нулю, называется работой силы F {\displaystyle F} вдоль кривой G {\displaystyle G} .

Таким образом, если обозначить эту работу буквой W {\displaystyle W} , то, в силу данного определения,

W = lim | τ | → 0 ∑ i = 1 i τ F ( ξ i ) △ s i {\displaystyle W=\lim _{|\tau |\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangle s_{i}} ,

следовательно,

W = ∫ 0 s F ( s ) d s {\displaystyle W=\int \limits _{0}^{s}F(s)ds} (1).

Если положение точки на траектории её движения описывается с помощью какого-либо другого параметра t {\displaystyle t} (например, времени) и если величина пройденного пути s = s ( t ) {\displaystyle s=s(t)} , a ≤ t ≤ b {\displaystyle a\leq t\leq b} является непрерывно дифференцируемой функцией, то из формулы (1) получим

W = ∫ a b F s ′ ( t ) d t . {\displaystyle W=\int \limits _{a}^{b}Fs'(t)dt.}

Размерность и единицы

Единицей измерения работы в Международной системе единиц (СИ) является джоуль, в СГС — эрг

1 Дж = 1 кг·м²/с² = 1 Н·м 1 эрг = 1 г·см²/с² = 1 дин·см 1 эрг = 10−7 Дж > См. также

  • Закон сохранения энергии
  • Теорема о кинетической энергии системы
  • Механические приложения криволинейных интегралов

Примечания

  1. Тарг С. М. Работа силы // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 193-194. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.
  2. Это делается исходя из того, что можно разбить суммарное конечное перемещение на маленькие последовательные перемещения d s → {\displaystyle {\vec {ds}}} , на каждом из которых сила будет почти постоянной, а значит можно будет воспользоваться определением для постоянной силы, введенным выше. Затем работы на всех этих перемещениях d s → {\displaystyle {\vec {ds}}} суммируется, что и дает в результате интеграл.
  3. Как это очень часто бывает. Например, в случае кулоновского поля, растягивающейся пружины, силы тяготения планеты итд итд.
  4. По сути через предыдущий, поскольку здесь F → ( t ) = F → ( r → ( t ) ) {\displaystyle {\vec {F}}(t)={\vec {F}}({\vec {r}}(t))} ; вектор же малого перемещения d s → {\displaystyle {\vec {ds}}} совпадает с d r → {\displaystyle d{\vec {r}}} .
  5. Тарг С. М. Кинетическая энергия // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  6. Работа, совершаемая газом при его сжатии, очевидно отрицательна, но вычисляется по той же формуле. Работа, совершаемая газом (или над газом) без его расширения или сжатия (например, в процессе перемешивания мешалкой), в принципе может быть выражена подобной формулой, но всё же не прямо этой, так как она требует обобщения: дело в том, что в формуле ∫ P d V {\displaystyle \int PdV} давление подразумевается одинаковым по всему объему (что часто выполняется в термодинамике, поскольку речь там часто идет о процессах, близких к равновесным), что и приводит к наиболее простой формуле (в случае же вращающейся мешалки, например, давление будет разным на передней и задней стороне лопасти, что приведет к необходимому усложнению формулы, если мы захотим применить её к такому случаю; эти соображения относятся и ко всем другим неравновесным случаям, когда давление неодинаково в разных частях системы).

Литература

  • История механики с древнейших времен до конца XVIII в. В 2 т. М.: Наука, 1972.
  • Кирпичёв В. Л. Беседы о механике. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
  • Льоцци М. История физики. М.: Мир, 1970.
  • Мах Э. Принцип сохранения работы: История и корень его. СПб., 1909.
  • Мах Э. Механика. Историко-критический очерк её развития. Ижевск: РХД, 2000.
  • Тюлина И. А. История и методология механики. М.: Изд-во МГУ, 1979.

Для улучшения этой статьи по физике желательно:

  • Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.
  • Проставив сноски, внести более точные указания на источники.

Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *