Связь линейной и угловой

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v, которые непрерывно изменяют свое направление и зависят от угловой скорости ω и расстояния r соответствующей точки до оси вращения. Точка, находящаяся на расстоянии r от оси вращения проходит путь ΔS = rΔφ. Поделим обе части равенства на

Переходя к пределам при , получим или .

Таким образом, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. По определению ускорения, или

что значения линейной скорости, тангенциального и нормального ускорений растут по мере удаления от оси вращения. Формула устанавливает связь между модулями векторов v, r, ω, которые перпендикулярны друг к другу.

(Вариант 2)

Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси

Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг какой-то неподвижной оси используются те же величины (и уравнения связи между ними), что и для описания движения точки по окружности. При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси за промежуток времени ∆t углы поворота радиус-векторов различных точек тела одинаковы. Угол поворота ∆φ, средняя ωcp и мгновенная ω угловые скорости характеризуют вращательное движение всего абсолютно твердого тела в целом.Линейная скорость υ какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорционально расстоянию R точки от оси вращения:

При равномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы ( ∆φ = const ) и мгновенная угловая скорость тела равна средней угловой скорости ( ω = ωcp ). Тангенциальные ускорения aτ у различных точек абсолютно твердого тела отсутствуют ( aτ = 0 ), а нормальное (центростремительное ) ускорение an какой-либо точки тела зависит от ее расстояния R до оси вращения:

Вектор an направлен в каждый момент времени по радиусу траектории точки к оси вращения.При неравномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени неодинаковы. Угловая скорость тела ω с течением времени изменяется.Средним угловым ускорением εср в промежутке времени ∆t = t2 — t1 называется физическая величина, равная отношению изменения угловой скорости ∆ω = ω2 — ω1 вращающегося тела за промежуток времени ∆t к длительности этого промежутка:

Если угловая скорость за произвольные одинаковые промежутки времени изменяется одинаково ( ∆ω12 = ∆ω34 и т.д.), то εср = const (равнопеременное вращение).

Угловым ускорением (мгновенным угловым ускорением) вращающегося тела в момент времени t называется величина ε, равная пределу, к которому стремится среднее угловое ускорение за промежуток времени от t до t + ∆t при бесконечном уменьшении ∆t, или, угловое ускорение — это первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени:

Изменение ∆ω угловой скорости абсолютно твердого тела за промежуток времени ∆t = t — t0 при равнопеременном вращательном движении с угловым ускорением ε: ∆ω = ε·∆t = ε(t — t0). Если при t0 = 0 начальная угловая скорость тела равна ω0, то в произвольный момент времени t угловая скорость тела будет ω = ω0 + ε·t.Угол поворота ∆φ тела вокруг оси за промежуток времени ∆t = t — t0 при равнопеременном движении:

Тангенциальная составляющая ускорения: ; υ = ω·R, поэтому

Нормальная составляющая ускорения:

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами:S = R·φ, υ = ω·R, aτ = R·ε, an = ω2·R.

Поступательное движение — это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени.

Приведённая иллюстрация показывает, что, в отличие от распространённого утверждения . поступательное движение не является противоположностью движению вращательному, а в общем случае может рассматриваться как совокупность поворотов — не закончившихся вращений. При этом подразумевается, что прямолинейное движение есть поворот вокруг бесконечно удалённого от тела центра поворота.

В общем случае поступательное движение происходит в трёхмерном пространстве, но его основная особенность — сохранение параллельности любого отрезка самому себе, остаётся в силе.

Математически поступательное движение по своему конечному результату эквивалентно параллельному переносу.Однако, рассматриваемое как физический процесс оно представляет собой в трёхмерном пространстве вариант винтового движения.

Лекция: 2

Темы: Связь между линейными и угловыми кинематическими величинами, Классический закон сложения скоростей и ускорения при постоянном движении подвижной системы отсчета, Динамика материальной точки, Законы Ньютона, Основные силы в механике

Дата: 16.02.19

Поддержите нас

Связь между линейными и угловыми кинематическими величинами

Пусть твердое тело совершает вращательные движения с ώ и ускорением β. Найдем связь линейной скорости с угловой. И так же с ускорением

V = — если тело совершает вращательные движения, то скорость точки А равна векторному произведению вектору угловой скорости на радиус-вектор r, проведенный от произвольной точки О на неподвижной оси до точки А

Классический закон сложения скоростей и ускорения при постоянном движении подвижной системы отсчета

Дано:

  • неподвижная СО: x1 y1 z1
  • движущаяся поступательно СО: x y z
  • частица А, находящаяся в движущейся СО

Ŕ = Ŕ0 + ŕ (векторы)

  • в неподвижной СО скорость частиц наживается абсолютной скоростью, ускорение — абсолютным ускорением
  • в движущейся СО скорость частиц называется относительной скоростью, ускорение — относительным ускорением

$$ {\overline V}_{абс}=\;{\overline V}_{переносн}\;+\;{\overline V}_{отн} $$ — классический закон сложения скоростей.

Скорость Vабс в неподвижной СО складывается из Vпереносн, поступательного движения СО, в которой в данный момент времени расположена частица, и скорости Vотн в движущейся СО

Динамика материальной точки

опр. Динамика — часть классической механики, изучающей движения тел как результат их взаимодействия.
Основу динамики составляет три закона, сформированных Ньютоном в 1687г. Они опираются на ряд фундаментальных понятий.

Понятие массы

Опытным путем установлено, что всякое тело обладает свойством инертности, которое проявляется в противодействии.
Количественной меры инертности является масса — это скалярная положительная величина, остающаяся константой при скоростях в разы меньших скорости света в вакууме.
Свойство аддитивности: Масса системы, состоящая из N тел, равна скалярной массе составляющих тел.
m = m1 + m2 + .. +mn, n=1, 2 … n

Понятие импульса

$$ v=\overline{p\;}=\;m\overline v $$ — произведение массы тела на его скорость — импульс тела
Импульс системы, состоящий из N тел, равен векторной сумме импульсов, составляющих тело: $$ \overline{p\;}=\;{\overline p}_1\;+\;\overline{p_2}\;+\;..\;+{\overline p}_n,\;n=1,\;2\;\dots\;n $$

Понятие силы

Любое изменение состояния тела возможно в результате его взаимодействия с другими телами.
Количественной мерой взаимодействия тел является сила — векторная величина, характеризующаяся некоторыми свойствами:

  • точкой приложения
  • направлением
  • величиной (модулем)

Силы не являются самостоятельными сущностями, а значит имеют какую-то природу. Важнейшие свойства обобщены в следующих принципах

Принцип парного взаимодействия
Взаимодействие двух тел называется парным и не зависит от других тел. Сила взаимодействия тел зависит от их состояния.
$${\overline F}_{12}=\overline F({\overline r}_{12},\;{\overline V}_{12})$$

Принцип близкодействия сил
Считали, что существует теория дальнодействия: взаимодействие двух тел происходит через пустоту и мгновенно.
Но сейчас существует теория близкодействия: взаимодействие двух тел осуществляется через поле с конечной скоростью

Принцип суперпозиций сил
Если на тело действует несколько сил, то они могут быть заменены результирующей силой, равной векторной сумме отдельных сил

Законы Ньютона

При физике законов необходимо делать оговорки:

  1. тело не деформируется
  2. тело совершает только поступательное движение

Если вместо материального тела использовать материальную точку, то (2) пункт не имеет смысла

Закон инерции (I закон Ньютона)

опр. СО, в которой свободная МТ, не подверженная воздействию других тел, покоится или движется прямолинейно равномерно долго, называется инерциальной
Существование ИСО и составляет первый закон. Высокой степенью приближенности к ИСО составляет гелиоцентрическая СО с началом координат в солнце.

Любая СО, движущаяся относительно гелиоцентрической, прямолинейно равномерно долго, так же будет являться ИСО. То есть существует бесконечное число ИСО, движущихся друг относительно друга прямолинейно равномерно долго.

В ИСО пространств считается однородным — одинаковым во всех направлениях, изотопным, время одинаково и независимо от пространства

Инертность тел проявляется при понятии изменения их состояния покоя или равномерного прямолинейного движения.

Основной закон динамики (II закон Ньютона)

  1. В ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально силе, действующей на нее, и обратно пропорционально ее массе:
    $$ \overline a\;=\;k\;\frac{\overline F}m $$ в СИ к = 1
    F = ma — первая форма записи.
    масса называется инертной (const) в отличии от гравитационной массы, входящей в закон всемирного тяготения.
    Сила равна векторной сумме всех сил
  2. $$ m\overline a\;=\;m\frac{d\overline v}{dt}=\frac{d(m\overline v)}{dt}=\lbrack\overline{p\;}=\;m\overline v\rbrack\;=\;\frac{d\overline p}{dt} $$ dp / dt = F — скалярное изменение импульса МТ совпадает с результирующей всех сил, действующих на нее
  3. dp = F*dt
    $$ {\overline p}_2-{\overline p}_1=\int_{t1}^{t2}\overline Fdt $$ Fdt — элементарная импульсная сила, (интеграл) — импульс силы за t2-t1

Изменение импульса МТ совпадает с импульсом сил, действующих на нее

Закон взаимодейсвтия (III закон Ньютона)

Силы, с которыми взаимодействуют две МТ, равны по величине, противоположно направлены и направлены вдоль прямой, соединяющей две МТ

$$ {\overline F}_{12}=-{\overline F}_{21} $$ — контактное взаимодействие

Применяется, когда МТ покоится или скорость в разы меньше скорости света, причем время должно быть большим

Основные силы в механике

По современным представлениям любое многообразие в природе обусловлено четырьмя фундаментальными взаимодействиями:

  1. гравитационным
  2. электромагнитным
  3. силовым (ядерным)
  4. слабым

1-2 — в макромире (10-10-1011м)
3-4 — в элементарных частицах

Взаимодействия, которые не могут быть сведены к элементарным, называют фундаментальными

Гравитационные силы

Гравитационные силы — силы, удовлетворяющие закону всемирного тяготения

$$ {\overline F}_{гр}=-Ɣ\frac{m_1m_2}{r_{12}^2}\frac{{\overline r}_{12}}{r_{12}} $$ — закон всемирного тяготения.

«-» означает, что гравитационные силы являются инертными.
Ɣ — 6,67*10-11 Н*м2 / кг2 — гравитационная постоянная
m1m2 — массы взаимодействующих частиц
r12 — расстояние
r12/r21 — единичный вектор

Материальным носителем взаимодействия является гравитационное поля. Входящая масса является гравитационной массов в отличии от инертной массой в Ньютоновской.

Масса — характеристика инертности свойства материи; характеристика гравитационного свойства материи. Гравитационная и инертная масса эквивалентны. Это и легло в основу теории Тяготения Эйнштейна

Промежуточная среда не влияет на взаимодействие сил. На поверхности Земли гравитационное взаимодействие представлено в виде силы тяжести F = mg = const

Учитывается так же вес тела — Р — сила, с которой тело действует на опору или нить подвеса.
Если тело с опорой покоится, то Р = mg
Если тело с опорой движется с ускорением, то в векторном виде P = m(g+a)

Электромагнитные силы

На частицу с зарядом q со стороны электрического поля действует сила Лоренца.
$$ F_л={q\overline E\;+\;q\lbrack\overline V\overline B\rbrack} $$

V — скорость движения частицы
Е — напряжение электрического поля
В — магнитная индукция

qE — сила электричкской составляющей
q — сила магнитной составляющей.

Сила Электрической составляющей подчиняется закону Кулона:

$${\overline F}_{эл\;}=\;k_э\frac{q_1q_2}{r_{12}^2}\frac{{\overline r}_{12}}{r_{12}}$$

k(э) — электрическая постоянная = 9*109 Н*м2 / кл2
q1, q2 — заряды частиц (кл)

  • материальными носителями взаимодействия является электромагнитное поле
  • электрические силы и гравитационные силы аналогичны
    обе силы являются центральными (вдоль прямой)
    обе силы обратно пропорциональны квадрату между частицами

Различия:

  • гравитационные силы — силы притяжения
  • кулоновские силы — притяжения или отталкивания

Электрическую природу меняют:

  • сила реакции опоры
  • упругая сила
  • сухого и вязкого трения

Упругие силы

Имеют электромагнитную природу, но проявляются через Вандерваальсовские силы притяжения и отталкивания, которые действуют между нейтральными атомами и молекулами.
Упругие силы при малых деформациях являются законом Гука

Связь угловых и линейных величин

Рассмотрим движение тела по окружности. Скорость, с которой тело движется по окружности, называют линейной скоростью. Она находится по формуле

(7)

Выясним, какова связь между линейными и угловыми величинами при движении тела по окружности. Линейными величинами являются путь, скорость, касательное и нормальное ускорения, а угловыми угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.

Найдём связь между угловой и линейной скоростью. Из геометрии известно, что длина дуги lцентрального угла равна произведению угла, измеренного в радианах, на радиус окружностиR, т.е.l = R. Продифференцируем это выражение по времени:(Rвынесена за знак производной, поскольку она постоянная). НоТогда получаем, что

 = R. (8)

Продифференцируем выражение (8) по времени Ноамодуль углового ускорения. Поэтому

a = R. (9)

Подставляя выражение (7) в формулу (4), получаем для модуля нормального ускорения

an = R. (10)

Таким образом, при движении материальной точки по окружности для описания её движения можно пользоваться как линейными, так и угловыми величинами. Однако при вращении твёрдого тела удобно использовать угловые величины, а не линейные, поскольку уравнения движения разных точек, выраженные в угловых величинах, одинаковы для всех точек тела, в то время как при пользовании линейными величинами они различны.

Кинематика твёрдого тела

До сих пор изучалось движение тел, которые можно было рассматривать как материальные точки. Рассмотрим теперь движение протяжённых тел. При этом будем считать тела абсолютно твёрдыми (твёрдыми). Под твёрдым телом в механике понимается тело, взаимное расположение частей которого в условиях данной задачи считается неизменным.

Существует два вида движения твёрдого тела: поступательное и вращательное. Поступательным называется движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела, движется в пространстве параллельно самой себе. Привращательном движениивсе точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемойосью вращения. Любое сложное движение можно представить как результат сложения поступательного и вращательного движений.

Рассмотрим поступательное движение. При этом движении все точки тела проходят одинаковые пути. Поэтому они имеют одинаковые скорости и ускорения. Отсюда следует, что для описания такого движения тела достаточно выбрать на нём произвольную точку и использовать формулы кинематики материальной точки. Обычно выбирают его центр тяжести.

При вращательном движении разные точки твёрдого тела проходят различные пути и, следовательно, обладают разными скоростями и ускорениями. Вследствие этого для характеристики такого движения надо выбирать такие величины, которые будут одинаковыми в данный момент времени для всех точек тела. Ими являются угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение.

Динамика поступательного движения

Из первой лекции видно, что кинематика описывает движение и не рассматривает причины его вызывающие. Однако именно этот вопрос важен с практической точки зрения. Изучением взаимосвязи движения и сил, действующих в механической системе, и занимается динамика. Основу динамики составляют три закона Ньютона, являющиеся обобщением большого числа опытных данных. Прежде, чем перейти к их рассмотрению, введём понятия силы и массы тела.

СИЛА.

В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться с различными взаимодействиями. Например, с притяжением тел к Земле, отталкиванием и притяжением магнитов и токов, текущих по проводам, отклонением электронных пучков в электронно-лучевых трубках при действии на них электрических и магнитных полей и т.д. Для характеристики взаимодействия тел и вводится понятие силы. В механике сила, действующая на тело, является мерой его взаимодействия с окружающими телами. Действие силы проявляется в деформации тела или в приобретении им ускорения. Сила —это вектор. Поэтому она характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.

МАССА

Как следует из опыта, тела обладают способностью противодействовать изменению скорости, которой они обладают, т.е. они противодействуют приобретению ускорения. Это свойство тел было названо инертностью. Для характеристики инертных свойств тел используют физическую величину, называемуюмассой. Чем больше масса тела, тем оно инертнее. Кроме того, вследствие гравитационных сил все тела притягиваются друг к другу. Модуль этих сил зависит от массы тел. Таким образом, масса характеризует и гравитационные свойства тел. Чем она больше, тем больше сила их гравитационного притяжения. Итак,масса — это мера инертности тел при поступательном движении и мера их гравитационного взаимодействия.

В системе единиц СИ масса измеряется в килограммах (кг).

Связи между линейными и угловыми величинами

Движение по окружности — частный случай движения по криволинейной траектории. Поэтому оно характеризуется не только угловыми величинами — углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением, но и теми величинами, которые были введены при естественном способе описания, — криволинейной координатой s , скоростью, нормальным и тангенциальным ускорениями. Линейные и угловые величины связаны соотношениями:

; ;

; .

2.1. Основные определения Физические величины, характеризующие модели объектов

Масса m — мера инертности материальной точки или твердого тела при его поступательном движении. Инертностью называется свойство тел оказывать сопротивление при попытках привести его в движение или изменить величину или направление его скорости.

Момент инерции J — мера инертности при вращательном движении. Момент инерции материальной точки, находящейся на расстоянии r от оси вращения z, определяется формулой . Момент инерции твердого тела как системы материальных точек равен . Выражения для моментов инерции некоторых однородных твердых тел приведены в таблице 3:

Моменты инерции твердых тел Таблица 3

Твердое

Тело

Ось

вращения

Момент

инерции

Шар радиуса R

Проходит через центр шара

Сплошной цилиндр радиуса R

Совпадает с осью цилиндра

Полый тонкостенный цилиндр радиуса R

Совпадает с осью цилиндра

Тонкое кольцо радиуса R

Совпадает с осью кольца

Совпадает с осью диска

Тонкий диск радиуса R

Совпадает с диаметром диска

Продолжение таблицы 3

Твердое

Тело

Ось

вращения

Момент

инерции

Тонкий стержень длины l

Перпендикулярна стержню и проходит через его центр

Перпендикулярна стержню и проходит через его конец

Момент инерции относительно произвольной оси в ряде случаев можно рассчитать по теореме Штейнера: , т.е. момент инерции J относительно произвольной оси z равен моменту инерции относительно оси , параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния d между осями.

Физические величины, характеризующие воздействие на объект

Сила. В механике Ньютона количественной мерой взаимодействия тел является сила F. На тело, движение которого рассматривается в задаче, могут действовать тела, контактирующие с рассматриваемым телом, и поля — гравитационное, электрическое, магнитное (безконтактное взаимодействие).

Чаще всего на тело, движение которого описывается в задаче, действует не одна сила, а несколько: и т.д. В этом случае рассматривается равнодействующая сила, т.е. векторная сумма сил: .

Момент силы. При вращательном движении одна и та же сила может различным образом изменять скорость вращения. Мерой воздействия при вращательном движении является физическая величина, называемая моментом силы.

Моментом силы M относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r, проведенного от точки О к точке приложения силы, и вектора силы F:

Модуль этого вектора равен:

,

где d — плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения z, вдоль которой направлены псевдовекторы угловой скорости  и углового ускорения . В этом случае на изменение характера вращения влияют только составляющие момента силы, ориентированные вдоль оси z. Следовательно, при применении законов динамики имеет смысл рассматривать только силы или составляющие сил, расположенные в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *