Сила кориолиса когда возникает

Проявление сил инерции и силы Кориолиса на Земле

Среди сил инерции выделяют следующие:

· простую силу инерции

· центробежную силу, объясняющую стремление тел улететь от центра во вращающихся системах отсчёта;

· силу Кориолиса, объясняющую стремление тел сойти с радиуса при радиальном движении во вращающихся системах отсчёта.

Все инерциальные системы отсчета имеют право двигаться с постоянной скоростью относительно друг друга. Система отсчета, которая движется с переменной скоростью, будет уже неинерциальной. По отношению к такой системе отсчета законы механики перестают действовать. Действительно, если система движется с переменной скоростью относительно инерциальной системы К, то правило сложения скоростей будет выглядеть:

Тогда для ускорения одержим:

Где:

— ускорение материальной точки в системе К,

— ускорение материальной точки в системе К

— ускорение системы , относительно системы К

Умножим все члены формулы на массу материальной точки m:

Или

И сразу видим, что сила, которая действует на материальную точку в системе , не равна силе, действующей на эту же материальную точку в системе К, как это было, когда обе системы были инерциальными.

Они отличаются на величину — , которая называется силой инерции:

Таким образом, в неинерциальной системе отсчета появилась дополнительная сила – сила инерции, и именно в этом значении следует понимать заявление о том, что в неинерциальных системах отсчета законы механики не действуют.

Особенности сил инерции

1. В отличие от других сил, силы инерции не являются силами взаимодействия. Нельзя указать тело, которое является источником сил инерции. Поэтому силы инерции иногда называют «фиктивными силами», или «псевдосилами».

2. Но силы инерции вполне реальны, их можно измерить. По появлению сил инерции можно судить об ускорении системы отсчета.

3. Силы инерции пропорциональны массе, как и силы тяготения. Если наперед неизвестно, движется ли система отсчета с ускорением, или тело находится в гравитационном поле, то отличить силы инерции и гравитации невозможно. Это утверждение составляет содержание знаменитого принципа Эквивалентности:

Движение тела по отношению к неинерциальной системе отсчета эквивалентно его движению относительно инерциальной системы, под воздействием всех тел, которые реально взаимодействуют с ним, а также дополнительного поля тяготения.

Силы инерции во вращающейся системе отсчета

Выбреем как неинерциальную систему отсчета диск радиуса R, которая вращается вокруг собственной оси с постоянной угловой скоростью (рис 10). Система неинерциальная, несмотря на равномерность вращения, поскольку каждая точка диска имеет нормальное ускорение, которое не равно нулю.

Пускай материальная точка массой m по отношению к диску движется с постоянной скоростью . Наблюдатель в этой системе зафиксирует нормальное ускорение материальной точки:

Рис. 10

Наблюдатель, который находится в неподвижной инерциальной системе отсчета, тоже констатирует, что материальная точка движется равномерно по кругу, но с другой линейной скоростью:

И с другим нормальным ускорением:

Выразим из этой формулы нормальное ускорение в неинерциальной системе отсчета:

Умножив уравнение на массу, получим силы:

Из полученного уравнения видно, что сила в неинерциальной системе отсчета равна силе в инерциальной системе отсчета плюс еще две силы инерции

— центробежная сила инерции и сила инерции Кориолиса.

Центробежная сила инерции

В общем случае при произвольном относительном размещении векторов угловой скорости и радиус-вектора материальной точки формула для центробежной силы инерции будет иметь такой вид:

Несмотря на сложные векторные произведения, центробежная сила всегда перпендикулярна оси вращения и направлена по радиусу от центра круга.

Особенности центробежной силы:

1. действует как на неподвижное тело, так и на движущееся;

2. пропорциональна массе тела;

3. зависит от угловой скорости неинерциальной системы;

4. возрастает с отдалением от оси вращения

Земля вращается относительно своей оси, поэтому она неинерциальная система.

Центробежная сила также проявляется в изменении силы веса Р в зависимости от широты местности (Рис.11). Вес тела – векторная сумма силы тяготения, направленной к центру Земли и центробежной силы инерции, направленной перпендикулярно оси вращения:

По теореме синусов:

И

Угол небольшой, поскольку центробежная сила мала по сравнению с весом.

На полюсе центробежная сила равна нулю, а на экваторе она максимальна:

Таким образом, из-за центробежной силы вес тела на полюсе больше веса на экваторе на 0,35%.

Разница невелика для обычного обитателя Земли. Но она имеет большое значение во время запуска космических ракет на орбиту Земли. Поэтому космодромы располагают как можно ближе к Экватору, где вес ракеты меньше.

Рис.11 Если же не учитывать влияние сплюснутости Земли (≈0,2%), то ускорение силы тяготения на полюсе:

А на экваторе:

Для обычных расчетов обычно принимается определенное стандартное ускорение:

Действие центробежной силы инерции широко используют в технике: в центробежных насосах, сепараторах, центробежном регуляторе и т. д. При проектировании быстро вращающихся деталей машин — роторов турбин, компрессоров, электрических двигателей, двигателей внутреннего сгорания, винтов самолетов и вертолетов принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции. Например, в случае деталей, симметричных относительно оси вращения, производят их тщательную статическую и динамическую балансировку, так как малейшее смещение центра масс в сторону от оси вызывает при быстром вращении детали столь большие дополнительные нагрузки на ее подшипники, что они быстро разрушаются. В случае несимметричных деталей, например коленчатых валов, применяют специальные противовесы. При расчете на прочность быстро вращающихся деталей машин учет центробежных сил инерции совершенно необходим, так как эти силы но многих случаях играют определяющую роль.

Кориолисова сила инерции

Эта сила действует на материальную точку только тогда, когда неинерциальная система отсчета вращается, а материальная точка движется относительно нее. Кориолисова сила инерции не совершает работы в относительном движении материальной точки, так как эта сила направлена перпендикулярно скорости относительного движения точки. Следовательно, Кориолисова сила инерции служит примером гироскопических сил

Силы инерции реально действуют на материальную точку в неинерциальной системе отсчета и могут быть в ней измерены, например с помощью пружинного динамометра.

Сила Кориолиса одна из сил инерции, существующая во вращающейся системе отсчёта и проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения.

Сила Кориолиса равна:

где m — точечная масса, — вектор угловой скорости, — вектор скорости движения точечной массы.

Причина появления силы Кориолиса — в Кориолисовом ускорении. Для того, чтобы тело двигалось с Кориолисовым ускорением, необходимо приложение силы к телу, равной F = ma, где a — Кориолисово ускорение. Соответственно, тело действует по третьему закону Ньютона с силой противоположной направленности. F= − ma. Сила, которая действует со стороны тела, и будет называться силой Кориолиса. Не следует путать Кориолисову силу с другой силой инерции — центробежной силой, которая направлена по радиусу вращающейся окружности.

В инерциальных системах отсчёта действует закон инерции, т.е каждое тело стремится двигаться по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что чтобы оно осуществилось, требуется придавать телу ускорение, так как чем дальше от центра, тем должна быть больше касательная скорость вращения. Это значит, что с точки зрения вращающейся системы отсчёта, некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса.

Если вращение происходит по часовой стрелке, то двигающееся от центра вращения тело будет стремиться сойти с радиуса влево. Если вращение происходит против часовой стрелки — то вправо.

Сила Кориолиса проявляется в работе маятника Фуко. Маятник Фуко является математическим маятником, такой маятник, отклонённый от равновесного положения, совершает колебания в плоскости, неподвижной в инерциальной системе отсчёта (в данном случае — системе отсчёта, «связанной» со звёздами). Наблюдатель, находящийся на Земле и вращающийся вместе с нею, находится в неинерциальной (вращающейся) системе отсчёта и будет видеть, что плоскость колебаний маятника медленно поворачивается относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли.

На Северном или Южном полюсе Земли (ось вращения Земли лежит в плоскости колебаний маятника) плоскость колебаний маятника Фуко совершает поворот на 360° за звёздные сутки (на 15° за звёздный час), на экваторе (ось вращения Земли перпендикулярна плоскости колебаний маятника) плоскость колебаний маятника Фуко неподвижна

Кроме того, поскольку Земля вращается, то сила Кориолиса проявляется и в глобальных масштабах. В северном полушарии сила Кориолиса направлена вправо от движения, поэтому правые берега рек в северном полушарии более крутые — их подмывает вода под действием этой силы (закон Бэра — правило, согласно которому в северном полушарии реки, текущие в меридиональном направлении, подмывают правый берег, в южном полушарии — левый). Объясняется Кориолисовой силой, действующей на воду при её удалении от (приближении к) оси вращения Земли). В южном полушарии всё происходит наоборот. Сила Кориолиса ответственна также и за возникновение циклонов и антициклонов.

А также она приводит к наличию дополнительного бокового давления на рельсы, а, следовательно, их неравномерный износ, возникающих при движении поездов.

Вопреки расхожему мнению, маловероятно, что сила Кориолиса полностью определяет направление закручивания воды в водопроводе — например, при сливе в раковине. Хотя в разных полушариях она действительно стремится закручивать водяную воронку в разных направлениях, при сливе возникают и побочные потоки, зависящие от формы раковины и конфигурации канализационной системы. По абсолютной величине создаваемые этими потоками силы превосходят силу Кориолиса, поэтому направление вращения воронки как в северном, так и в южном полушарии может быть как по часовой стрелке, так и против неё.

Сила Кориолиса

Запрос «Эффект Кориолиса» перенаправляется сюда; см. также другие значения. При вращении диска более далёкие от центра точки движутся с большей касательной скоростью, чем менее далёкие (группа чёрных стрелок вдоль радиуса). Переместить тело вдоль радиуса так, чтобы оно оставалось на радиусе (синяя стрелка из положения «А» в положение «Б») можно, увеличив скорость тела, то есть придав ему ускорение. Если система отсчёта вращается вместе с диском, то видно, что тело «не хочет» оставаться на радиусе, а «пытается» уйти влево — с точки зрения наблюдателя во вращающейся системе отсчёта это результат действия силы Кориолиса. Траектории шарика при движении без трения по поверхности вращающейся тарелки в разных системах отсчёта (вверху — в инерциальной по прямой, внизу — в неинерциальной, вращающейся вместе с тарелкой).

Си́ла Кориоли́са — одна из сил инерции, использующаяся при рассмотрении движения материальной точки относительно вращающейся системы отсчёта. Добавление силы Кориолиса к действующим на материальную точку физическим силам позволяет учесть влияние вращения системы отсчёта на такое движение.

Названа по имени французского учёного Гаспа́ра-Гюста́ва де Кориоли́са, впервые описавшего её в статье, опубликованной в 1835 году. Иногда высказываются мнения, что первым математическое выражение для силы получил Пьер-Симон Лаплас в 1775 году, а эффект отклонения движущихся объектов во вращающихся системах отсчёта был описан Джованни Баттиста Риччоли и Франческо Мария Гримальди в 1651 году.

Часто под термином «эффект Кориолиса» подразумевается наиболее важный случай проявления силы Кориолиса — который возникает в связи с суточным вращением Земли. Так как угловая скорость вращения Земли мала (1 оборот в день), эта сила, как правило, мала по сравнению с другими силами. Эффекты обычно становятся заметными только для движений, происходящих на больших расстояниях при длительных периодах времени, таких как крупномасштабное движение воздуха атмосферы (вихреобразные циклоны) или воды в океане (Гольфстрим). Такие движения, как правило, происходят вдоль поверхности Земли, поэтому для них часто важна только горизонтальная составляющая силы Кориолиса. Она заставляет движущиеся вдоль поверхности Земли объекты отклоняться вправо (по отношению к направлению движения) в северном полушарии и влево в южном. Эффект горизонтального отклонения сильнее близ полюсов, так как эффективная скорость вращения вокруг локальной вертикальной оси значительнее там и уменьшается до нуля у экватора.

Предварительное рассмотрение

Если в какой-либо инерциальной системе отсчёта материальная точка (МТ) равномерно движется вдоль радиуса, равномерно вращающегося вокруг перпендикулярной к нему оси, и её скорость направлена в сторону от центра вращения, то при этом вместе с увеличением расстояния от центра вращения возрастает и компонента скорости тела, направленная перпендикулярно радиусу. Значит, в данном случае компонента ускорения точки, перпендикулярная радиусу, отлична от нуля. Эта компонента ускорения МТ в инерциальной системе отсчёта и представляет собой ускорение Кориолиса.

При рассмотрении того же самого движения в неинерциальной системе отсчёта, вращающейся вместе с радиусом, наблюдаемая картина будет другой. Действительно, в этой системе отсчёта скорость МТ не изменяется и, соответственно, компонента её ускорения , перпендикулярная радиусу, равна нулю. Значит, движение выглядит так, как будто во вращающейся системе отсчёта на МТ действует дополнительная сила, направленная противоположно ускорению Кориолиса и компенсирующая его. Эта дополнительная «сила», вводимая для удобства описания движения, но в действительности отсутствующая, и есть сила Кориолиса. Понятно, что данная «сила» позволяет учесть влияние вращения подвижной системы отсчёта на относительное движение МТ, но при этом никакому реальному взаимодействию МТ с другими телами не соответствует.

Более строго — ускорение Кориолиса есть удвоенное векторное произведение вектора угловой скорости вращения системы координат на вектор скорости движения МТ относительно вращающейся системы координат. Соответственно, сила Кориолиса равна произведению массы МТ на её ускорение Кориолиса, взятому со знаком минус.

Определение

Пусть имеются две системы отсчёта, одна из которых ( S ) {\displaystyle (S)} инерциальная, а другая ( S ′ ) {\displaystyle \left(S\,’\right)} движется относительно первой произвольным образом и в общем случае является неинерциальной. Будем также рассматривать движение произвольной материальной точки массы m {\displaystyle m} . Её ускорение по отношению к первой системе отсчёта обозначим a → a {\displaystyle {\vec {a}}_{a}} , а по отношению ко второй — a → r {\displaystyle {\vec {a}}_{r}} .

Связь между ускорениями a → a {\displaystyle {\vec {a}}_{a}} и a → r {\displaystyle {\vec {a}}_{r}} следует из теоремы Кориолиса (см. ниже):

a → a = a → r + a → e + a → K , {\displaystyle {\vec {a}}_{a}={\vec {a}}_{r}+{\vec {a}}_{e}+{\vec {a}}_{K},}

где a → e {\displaystyle {\vec {a}}_{e}} — перено́сное ускорение, а a → K {\displaystyle {\vec {a}}_{K}} — ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение, поворотное ускорение). Напомним, что переносным ускорением называют ускорение той точки системы S ′ {\displaystyle S\,’} относительно системы S {\displaystyle S} , в которой в данный момент находится рассматриваемая материальная точка.

После умножения на массу точки и учёта второго закона Ньютона m a → a = F → {\displaystyle m{\vec {a}}_{a}={\vec {F}}} , данное соотношение можно представить в виде

m a → r = F → + ( − m a → e ) + ( − m a → K ) . {\displaystyle m{\vec {a}}_{r}={\vec {F}}+(-m{\vec {a}}_{e})+(-m{\vec {a}}_{K}).}

Величину ( − m a → e ) {\displaystyle (-m{\vec {a}}_{e})} называют переносной силой инерции, а величину ( − m a → K ) {\displaystyle (-m{\vec {a}}_{K})} — силой Кориолиса (кориолисовой силой). Обозначив их F → e {\displaystyle {\vec {F}}_{e}} и F → K {\displaystyle {\vec {F}}_{K}} соответственно, можно записать

m a → r = F → + F → e + F → K . {\displaystyle m{\vec {a}}_{r}={\vec {F}}+{\vec {F}}_{e}+{\vec {F}}_{K}.}

Полученное выражение выражает основной закон динамики для неинерциальных систем отсчёта.

Из кинематики известно, что

a → K = 2 , {\displaystyle {\vec {a}}_{K}=2\left,}

где ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} — угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчёта S ′ {\displaystyle S\,’} , v → r {\displaystyle {\vec {v}}_{r}} — скорость движения рассматриваемой материальной точки в этой системе отсчёта; квадратными скобками обозначена операция векторного произведения. С учётом этого для силы Кориолиса выполняется

F → K = − 2 m . {\displaystyle {\vec {F}}_{K}=-2\,m\,\left.}

Замечания

  1. Следует иметь в виду, что, согласно принятой в русскоязычной литературе терминологии, кориолисово ускорение материальной точки — это часть её ускорения в инерциальной системе отсчёта S {\displaystyle S} . Этим оно отличается, например, от центробежного ускорения, возникающего в неинерциальной системе отсчёта S ′ {\displaystyle S\,’} .
  2. В иноязычной литературе встречается альтернативное определение кориолисового ускорения с противоположным знаком: a → K ≡ − 2 {\displaystyle {\vec {a}}_{K}\equiv -2\left} . В таком случае кориолисово ускорение и кориолисова сила оказываются связаны соотношением: a → K = F K m {\displaystyle {\vec {a}}_{K}={\frac {F_{K}}{m}}} . В рамках такого определения кориолисово ускорение является частью ускорения тела в неинерциальной системе отсчёта S ′ {\displaystyle S\,’} .

Теорема Кориолиса

Пусть точка совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта S ′ {\displaystyle S\,’} со скоростью v → r {\displaystyle {\vec {v}}_{r}} ; система S ′ {\displaystyle S\,’} при этом сама движется относительно инерциальной системы координат S {\displaystyle S} , причём линейная скорость движущегося в трёхмерном пространстве произвольным образом мгновенного центра скоростей O {\displaystyle O} равна v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} , а угловая скорость вращения системы S ′ {\displaystyle S\,’} относительно мгновенного центра скоростей равна ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} . Мгновенный центр скоростей находится с помощью теоремы вращения Эйлера.

Тогда абсолютная скорость рассматриваемой точки (то есть её линейная скорость в инерциальной системе координат) будет такой:

v → = v → 0 + + v → r {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+\left+{\vec {v}}_{r}} , причём d d t R → = + v → r {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {R}}=\left+{\vec {v}}_{r}} ,

где R → {\displaystyle {\vec {R}}} — радиус-вектор точки относительно мгновенного центра скоростей O {\displaystyle O} . Первые два слагаемых в правой части равенства представляют собой переносную скорость точки, а последнее — её относительную скорость.

Продифференцируем это равенство по времени:

d d t v → = d d t v → 0 + d d t + d d t v → r . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {v}}={\frac {d}{dt}}{\vec {v}}_{0}+{\frac {d}{dt}}\left+{\frac {d}{dt}}{\vec {v}}_{r}.}

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

d d t v → 0 = a → 0 , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {v}}_{0}={\vec {a}}_{0},} d d t = + = + ] + , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left=\left+\left=\left+{\biggl {\biggr ]}+\left,} d d t v → r = + d r v → r d t , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {v}}_{r}=\left+{\frac {{\stackrel {~}{d_{r}}}{\vec {v}}_{r}}{dt}},}

где a → r = d r v → r d t {\displaystyle {\vec {a}}_{r}={\frac {{\stackrel {~}{d_{r}}}{\vec {v}}_{r}}{dt}}} — линейное ускорение точки относительно системы S ′ {\displaystyle S\,’} , ε → = d ω → d t {\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}} — угловое ускорение системы S ′ {\displaystyle S\,’} .

Таким образом, имеем:

d d t v → = a → = a → 0 + + ] + a → r + 2 . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {v}}={\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+\left+{\biggl {\biggr ]}+{\vec {a}}_{r}+2\left.}

Полученное равенство служит математическим выражением теоремы Кориолиса: Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме её переносного ускорения (сумма первых трёх слагаемых в правой части), относительного ускорения (четвёртое слагаемое) и добавочного кориолисова ускорения (последнее слагаемое), равного 2 {\displaystyle 2\left} .

Используя обозначения a → e = a → 0 + + ] {\displaystyle {\vec {a}}_{e}={\vec {a}}_{0}+\left+{\biggl {\biggl ]}} и a → K = 2 {\displaystyle {\vec {a}}_{K}=2\left} , получим запись теоремы Кориолиса в более сжатом виде:

a → a = a → e + a → r + a → K . {\displaystyle {\vec {a}}_{a}={\vec {a}}_{e}+{\vec {a}}_{r}+{\vec {a}}_{K}.}

Сам Кориолис выражал в 1835 г. свои результаты в иной форме, вводя в рассмотрение переносную и кориолисову силы инерции; общепринятая же ныне чисто кинематическая формулировка теоремы Кориолиса предложена в 1862 г. Анри Эме Резалем.

Заметим, что в частном случае вращательного движения инерциальной системы отсчёта относительно начала координат для того, чтобы точка относительно неинерциальной системы отсчёта двигалась прямолинейно по радиусу к оси вращения (см. рис.), необходимо приложить к ней силу, которая будет противодействующей суммы силы Кориолиса − 2 m {\displaystyle -2m\left} , переносной вращательной силы − m {\displaystyle -m\left} и переносной силы инерции поступательного движения системы отсчёта − m a → 0 {\displaystyle -m{\vec {a}}_{0}} . Составляющая же ускорения ] {\displaystyle \left\right]} не отклонит тело от этой прямой, так как является осестремительным переносным ускорением и всегда направлена по этой прямой. Действительно, если рассматривать уравнение такого движения, то после компенсации в нём вышеупомянутых сил получится уравнение ] + a → r = 0 {\displaystyle \left\right]+{\vec {a}}_{r}=0} , которое если умножить векторно на R → {\displaystyle {\vec {R}}} , то с учётом ] ] = 0 {\displaystyle \left\right]\right]=0} получим относительно v → r {\displaystyle {\vec {v}}_{r}} дифференциальное уравнение ≡ 0 {\displaystyle \left\equiv 0} , имеющее при любых R → {\displaystyle {\vec {R}}} и v → r {\displaystyle {\vec {v}}_{r}} общим решением = C o n s t → {\displaystyle \left={\vec {Const}}} , которое и является уравнением такой прямой — = 0 → {\displaystyle \left={\vec {0}}} .

Обсуждение

Правило Жуковского

Н. Е. Жуковский предложил удобный способ нахождения кориолисова ускорения:

Ускорение Кориолиса a → K {\displaystyle {\vec {a}}_{K}} можно получить, спроецировав вектор относительной скорости точки v → {\displaystyle {\vec {v}}} на плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} , увеличив полученную проекцию в 2 ω {\displaystyle \ 2\omega } раз и повернув её на 90 градусов в направлении переносного вращения.

Физический смысл

Пусть точка движется со скоростью v → {\displaystyle {\vec {v}}} вдоль прямой к центру координат инерциальной системы отсчёта (см. рис.).

Тогда данное движение приведёт к изменению расстояния до центра вращения R {\displaystyle \ R} и, как следствие, абсолютной скорости движения точки неинерциальной системы отсчёта, совпадающей с движущейся точкой — её переносной скорости.

Как мы знаем, эта скорость движения равна

v → e = . {\displaystyle {\vec {v}}_{e}=\left.}

Данное изменение будет равно:

d v → e = . {\displaystyle d{\vec {v}}_{e}=\left.}

Проведя дифференцирование по времени, получим

a → = . {\displaystyle {\vec {a}}=\left.}

(Направление данного ускорения перпендикулярно ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} и v → {\displaystyle {\vec {v}}} ).

С другой стороны, вектор v → {\displaystyle {\vec {v}}} для точки, остающейся неподвижной относительно инерциального пространства, повернётся относительно неинерциального на угол ω d t {\displaystyle \omega dt} . Или приращение скорости будет

d v r = v sin ⁡ ω d t = v × ω d t . {\displaystyle d{v}_{r}=v\sin \omega dt=v\times \omega dt.}

При t → 0 , {\displaystyle t\rightarrow 0,} соответственно, второе ускорение будет:

a → = . {\displaystyle {\vec {a}}=\left.}

Общее ускорение будет

a → k = 2 . {\displaystyle {\vec {a}}_{k}=2\left.}

Как видно, система отсчёта не претерпела изменения угловой скорости ω → . {\displaystyle {\vec {\omega }}.} Линейная скорость относительно неё не меняется и остаётся v → . {\displaystyle {\vec {v}}.} Тем не менее, ускорение не равно нулю.

Если тело движется перпендикулярно направлению к центру вращения, то доказательство будет аналогичным. Ускорение из-за поворота вектора скорости останется

a → = , {\displaystyle {\vec {a}}=\left,}

а также прибавляется ускорение в результате изменения центростремительного ускорения точки.

Введение в рассмотрение силы Кориолиса производится для того, чтобы иметь возможность описывать движение тел в неинерциальных системах отсчёта с помощью уравнений, по форме совпадающих с уравнением второго закона Ньютона. В то же время сила Кориолиса никак не связана с каким-либо взаимодействием рассматриваемого тела с другими телами, а все её свойства определяются только обстоятельствами кинематического характера, обусловленными выбором конкретной неинерциальной системы отсчёта. В связи с этим о силе Кориолиса говорят, что она не является физической силой, и называют её псевдосилой.

Сила Кориолиса не инвариантна относительно перехода из одной системы отсчёта в другую. Она не подчиняется закону действия и противодействия. Движение тела под действием силы Кориолиса аналогично движению во внешнем силовом поле. Сила Кориолиса всегда является внешней по отношению к любому движению системы материальных тел.

Сила Кориолиса и закон сохранения момента импульса

Если вращающаяся лаборатория, принимаемая за неинерциальную систему отсчёта, имеет конечный момент инерции, то в соответствии с законом сохранения момента импульса при движении тела по радиусу, перпендикулярному оси вращения, угловая скорость вращения будет увеличиваться (при движении тела к центру) или уменьшаться (при движении тела от центра). Рассмотрим эту ситуацию с точки зрения неинерциальной системы.

Хорошим примером может быть человек, который перемещается в радиальном направлении по вращающейся карусели (например, держась за ведущий к центру поручень). При этом с точки зрения человека он при движении к центру будет совершать работу против центробежной силы (эта работа пойдёт на увеличение энергии вращения карусели). На него также будет действовать сила Кориолиса, которая стремится отклонить его движение от радиального направления («сносит» его вбок), и противодействуя сносу (прилагая поперечное усилие к поручню), он будет раскручивать карусель.

При движении от центра центробежная сила будет совершать работу над человеком (за счёт уменьшения энергии вращения), а противодействие силе Кориолиса будет тормозить карусель.

Сила Кориолиса в природе и технике

Самый важный случай действия силы Кориолиса связан с суточным вращением Земли. Поскольку Земля вращается, для правильного анализа движения объектов в системах, привязанных к Земле, необходимо учитывать силу Кориолиса. Сила Кориолиса, вызванная вращением Земли, может быть замечена при наблюдении за движением маятника Фуко.

В Северном полушарии приложенная к движущемуся поезду сила Кориолиса направлена перпендикулярно рельсам, имеет горизонтальную составляющую и стремится сместить поезд вправо по ходу движения. Из-за этого реборды колёс, расположенных по правой стороне поезда, оказываются прижаты к рельсам. Кроме того, поскольку сила Кориолиса приложена к центру масс каждого вагона, то она создаёт момент силы, из-за которого возрастает нормальная сила реакции, действующая на колёса со стороны правого рельса в направлении, перпендикулярном поверхности рельса, и уменьшается аналогичная сила, действующая со стороны левого рельса. Понятно, что в силу 3-го закона Ньютона сила давления вагонов на правый рельс также больше, чем на левый. На одноколейных железных дорогах поезда обычно ходят в обоих направлениях, поэтому последствия действия силы Кориолиса оказываются одинаковыми для обоих рельсов. Иначе обстоят дела на двухколейных дорогах. На таких дорогах по каждой колее поезда движутся только в одном направлении, вследствие чего действие силы Кориолиса приводит к тому, что правые по ходу движения рельсы изнашиваются сильнее, чем левые. Очевидно, что в Южном полушарии из-за изменения направления силы Кориолиса больше изнашиваются левые рельсы. На экваторе эффект отсутствует, поскольку в этом случае сила Кориолиса направлена по вертикали (при движении вдоль экватора) или равна нулю (при движении вдоль меридиана).

Кроме того, сила Кориолиса проявляется и в глобальных масштабах. Вместо того чтобы течь непосредственно из области высокого давления в низкое, как это было бы в невращающейся системе, ветры и течения, как правило, текут вправо от этого направления в Северном полушарии и влево от этого направления в Южном. Поэтому правые берега рек в Северном полушарии более крутые — их подмывает вода под действием этой силы (см. Закон Бэра). В Южном полушарии всё происходит наоборот. Сила Кориолиса ответственна также и за вращение циклонов и антициклонов (см. геострофический ветер): в Северном полушарии вращение воздушных масс происходит в циклонах против часовой стрелки, а в антициклонах — по часовой стрелке; в Южном — наоборот: по часовой стрелке в циклонах и против — в антициклонах. Отклонение ветров (пассатов) при циркуляции атмосферы — также проявление силы Кориолиса.

Силу Кориолиса необходимо учитывать при рассмотрении планетарных движений воды в океане. Она является причиной возникновения гироскопических волн.

При идеальных условиях сила Кориолиса определяет направление закручивания воды — например, при сливе в раковине (феномен «обратного закручивания воды при стоке»). На практике эффект проявляется лишь в тщательно спланированных экспериментах, проведённых вдали от экватора, в которых используются строго симметричные сосуды, многочасовой отстой жидкости перед измерением, контроль внешних условий (стабильность температуры и отсутствие потоков воздуха).

> См. также

  • Сила Кориолиса в гидроаэромеханике
  • Центростремительное ускорение
  • Кориолисов расходомер
  • Увлечение инерциальных систем отсчёта

Примечания

  1. 1 2 Тарг С. М. Кориолиса сила // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 461. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  2. Фрейман Л. С. К истории доказательства теоремы Кориолиса // Труды института истории естествознания и техники / Гл. ред. Н. А. Фигуровский. — М.: АН СССР, 1956. — Т. 10. — С. 213—244.
  3. Coriolis G. Sur les équations du mouvement relative des systèmes de corps (фр.) // Journ. Ecole polytechn. — 1835. — Vol. 15, no 24. — P. 142—154.
  4. Manuel López-Mariscal. Further Coriolis correlation considerations (англ.) // Physics Today. — 2012. — Vol. 65. — P. 8. — DOI:10.1063/PT.3.1764. (недоступная ссылка)
  5. Christopher M. Graney. Coriolis effect, two centuries before Coriolis (англ.) // Physics Today. — 2011. — Vol. 64. — P. 8. — DOI:10.1063/PT.3.1195. (недоступная ссылка)
  6. 1 2 Тарг С. М. Кориолиса ускорение // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 461. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
  7. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 156. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
  8. Хайкин С. Э. Силы инерции и невесомость. — М.: «Наука», 1967. — С. 163—164.
  9. N. de Nevers. Air Pollution Control Engeneering. — 2. — The MkGraw-Hill Companies, Inc., 1999. — С. 88. — 586 с. — ISBN 0-07-039367-2.
  10. Bela G. Liptak. Flow Measurement. — CRS Press, 1993. — С. 51. — 211 с. — ISBN 0-8019-8386-X.
  11. A. Berthoz, Werner Graf, Pierre Paul Vidal. The Head-neck Sensory Motor System. — 1. — Oxford University Press, 1992. — С. 216. — 748 с. — ISBN 0-19-506820-3.
  12. E. Brinckmann. Biology in Space and Life on Earth: Effects of Spaceflight on Biological Systems. — 1. — Heppenheim: Wiley-VCH, 2007. — С. 30. — ISBN 978-3-527-40668-5.
  13. Веселовский И. Н. Очерки по истории теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1974. — 287 с. — С. 203—204.
  14. Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции. — М.: «Наука», 1987. — С. 69—70. — 320 с.
  15. Сила Кориолиса
  16. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — Издание 2-е, переработанное. — М.: Высш. шк., 1986. — С. 167. — 320 с. — 28 000 экз.
  17. Хайкин С. Э. Силы инерции и невесомость. — М.: «Наука», 1967. — С. 161—163.
  18. Краткая географическая энциклопедия. Закон Бэра
  19. Сурдин В. Ванна и закон Бэра // Квант. — 2003. — № 3. — С. 13. Архивировано 3 июля 2009 года.
  20. Научная Сеть. Колебания и волны. Лекции.
  21. Can somebody finally settle this question: Does water flowing down a drain spin in different directions depending on which hemisphere you’re in? And if so, why?, Scientific American. Дата обращения 4 ноября 2016.

Кориолисово ускорение

Кориолисово ускорение При вращении диска, более далёкие от центра точки движутся с большей касательной скоростью, чем менее далёкие (группа чёрных стрелок вдоль радиуса). Если мы хотим переместить некоторое тело вдоль радиуса, так, чтобы оно оставалось на радиусе (синяя стрелка из положения «А» в положение «Б»), то нам придётся увеличить скорость тела, то есть, придать ему ускорение. Если наша система отсчёта вращается вместе с диском, то мы ощутим, что тело «не хочет» оставаться на радиусе, а «норовит» уйти влево — это и есть сила Кориолиса. Движение шарика по поверхности вращающейся тарелки.

Си́ла Кориоли́са (по имени французского учёного Гюстава Гаспара Кориолиса, впервые его описавшего) — одна из сил инерции, существующая в неинерциальной (вращающейся) системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения. Ускорение Кориолиса было получено Кориолисом в 1833 г., Гауссом в 1803 г. и Эйлером в 1765 г.

Причина появления силы Кориолиса — в кориолисовом (поворотном) ускорении. Для того, чтобы тело двигалось с кориолисовым ускорением, необходимо приложение силы к телу, равной F = ma, где a — кориолисово ускорение. Соответственно, тело действует по третьему закону Ньютона с силой противоположной направленности. FK = − ma. Сила, которая действует со стороны тела, и будет называться силой Кориолиса. Не следует путать Кориолисову силу с другой силой инерции — центробежной силой, которая направлена по радиусу вращающейся окружности.

В инерциальных системах отсчёта действует закон инерции, то есть, каждое тело стремится двигаться по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что чтобы оно осуществилось, требуется придавать телу ускорение, так как чем дальше от центра, тем должна быть больше касательная скорость вращения. Это значит, что с точки зрения вращающейся системы отсчёта, некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса.

Если вращение происходит по часовой стрелке, то двигающееся от центра вращения тело будет стремиться сойти с радиуса влево. Если вращение происходит против часовой стрелки — то вправо.

  • 1 Математическое определение
    • 1.1 Получение
    • 1.2 Физический смысл
  • 2 Сила Кориолиса в природе
  • 3 См. также

Математическое определение

Сила Кориолиса равна:

где m — точечная масса, — вектор угловой скорости, — вектор скорости движения точечной массы.

Кориолисово ускорение — это векторная величина, равная где — угловая скорость неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной, — скорость объекта в неинерциальной системе отсчёта.

Получение

Пусть тело совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта со скоростью а сама система движется поступательно с линейной скоростью в инерциальной системе координат и одновременно вращается с угловой скоростью

Тогда линейная скорость тела в инерциальной системе координат равна:

где — радиус-вектор центра масс тела относительно неинерциальной системы отсчета. Продифференцируем данное уравнение:

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

где — линейное ускорение относительно системы, — угловое ускорение.

Таким образом, получаем:

Последнее слагаемое и будет кориолисовым ускорением.

Пусть тело движется со скоростью вдоль прямой к центру вращения инерциальной системы отсчёта.

Тогда данное движение приведёт к изменению расстояния до центра вращения R и, как следствие, абсолютной скорости движения точки неинерциальной системы отсчёта, совпадающей с движущейся точкой.

Как мы знаем, эта скорость движения равна

Данное изменение будет равно:

Проведя дифференцирование по времени, получим (направление данного ускорения перпендикулярно и ).

C другой стороны, вектор , оставшись неподвижным относительно инерциального пространства, повернётся относительно неинерциального на угол ωdt. Или приращение скорости будет

при соответственно второе ускорение будет:

Общее ускорение будет Как видно, система отсчёта не претерпела изменения угловой скорости Линейная скорость относительно неё не меняется и остаётся Тем не менее, ускорение не равно нулю.

Если тело движется перпендикулярно направлению к центру вращения, то доказательство будет аналогичным. Ускорение из-за поворота вектора скорости останется а также прибавляется ускорение в результате изменения центростремительного ускорения точки.

Сила Кориолиса в природе

Самый простой пример использования силы Кориолиса — это эффект ускорения кручения танцоров. Чтобы ускорить свое вращение, человек может начать крутиться с широко разведёнными в стороны руками, а затем — уже в процессе — резко прижать руки к туловищу, что вызовет увеличение круговой скорости (согласно закону сохранения момента импульса). Эффект силы Кориолиса проявится в том, что для такого движения руками придётся прикладывать усилия не только по направлению к телу, но и в направлении по вращению. При этом возникает ощущение, что руки отталкиваются от чего-то, при этом ещё больше ускоряясь.

Сила Кориолиса также проявляется, например, в работе маятника Фуко. Кроме того, поскольку Земля вращается, то сила Кориолиса проявляется и в глобальных масштабах. В северном полушарии сила Кориолиса направлена вправо от движения, поэтому правые берега рек в Северном полушарии более крутые — их подмывает вода под действием этой силы (см. Закон Бэра). В Южном полушарии всё происходит наоборот. Сила Кориолиса ответственна также и за вращение циклонов и антициклонов.

Вопреки расхожему мнению, маловероятно, что сила Кориолиса полностью определяет направление закручивания воды в водопроводе — например, при сливе в раковине. Хотя в разных полушариях она действительно стремится закручивать водяную воронку в разных направлениях, при сливе возникают и побочные потоки, зависящие от формы раковины и конфигурации канализационной системы. По абсолютной величине создаваемые этими потоками силы превосходят силу Кориолиса, поэтому направление вращения воронки как в Северном, так и в Южном полушарии может быть как по часовой стрелке, так и против неё.

См. также

  • Центростремительное ускорение
  • Кориолисовые расходомеры

«Сила Кориолиса».

Это одна из сил инерции, открытая, описанная и изученная французом Гюставом Гаспаром Кориолисом ещё в начале 19 века. Физический термин «сила Кориолиса» применим и в ситуации с особенностями течения многих рек на нашей планете. Поскольку относительно планеты Земля эта сила проявляется в результате её вращения вокруг собственной оси. Когда мы наблюдаем Землю с северного полюса, то планета вращается слева направо, то есть против движения стрелки часов. В данном случае сила Кориолиса появляется, усиливая инерцию вправо, по ходу тела. Поэтому в нашем полушарии, на севере от экватора, у всех речек, за исключением совсем маленьких, обычно вздымающиеся, холмистые и обрывистые берега. Ведь влияние потока на правый берег умножается описанной нами силой. И соответственно, левый берег в большинстве случаев более равнинный, спокойный. В южном полушарии Земли наблюдается обратно противоположное явление.

Исключение составляют те случаи, когда река вынуждена пробивать себе дорогу в твёрдых скальных породах. Могут быть обусловлены природным ландшафтом, разностью грунтов, и исключительной стремительностью течения рек в горных массивах или на абсолютно пологих равнинах. Часто у очень широких рек в равнинной местности и на мягких грунтах берега почти одинаковые.

Вследствие этой закономерности Русские армии с древнейших времён несли более обширные потери во многих войнах с иноземными захватчиками, чем могло бы быть. Дело в том, что при наступлении врага с западного, европейского направления, наши предки были вынуждены их встречать на пологом берегу, то есть, враг зачастую имел стратегическое преимущество в высоте. И соответственно, при ответных контратаках, наши войска форсировали укреплённый и неприступный берег.

Мало кто из нас задумывается о таких моментах истории и географии. А ведь на самом деле подобных закономерностей в жизни не мало. Поэтому, прежде чем ругать наших полководцев за лишние человеческие потери в боях, нужно видеть несколько дальше собственного носа.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *