Среди наблюдаемых спиральных галактик 54 принадлежат

Теория вероятностей для астрономов и физиков — Агекян Т.А.

booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Агекян Т.А. -> «Теория вероятностей для астрономов и физиков» -> 13

Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков — Наука, 1974. — 264 c.
Скачать (прямая ссылка):
Предыдущая 1 .. 7 8 9 10 11 12 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 71 >> Следующая

Ji _.. In 2
§ 9. Аксиоматическое построение теории вероятностей
Введенные выше классическое и статистическое определения понятия вероятности не являются достаточными для построения общей теории. Классическое определение не может быть использовано в общем случае, когда нельзя определить полную систему конечного числа равновозможных случаев, часть которых благоприятна для события А, а остальная часть для него неблагоприятна,
С другой стороны, относительная частота появления события А может служить лишь приближенным значением, некоторой оценкой вероятности события А. Только в тех случаях, когда частота появлений события А настолько велика, что ошибки измерения относительной частоты в физических опытах и в астрономических наблюдениях заведомо превосходят ее случайные отклонения от вероятности события А, можно на данном этапе развития науки рассматривать наблюденную относительную частоту как вероятность события А.і 9] АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ
43
Чтобы построить теорию вероятностей, непротиворечивую и свободную от ограничений, в основу ее следует положить систему аксиом. Эти аксиомы, так же как, например, аксиомы евклидовой геометрии, формулируются как результат жизненного опыта, практической деятельности человека. Ввиду того, что относительная частота в обширных сериях испытаний приближенно равна вероятности события, аксиомы теории вероятностей должны формулироваться так, чтобы правила действий с вероятностями и относительными частотами совпадали. Принятая в теории вероятностей система аксиом сформулирована А. Н. Колмогоровым.
Аксиома I. С каждым событием А данного поля событий связывается число P (А), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию
О < P И) < 1. (1.80)
Отметим, что относительная частота также удовлетворяет условию (1.80).
Аксиома II. Вероятность достоверного события равна 1,
P(U) = 1. (1.81)
Аксиома III. Если событие А подразделяется
на несовместимые события C1, Ci…..Cm того же
поля, т. е.
А = C1 +C1 +. . . +Cm, (1.82)
то
P(A) = P (C1) + P (C2) + … +P (Cm). (1.83)
Эта аксиома сложения вероятностей несовместимых событий соответствует очевидному правилу сложения относительных частот. В самом деле, если в данной серии из п испытаний относительные частоты событий C1, C2, …
…,Cm равны соответственно —, —,…, —, то относитель-
Л п Tl
ная частота события будет равна
_L = il4_i!+… + .!k. (1.84)
в п 1 п 1 п
А к о и о и а IV. Если событие А может быть представлено как сумма бесконечной последовательности44
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
C1, C2, . . ., Cm, . . . несовместимых событий, то P(A) = P (C1) 4-P (C2) + . . . +P (Cm) + . . ., (1.85)
причем бесконечный ряд в правой части (1.85) предполагается сходящимся.

Эта аксиома, называемая расширенной аксиомой сложения, необходима, так как часто приходится рассматривать события, подразделяющиеся на бесконечное число частных случаев.
Из сформулированных аксиом вытекает ряд уже знакомых нам элементарных следствий.
1) Ив очевидного равенства
U + V = и и аксиомы II следует, что
P (U) + P (V) = P (U) и, следовательно, вероятность невозможного события
P (У) = 0. (1.86)
2) Так как А + Л = U, то
P(A) +P (Л) = \, (1.87)
сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
3) Из очевидных равенств
A +B = A +ЛВ, В = AB + ЛВ,
в которых слагаемые правых частей несовместимы, согласно аксиоме II получаем
P (А +В) = P(A) +P (ЛВ), (1.88)
P(B) = P (AB) + P (ЛВ). (1.89) Вычитая (1.88) из (1.89), получаем
P (А +В) = P (A) +P(B)-P (AB).
Таким образом, теорема сложения вероятностей есть следствие аксиомы II.і 10]
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
45
Вероятностью P (В I А) события В при условии, что событие А произошло, называется отношение P (AB) / /Р (А). Поэтому теорема умножения вероятностей:
P (AB) = P (A)P (В I А) есть просто следствие этого определения.
§ 10. Формула полной вероятности
Рассмотрим полную систему событий
Ли A2…..Ah. (1.90)
Если известны вероятности
P (A1), P (A2), …,P(Ak)
этих событий, то полная система событий считается заданной.
Рассмотрим также некоторое событие Н. Если при выполнении данного комплекса условий событие H не невозможное событие, то оно совместимо хотя бы с одним из событий (1.90).
Рассмотрим теперь систему событий
A1H, A2H…..AkH. (1.91)
События (1.91) несовместимы между собой, но они не составляют полной системы событий. Чтобы событие H произошло, необходимо и достаточно, чтобы произошло одно и8 событий (1.91). Поэтому, по теореме сложения вероятностей,
к к P(H) = P (2 A?) = 2 P(AiH). (1.92)
4=1 ‘ i=l
Но по теореме умножения
P (AiH) = P(A1)P (Н I А,). Окончательно находим
к
P(H) = ^jP(Al)P(HlAi). (1.93)
1-і46
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
trji. 1
Соотношение (1.93) носит название формулы полной вероятности.
З а д а ч а 22. Среди наблюдаемых спиральных галактик 23% принадлежат подтипу Sa, 31% — подтипу Sb и 46% — подтипу Sc. Вероятность вспышки в течение года сверхновой звезды в галактике Sa составляет 0,0020, в галактике Sb — 0,0035 и в галактике Sc — 0,0055. Найти вероятность вспышки в течение года сверхновой ввездьі в далекой спиральной галактике, подтип которой определить не удается.

Предыдущая 1 .. 7 8 9 10 11 12 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 71 >> Следующая

Методические разработки по курсу

можно заранее задать направление хорды.

Проведем диаметр , перпендикулярный

к этому направлению. Очевидно, что

только хорды, пересекающие диаметр в

промежутке от четверти до трех А В

четвертей его длины, будут пре-

восходить стороны правильного

треугольника (рис. 5 ).

Таким образом Рис. 5

Решение 2. По соображениям симметрии можно заранее закрепить один из концов хорды на окружности. Касательная к окружности в этой точке и две стороны правильного треугольника с вершиной в этой точке образуют три угла по (рис.6).

Условию задачи удовлетворяют

только хорды, попадающие в

средний угол. Таким образом получим:

А

Рис.6

Решение 3. Чтобы определить положение y

хорды, достаточно задать ее середину.

Чтобы хорда удовлетворяла

условию задачи, необходимо, чтобы

ее середина находилась внутри круга,

концентрического данному, но 1 x

половинного радиуса (рис. 7). В этом

случае имеем:

Рис. 7

Мы должны теперь выяснить, в чем причина неоднозначного решения нашей задачи. Лежит ли причина в принципиальной невозможности определения вероятности для случаев бесконечного числа возможных исходов или же причина в том, что мы приняли в процессе решения какие-либо недопустимые предпосылки.

Дело, как легко усмотреть, заключается в том, что за решение одной и той же задачи выдаются решения трех разных задач. Это происходит потому, что в условии не определено понятие проведения хорды наудачу.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.1. Стержень длиной l разломали в наудачу выбранной точке на две части. Какова вероятность того, что длина меньшей части не превосходит l/3.

Задача 4.2. Стержень длины l разломали в двух наудачу выбранных точках на три части. Какова вероятность того, что из полученных частей можно составить треугольник?

Задача 4.3. На луче случайно ставятся три точки. Найти вероятность того, что из трех отрезков, равных расстояниям от этих точек до начала луча, можно составить треугольник.

Задача 4.4. Два судна должны подойти к одному и тому же причалу. Их появления – независимые случайные события, равновозможные в течение суток. Найти вероятность того, что одному из судов придется ждать освобождения причала, если время стоянки первого судна – один час, а второго – два часа.

Задача 4.5. К автобусной остановке через каждые 4 минуты подходит автобус линии А и через каждые 4 минуты – автобус линии В. Интервал времени между моментами прихода автобуса линии А и ближайшего следующего автобуса линии В равновозможен в пределах от 0 до 4 минут. Определить вероятность того, что: а) первый подошедший автобус окажется автобусом линии А; б) автобус какой либо линии подойдет в течении 2 минут.

Задача 4.6. По радиоканалу в течение промежутка времени (0,1) передаются два сигнала длительностью каждый из них с одинаковой возможностью начинается в любой момент времени интервала (0, 1-). Если сигналы перекроют друг друга хотя бы частично, оба они искажаются и приняты быть не могут. Найти вероятность того, что сигналы будут приняты без искажений.

Задача 4.7. Имеется магнитофонная лента длины L=100 м, на обеих сторонах которой записаны сообщения; на одной стороне сообщение длины L1=20 м, на другой – длины L2=30 м; местоположение записей неизвестно. В связи с повреждением ленты пришлось удалить ее участок длины L0=10м, начинающийся на расстоянии 70 м от начала ленты. Найти вероятности следующих событий: А={ни та, ни другая записи не повреждены}; В={первая запись повреждена, вторая — нет}; С={вторая запись повреждена, первая — нет}; D={обе записи повреждены}.

Задача 4.8. Служебный автобус подходит к остановке в случайный момент времени от 7 часов до 7 часов 10 минут. Автобус стоит на остановке 5 минут, а затем уезжает. Один из пассажиров подъезжает к остановке служебного автобуса в случайный момент времени от 6 часов 55 минут до 7 часов 5 минут. Как часто данный пассажир опаздывает на служебный автобус?

Задача 4.9. Деревянный брусок длиной 3 метра случайным образом распилили на две части. Найти вероятность того, что длины получившихся частей различаются не более, чем на один метр.

Задача 4.10. Монета радиуса r случайным образом бросается на стол, разграфленный на квадраты со стороной l(2r<l). Найти вероятность того, что: а) монета не пересечет ни одной стороны квадратов; б) монета пересечет не более одной стороны квадратов.

Задача 4.11. (задача Бюффона) На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии a, наудачу бросается игла длиною2r (2r<a). Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Задача 4.12. Определить вероятность подрыва корабля при форсировании минного заграждения, если якорные контактные мины поставлены в один ряд через интервал l, а курс корабля с линией мин составляет угол . Пересечение кораблем линии мин равно возможно в любой точке. Ширина корабля равна b, диаметр мин равен d.

Задача 4.13. На окружности радиуса R наугад выбрано две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними не превышает r?

Задача 4.14. Лодка перевозит груз с одного берега пролива на другой, пересекая пролив за один час. Какова вероятность того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено, если с лодки обнаруживают судно в случае, когда пересекают его курс не ранее, чем за 20 мин до пересечения судном курса лодки, и не позднее, чем через 20 мин после пересечения судном курса лодки? Любой момент и любое место пересечения судном курса лодки равновозможны. Курс судна перпендикулярен курсу лодки.

Тема 5. Условные вероятности. Понятия независимости случайных событий. Теоремы умножения и сложения вероятностей.

Литература: , ,, , , , , , , .

Данные занятия предназначено для овладения методами вычисления условной вероятности, изучения свойств независимых событий, изучения основных формул для вычисления вероятностей объединений и пересечений событий из алгебры событий , связанных с некоторым случайным экспериментом Е, для которого построено основное вероятностное пространство .

В ряде случаев необходимо находить вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое событие В, имеющее положительную вероятность. Такие вероятности называются условными и определяются по формуле: В теории вероятностей, однако, чаще применяется не эта формула, а другая , которая позволяет вычислить вероятности пересечений событий через условные вероятности. Эта формула называется теоремой умножения вероятностей случайных событий. Формула допускает обобщение на случай n событий , связанных с одним и тем же случайным экспериментом Е и принадлежащих одной и той же алгебре событий :

где . Следует заметить, что условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности.

Для вычисления вероятности объединения двух событий может оказаться полезной формула: . Она называется теоремой сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей обобщается на случай n событий из одной и той же алгебры событий. В частности для трех событий она имеет вид:

.При изучении понятия независимости случайных событий следует обратить внимание на различие понятий попарной независимости и независимости событий в совокупности.

Определение: События А и В называются независимыми, если

Следует заметить, что для независимых событий и условная вероятность одного из них, при условии, что другое имело место, совпадает с безусловной вероятностью, т.е. ,

Определение: События независимы в совокупности, если для любых k из них выполняется соотношение:

Если это соотношение выполняется лишь при k=2 , то события называются попарно независимыми. Попарной независимости n событий (n>2) недостаточно для независимости этих событий в совокупности. Это показывает, например, задача Берштейна .

Не следует путать понятия независимости и несовместности событий. Напомним, что события А и В из одной и той же алгебры событий несовместны, если они не могут наступать одновременно, т.е. Можно доказать, что несовместные события ненулевых вероятностей всегда зависимы.

Примеры решения задач

Задача 1. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, наудачу последовательно и без возвращения извлекаются 2 шара. Рассматриваются события: A={первый шар белый}; B={второй шар белый}; C={по крайней мере один из вынутых шаров белый}. Вычислить вероятности Являются ли независимыми события А и В, А и С, В и С. Являются ли независимыми в совокупности события А, В и С?

Решение: Для вычисления искомых условных вероятностей воспользуемся формулой Занумеруем белые шары числами 1,2,3, а черные – числами 4,5,…,10. Согласно описанию эксперимента имеем следующую схему: выбор наудачу, без возвращения пары чисел из множества {1,2,…,10} с упорядочиванием. Поэтому множество элементарных исходов можно записать в виде: Отсюда следует, что для всех События А и формально можно записать так::

Событию соответствует множество Далее получаем:

Для вычисления вероятности события заметим, что поэтому . Отсюда

Проверяем независимость событий и : т.е. события и не являются независимыми. Далее проверяем независимость событий и : т.к. Следовательно, событияи тоже зависимы. Наконец,

поэтому и события и зависимы.

Так как события и не являются попарно независимыми, то они тем более не являются независимыми в совокупности.

Задача 2. События независимы в совокупности и Найти вероятности событий:

A ={не произойдет ни одного из событий }; B = ={произойдет хотя бы одно из событий }; C= ={произойдет одно и только одно из событий }.

Решение: Если не произойдут события , это значит, что будут иметь место противоположные им события Следовательно, Воспользовавшись тем, что при независимости событий , события так же будут независимыми, получаем: По определению операции объединения событий, событие В может быть представлено в виде: Для независимых событий легко вычисляется вероятность пересечения этих событий, поэтому здесь целесообразно воспользоваться законом де Моргана. В результате будем иметь:

=

Событие С может наступить одним из n возможных способов, при которых наступает лишь одно фиксированное событие (), а все другие не наступают. Обозначим через соответствующие события, т.е.. Событие С можно представить в виде объединения n попарно несовместных событий , и по теореме сложения для несовместных событий получаем:

Задачи для самостоятельного решения

Задача 5.1. Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность того, что: а) выпадет хотя бы один раз 6 очков, если известно, что сумма выпавших очков равна 8; б) сумма выпавших очков больше 9, если известно, что один раз выпало 5 очков.

Задача 5.2. Монету подбросили 5 раз. Найти вероятность того, что при первых двух бросках выпал герб, если известно, что всего выпало 3 герба.

Задача 5.3. В урне содержатся 5 черных, 6 белых и 7 красных шаров. Последовательно без возвращения из урны извлекают три шара. Найти вероятность того, что: а) первый шар – черный, второй – белый, третий – красный; б) первый шар белый, а второй и третий – красные.

Задача 5.4. Вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний событие А произойдет хотя бы один раз, равна 0.5. Определить вероятность появления события А при одном испытании, если эта вероятность неизменна для всех испытаний.

Задача 5.5. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы вероятность попадания в десятку хотя бы один раз была не менее 0.9? Вероятность попадания в десятку для всех выстрелов неизменна и равна 0.6.

Задача 5.6. На железнодорожном вокзале пассажир воспользовался автоматической камерой хранения багажа, шифр которой состоит из оной буквы русского алфавита и четырех цифр. Пассажир набрал шифр, запер сейф, но, возвратившись, смог вспомнить только две последние цифры кода. Найти вероятности событий: а) A={сейф откроется при первой попытке}; б) B={сейф откроется после k попыток}.

Задача 5.7. Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на восемь вопросов из тех сорока, которые могут быть предложены. Какова вероятность сдачи коллоквиума?

Задача 5.8. В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью , а третий для вынесения решения бросает симметричную монету. Окончательное решение выносится абсолютным большинством голосов. Жюри, состоящее из одного человека, выносит справедливое решение с вероятностью . Какое из этих двух жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?

Задача 5.9. Подбрасываются два игральных кубика. Рассмотрим события: ={на первом кубике выпало четное число очков}; ={на втором кубике выпало нечетное число очков}; ={сумма выпавших очков нечетная}. Доказать, что события , , попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Задача 5.10. В спортивном зале мячи находятся в трех корзинах. В первой лежит 3 волейбольных мяча, 1 футбольный и 5 баскетбольных. Во второй корзине соответственно 1, 2 и 4 мяча указанных видов, в третьей – 7, 1, 2. Из каждой корзины взяли по одному мячу. Найти вероятность того, что все они предназначены для одной игры.

Задача 5.11. Каждая из m радиолокационных станций за время Т делает n оборотов антенны и за один оборот обнаруживает объект с вероятностью p независимо от других станций. Найти вероятность того, что: а) за время Т объект будет обнаружен хотя бы одной станцией; б) за время Т объект будет обнаружен каждой станцией.

Задача 5.12. Проблема Джона Смита. Одинаковы ли шансы на успех у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при трех бросаниях игральной кости, второму – не менее двух шестерок при шести бросаниях, а третьему – не менее трех шестерок при девяти бросаниях?

Задача 5.13. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Найти вероятность выигрыша у каждого игрока. Какова вероятность того, что игра закончится через n бросков? Не более, чем через n бросков?

Задача 5.14. Задача Чебышева. Определить вероятность того, что написанная наудачу простая дробь несократима.

Задача 5.15. На плоскости проведены две параллельные полосы, ширина которых 10 мм, а расстояние между ними 155 мм. Вдоль прямой, перпендикулярной этим полосам, на расстоянии 120 мм друг от друга расположены центры окружностей радиуса 10 мм. Определить вероятность того, что хотя бы одна из окружностей пересечет любую из полос, если центры окружностей расположены независимо от положения полос.

Задача 5.16. Игра между лицами А и В ведется на следующих условиях: в результате первого хода, который всегда делает игрок А, он может выиграть с вероятностью 0.3; если первым ходом игрок А не выигрывает, то ход делает игрок В и может выиграть с вероятностью 0.5, если в результате этого хода В не выигрывает, то А делает второй ход, который может привести его к выигрышу с вероятностью 0.4. Определить вероятности выигрыша для каждого игрока.

Задача 5.17. Вероятность получения билета, у которого равны суммы трех первых и трех последних цифр шестизначного номера, равна 0.05525. Какова вероятность иметь такой билет среди двух взятых наудачу билетов, если оба билета: а) имеют последовательные номера;

б) получены независимо друг от друга?

Тема 6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Литература: , , , ,, , , ,,.

Данные занятия содержат задачи, которые обычно решаются при помощи формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Пусть — наблюдаемые события для данного эксперимента. Причем, система множеств {}образует разбиение множества (полную группу попарно несовместных событий). Кроме того, события имеют ненулевые вероятности. Для любого наблюдаемого в эксперименте события имеет место следующее равенство, называемое формулой полной вероятности: События принято называть гипотезами. Безусловные вероятности трактуются как априорные (доопытные) вероятности гипотез.

Общая схема применения формулы Байеса следующая. Пусть событие может происходить в различных условиях, о характере которых можно выдвинуть гипотез . Из каких-то соображений известны вероятности этих гипотез, , и известны условные вероятности , Предположим, что произведен опыт, в результате которого наступило событие , тогда условные вероятности гипотез (их называют апостериорными или послеопытными) определяются по формуле Байеса:

Примеры решения задач

Задача 1. В составе Думы представлены 3 партии (по 100, 150, 50 человек от 1-й, 2-й и 3-й партий соответственно). Кандидата на должность спикера Думы поддерживают 50% представителей первой партии, 70% — второй партии и 10% — третьей партии. Какова вероятность того, что наудачу выбранный член Думы поддерживает выдвинутую кандидатуру на должность спикера Думы?

Решение: Из условий задачи очевидно, что с рассматриваемым событием A={наудачу выбранный представитель думы поддерживает выдвинутую кандидатуру} тесно связаны три гипотезы: {выбранное лицо представляет первую партию}; {выбранное лицо представляет вторую партию}; {выбранное лицо представляет третью партию}. Вероятности этих гипотез сразу определяются из условия задачи: Условные вероятности события А даны в условии задачи: Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности: Ответ: 0,7.

Задача 2. Страховая компания разделяет застрахованных по трем классам риска: 1 класс – малый риск, 2 класс – средний, 3 класс – большой риск. Среди всех клиентов компании 50% — первого класса риска, 30% — второго и 20% — третьего. Вероятность наступления страхового случая для первого класса риска равна 0.01, второго – 0.03, третьего – 0.08. Какова вероятность того, что клиент, получивший денежное вознаграждение за период страхования, относится к группе малого риска?

Решение. Пусть событие А означает, что клиент компании получил вознаграждение. Понятно, что событие А может наступить лишь совместно с одним из трех попарно несовместных событий: — клиент относится к первому классу риска; — клиент относится ко второму классу риска; — клиент относится к третьему классу риска. Необходимо определить условную вероятность Из условия задачи известны вероятности гипотез: Известны также условные вероятности: Искомую вероятность вычисляем по формуле Байеса , т.е.

Ответ: 5/19.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.1. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0.95 обнаруживает дефект, если он есть, а также существует ненулевая вероятность 0.03 того, что исправный транзистор будет ошибочно признан дефектным. Какова вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным?

Задача 6.2. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в отношении 1:3:5. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 80%, третьей — 95%. Найти вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие окажется стандартным.

Задача 6.3. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 12 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Задача 6.4. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третей урны, окажется белым.

Задача 6.5. В ящике 15 теннисных мячей, в том числе 10 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекается 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Задача 6.6. Имеется три одинаковых на вид урны. В первой урне содержится 2 белых и 1 черный, во второй – 3 белых и 1 черный, а в третьей – 2 белых и два черных шара. Некто выбирает наудачу одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Задача 6.7. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки А, 6 марки В и 4 станка марки С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна: 0.9, 0.8, 0.7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?

Задача 6.8. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 80%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь произведена первым автоматом.

Задача 6.9. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% — с заболеванием L, 20% — с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0.99; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0.8 и 0.9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

Задача 6.10. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 1-. Вероятность ошибочного обнаружения туберкулеза у здорового человека равна . Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна . Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он был признан больным при обследовании.

Задача 6.11. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0.8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0.2 – только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью 0.7; если только помеха, — то с вероятностью 0.3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие сигнала. Найти вероятность того, что на его входе действительно есть полезный сигнал.

Задача 6.12. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 30 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из одного билета и дополнительно на указанный вопрос из другого билета.

Задача 6.13. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков соответственно равны 0.7, 0.8 и 0.9. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после выстрелов в мишени оказалось две пробоины?

Задача 6.14. Урна содержала m белых и n черных шаров, но один шар, цвет которого неизвестен, утерян. При испытании состава урны были вынуты сразу k белых и l черных шаров. Какова вероятность того, что утерян белый шар?

Задача 6.15. Имеется n урн, в каждой из которых по m белых и по k черных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну и т. д. Определить вероятность извлечения после такого перекладывания белого шара из последней урны.

Задача 6.16. В правом кармане лежат три монеты по 10 руб. и четыре монеты по 5 руб, а в левом — шесть по 10 руб. и три по 5 руб. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются пять монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты в 10 руб., если монета берется наудачу.

Задача 6.17. Среди наблюдаемых спиральных галактик 23% принадлежат подтипу , 31% — подтипу и 46% — подтипу . Вероятность вспышки в течение года сверхновой звезды в галактике составляет 0.0020, в галактике — 0.0035 и в галактике — 0.0055. Найти вероятность вспышки в течение года сверхновой звезды в далекой спиральной галактике, подтип которой определить не удается.

Задача 6.18. В условиях задачи 6.17 определить, что в течение года наблюдений далекой спиральной галактики в ней обнаружена вспышка одной сверхновой звезды. Найти вероятность того, что галактика принадлежит подтипу , , .

Рекомендуемая литература

1. Гнеденко Б.Р. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1988.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969.

3. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.:Изд-во «Эдиториал УРСС»,

Новосибирск: Изд-во института математики, 1999.

4. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.:Наука,1989.

5.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Часть 1. —

М.:Мир, 1984.

6. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической

статистики. — М.:Наука, 1982.

7. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая

статистика. — М.: Гардарика, 1998.

  1. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. — Киев:Изд-во «Вища школа», 1979.

  2. Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков.- М.:Наука, 1974.

  3. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. — М.:МГУ, 1983.

  4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — М.:Наука, 1988.

12. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. – Москва: Наука, 1977.

13. Свешников А.А. и др. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. — М.:Наука, 1970.

14. Вентцель Е.С. , Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. — М.:Радио и связь, 1983.

15. Климов Г.П., Кузьмин А.Д. Вероятность, процессы, статистика. Задачи с решениями. — М.:МГУ, 1985.

16. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. — М.:Наука, 1980.

17. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. — М.:Наука, 1986.

18. Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике для втузов/ Теория вероятностей и математическая статистика. — М.:Наука, 1990.

19. Козлов М.В. Элементы теории вероятностей в примерах и задачах. — М.:МГУ, 1990.

20. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.- М.:Высшая школа, 1998.

Методы вычислений вероятностей случайных событий

Методические разработки по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная информатика»

Составители: Анисимова Людмила Николаевна

Федоткин Михаил Андреевич

Подписано к печати . .02г. Формат 60х84 1/16.

Печать офсетная. Бумага оберточная. Усл.-печ.л. 2.5

Зак. . Тираж 150 экз. Бесплатно

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

603600, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23.

Типография ННГУ, Н. Новгород, ул. Б. Покровская. 37.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *