Закон гаусса

Закон Гаусса

Сумма всех свободных и связанных зарядов, заключенных в объеме, ограниченном замкнутой поверхностью S, пропорциональна потоку вектора напряженности электрического поля через эту поверхность:

где — относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика (безразмерная величина).

Для вакуума = 1.

Произведение относительной диэлектрической проницаемости на электрическую постоянную называется абсолютной диэлектрической проницаемостью :

Пример 1.2. Определить напряженность однородного электрического поля равномерно заряженной пластины с плотностью заряда 8= Ю-10 Кл/м2 и разность потенциалов между точками 1 и 2, расположенными на расстояниях ах = 1 м и а2 = 3,5 м от заряженной пластины вдоль силовой линии поля (см. рис. 1.4).

Решение. По теореме Гаусса (1.8) поток вектора напряженности электрического поля через поверхность куба с площадью граней S равен

Разность потенциалов между точками 1 и 2 по формулам (1.6) и (1.7) равна

1.3. Электрическая емкость, конденсаторы и емкостные элементы

Конденсатором называется устройство, служащее для накопления зарядов.

На рис. 1.7, а изображен простейший плоский конденсатор с двумя параллельными обкладками каждая площадью S, которые находятся в вакууме на расстоянии d друг от друга.

Если между верхней и нижней обкладками конденсатора приложить напряжение иаЬ > О, то на верхней и нижней обкладках конденсатора накопятся одинаковые положительный и отрицательный свободные заряды ±qCB = ±q.

Накопленный в конденсаторе заряд q пропорционален приложенному напряжению иаЬ = ис

где коэффициент пропорциональности С называется электрической емкостью (емкостью) конденсатора.

Единица измерения емкости в СИ — фарад (Ф): 1 Ф = 1 Кл/В = = 1А*с/В.

Между обкладками плоского конденсатора электрическое поле будет однородным (если не учитывать краевого эффекта) с напряженностью (см. пример 1.2)

Сравнив соотношения (1.9) и (1.10), получим выражение для емкости плоского вакуумного конденсатора:

Для увеличения емкости плоского конденсатора пространство между его обкладками заполняют диэлектриком (рис. 1.7, б).

Под действием электрического поля хаотически ориентированные в пространстве дипольные молекулы диэлектрика приобретают преимущественное направление ориентации. При этом внутри однородного диэлектрика положительные и отрицательные заряды дипольных молекул компенсируют друг друга (на рис. 1.7, б отмечено штриховой линией), а на границах с обкладками плоского конденсатора остаются некомпенсированные слои связанных зарядов . На границе с обкладкой, заряженной положительно (отрицательно), располагается слой отрицательных (положительных) связанных зарядов. При наличии связанных зарядов напряженность электрического поля внутри конденсатора уменьшается:

Отсюда следует, что при той же напряженности электрического поля, а следовательно, и напряжении иаЬ = ис заряд q должен быть больше. Поэтому увеличится, как следует из (1.8), и емкость плоского конденсатора с диэлектриком по сравнению с емкостью такого же вакуумного конденсатора:

(1.11)

В табл. 1.1 приведены значения параметров некоторых диэлектриков;

Электрической прочностью диэлектрика εп называется предельная напряженность электрического поля еще не вызывающее электрического пробоя изоляционного материала.

Электрический пробой — лавинный пробой (резкое уменьшение сопротивления изоляции с одновременным неконтролируемым увеличением тока через диэлектрик), связанный с тем, что носитель заряда на длине свободного пробега приобретает энергию, достаточную для ионизации молекул кристаллической решётки или газа и увеличивает концентрацию носителей заряда. При этом создаются свободные носители заряда (увеличивается концентрация электронов), которые вносят основной вклад в общий ток. Генерация носителей происходит лавинообразно.

в табл. 1.2 — условные графические обозначения конденсаторов;

в табл. 1.3 — характеристики некоторых типов конденсаторов на основе различных диэлектриков.

Очень большой емкостью обладают электролитические конденсаторы (до 15000 мкФ), в которых используется, например, тонкая оксидная пленка алюминия. Оксидная пленка является диэлектриком только при одном направлении напряженности электрического поля. По этой причине электролитические конденсаторы пригодны только при одной полярности приложенного к ним относительно невысокого напряжения (5—450 В).

Так как электрическое поле всегда существует между различными деталями электротехнических устройств, находящихся под напряжением, между ними есть электрическая (паразитная) емкость.

Линейный емкостный элемент является составляющей схемы замещения любой части электротехнического устройства, в которой значение заряда пропорционально напряжению. Его параметром служит емкость С = const.

Кулон-вольтной характеристикой конденсатораq(uc). — зависимость величины заряда конденсатора от напряжения на его обкладках.

Если зависимость заряда от напряжения нелинейная, то схема замещения содержит нелинейный емкостный элемент, который задается нелинейной кулон-вольтной характеристикой q(uc).

На рис.1.8 приведены кулон-вольтные характеристики линейного (линия а) и нелинейного (линия Ь) емкостных элементов, а также условные обозначения таких элементов на схемах замещения.

Если напряжение, приложенное к емкостному элементу, изменяется (увеличивается или уменьшается), то изменяется и заряд, т.е. в емкостном элементе есть ток.

Положительное направление тока в емкостном элементе выберем совпадающим с положительным направлением приложенного к нему напряжения (см. рис. 1.7, в). По определению ток равен скорости изменения заряда:

(1.12)

В линейном емкостном элементе с учетом (1.9) ток равен

(1.13)

Если за время t1 напряжение на емкостном элементе изменится от нуля до то электрическом поле элемента будет накоплена энергия

или с учетом (1.12)

(1.14)

где q1 — значение свободного заряда при напряжении ис= ис1.

Энергия электрического поля емкостного элемента при напряжении ис (см. формулу (1.14)) пропорциональна соответствующей площади, заключенной между кулон-вольтной характеристикой и осью ординат (см. рис. 1.8, где заштрихована площадь, пропорциональная энергии электрического поля нелинейного емкостного элемента при напряжении иС1).

Энергия электрического поля линейного емкостного элемента при напряжении ис из (1.14) с учетом (1.9) равна

. (1.15)

Емкостные элементы можно рассматривать в качестве аккумуляторов энергии.

1.4. Способы соединения конденсаторов

Возможны параллельное и последовательное соединения конденсаторов.

При параллельном соединении (рис. 1.9) все конденсаторы находятся под одним напряжением U, а заряд, который они получают от источника энергии, равен сумме зарядов отдельных конденсаторов

где п — число конденсаторов;

к — порядковый номер конденсатора.

Следовательно, общая емкость параллельно соединенных конденсаторов по (1.9)равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 1.10) общее напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах

где п — число конденсаторов;

к — порядковый номер конденсатора.

Но заряд от источника энергии получают лишь внешние электроды двух крайних конденсаторов. На остальных попарно электрически соединенных электродах заряды создаются переносом положительного заряда на один электрод и отрицательного — на второй, которые равны между собой. Таким образом, при последовательном соединении конденсаторов их заряды одинаковы.

Так как заряд конденсатора равен произведению его емкости на приложенное к нему напряжение

то напряжения на конденсаторах равны

а общая емкость последовательно соединенных конденсаторов — Собщ

Если последовательно соединены n одинаковых конденсаторов каждый емкостью С0, то их общая емкость будет равна

1.5. Зарядка и разрядка

конденсатора

Чтобы изменить скачком энергию конденсатора, необходим источник бесконечной мощности что невозможно.

Поэтому при зарядке и разрядке конденсатора его энергия, а следовательно, и напряжение на нем Uс не могут изменяться скачком. Это условие называется первым законом коммутации и записывается в виде

(1.16)

где и — моменты времени, непосредственно предшествующий моменту времени и непосредственно следующий за моментом времени t, в который начинается зарядка или разрядка конденсатора.

Зарядка конденсатора.

Рассмотрим процесс зарядки конденсатора от источника постоянного напряжения Е=U (см. подразд. 2.7) через резистор сопротивлением R (см. подразд. 2.4) при замыкании в момент времени t=0 ключа К (рис. 1.11, а).

Напряжение источника равно сумме напряжений на резисторе и конденсаторе

или с учетом (2.1) и (1.13)

(1.17)

Разделим переменные в (1.17)

(1.18)

и проинтегрируем (1.18)

(1.19)

где неизвестная постоянная интегрирования записана в виде In А.

Умножив обе части равенства (1.19) на (-1) и заменив разность логарифмов логарифмом частного, после потенцирования получим

или

(1.20)

Для определения постоянной А в (1.20) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (1.16). Примем, что емкостный элемент до замыкания ключа, т. е. и в момент времени /= 0_, не был заряжен. Поэтому

ис(0_) = 0 = ис(0+) = Е+А,
откуда А = -Е.

Подставив значение постоянной А в (1.20), найдем напряжение на емкостном элементе во время его зарядки (рис. 1.11, б):

(1.21)

где τ = RC имеет размерность времени (Ом • Ф = Ом • А • с/В = с) и называется постоянной времени цепи. Она определяет скорость переходного процесса.

Напряжение на емкостном элементе (1.21) определяет зависимости от времени тока зарядки и напряжения на резисторе (рис. 1.11,5):

тогда

В первый момент после замыкания ключа t=0+ ток заряда в цепи скачком возрастает

от нуля i (0_) = 0

до i (0+) = E/R.

При малом сопротивлении R в цепи может наблюдаться значительный скачок тока.

Процесс зарядки можно считать практически закончившимся через интервал времени Зτ, (при этом uc=0,95 E) который может быть достаточно большим, что используется, например, в реле времени — устройствах, срабатывающих по истечении определенного времени.

Разрядка конденсатора.

В электрическом поле заряженного емкостного элемента сосредоточена энергия (1.15), за счет которой емкостный элемент в течение некоторого времени сам может служить источником энергии. После подключения емкостного элемента, предварительно заряженного до напряжения ис= Е, к резистивному элементу сопротивлением R (рис. 1.12, а) ток в цепи будет обусловлен изменением заряда q емкостного элемента (1.13):

(1.22)

где знак минус указывает на то, что ток i — это ток разрядки в контуре цепи, обозначенном на рисунке штриховой линией, направленный навстречу напряжению на емкостном элементе.

Разделим переменные в (1.22)

и проинтегрируем (1.23)

(1.24)

где неизвестная постоянная интегрирования записана в виде (-In А).

После потенцирования (1.24) получим

(1.25)

Для определения постоянной А в (1.25) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (1.16). Так как до коммутации, т.е. и в момент времени t=0_, емкостный элемент был заряжен до напряжения источника, то

ис (0_) = Е=ис (0+)=А.

Подставив значение постоянной А в (1.25), получим зависимость изменения напряжения на емкостном элементе при его разрядке (рис. 1.12, б):

(1.26)

где τ = RC— постоянная времени цепи.

Ток разрядки найдем по (1.22):

Ток разрядки скачком возрастает от нуля

i(0_) = 0 до i(0+) = E/R, а затем убывает экспоненциально (см. рис. 1.12, б).

Зарядка конденсатора при малых значениях тока и больших значениях ЭДС Ев цепи на рис. 1.12, а позволяет накопить в нем большую энергию, которая может использоваться при разрядке большим током в импульсных источниках.

ЗАДАЧИ И ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.1. Конденсатор емкостью С = 1 Ф, имеющий заряд q = 1 Кл, в момент времени t= 0 начинает разряжаться через резистор сопротивлением R= 1 Ом (см. рис. 1.12). Определите ток в резисторе в момент времени i=0,5 с.

Ответ: 0,6065 А.

1.2. Сохранив условия задачи 1.1, определите энергию конденсатора
в момент времени t=0,5 с.

Ответ: 0,183 Дж.

1.3. Сохранив условия задачи 1.1, определите, какое количество энергии выделится в виде тепла в резисторе к моменту времени t= 0,5 с.

Ответ: 0,317 Дж.

1.4. Плоский конденсатор (см. рис. 1.7, а) состоит из двух листов фольги каждый площадью 20 см2, разделенных слоем парафина (см. табл. 1.1) толщиной 0,05 мм с относительной диэлектрической проницаемостью εr = 2,1. Определите емкость конденсатора.

Ответ: 0,745 нФ.

1.5.Дайте определения электрического потенциала и разности электрических потенциалов.

1.6.Дайте определения линейных и нелинейных емкостных элементов.

1.7.Определите общую емкость двух конденсаторов, включенных параллельно, емкостью 1 мкФ каждый (см. рис. 1.9).

Ответ: 2 мкФ.

1.8. Определите общую емкость двух конденсаторов, включенных последовательно, емкостью 2 мкФ каждый (см. рис. 1.10).

Ответ: 1 мкФ.

§ 12.2 Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчёту электростатических полей.

Когда зарядов много, при расчётах полей возникают некоторые трудности.

Преодолеть их помогает теорема Гаусса. Суть теоремы Гаусса сводится к следующему: если произвольное количество зарядов мысленно окружить замкнутой поверхностью S, то поток напряжённости электрического поля через элементарную площадку dS можно записать как dФ = Есоsα۰dS где α — угол между нормалью к плоскости и вектором напряжённости . (рис.12.7)

Полный же поток через всю поверхность будет равен сумме потоков от всех зарядов, произвольным образом распределённых внутри её и пропорционально величине этого заряда

(12.9)

Определим поток вектора напряжённости сквозь сферическую поверхность радиуса r, в центре которой расположен точечный заряд +q (рис.12.8). Линии напряжённости перпендикулярны поверхности сферы, α =0, следовательно соsα = 1. Тогда

или

Если поле образовано системой зарядов, то

Теорема Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную.

(12.10)

Если внутри сферы зарядов нет, то Ф = 0.

Теорема Гаусса позволяет сравнительно просто рассчитать электрические поля при симметрично распределённых зарядов.

Введём понятие о плотности распределенных зарядов.

  • Линейная плотность обозначается τ и характеризует заряд q, приходящийся на единицу длины ℓ. В общем виде может быть рассчитана по формуле

(12.11)

При равномерном распределении зарядов линейная плотность равна

  • Поверхностная плотность обозначается σ и характеризует заряд q, приходящийся на единицу площади S. В общем виде определяется по формуле

(12.12)

При равномерном распределении зарядов по поверхности поверхностная плотность равна

  • Объёмная плотность обозначается ρ, характеризует заряд q, приходящийся на единицу объёма V. В общем виде определяется по формуле

(12.13)

При равномерном распределении зарядов она равна .

    • Напряжённость электростатического поля равномерно заряженной сферы (рис.12.9), имеющей радиус r0. Найдём модуль вектора в какой-либо точке А, находящейся на расстоянии r1 от центра этой сферы.

Так как заряд q располагается на сфере равномерно, то

σ = const. Применим теорему Гаусса. Проведём сферу радиусом через точку А. Поток вектора напряжённости рис.12.9 сквозь сферическую поверхность радиуса равен соsα = 1, так как α = 0. По теореме Гаусса, .

или

(12.14)

Из выражения (12.14) следует, что напряжённость поля вне заряженной сферы такая же, как напряжённость поля точечного заряда, помещённого в центре сферы. На поверхности сферы, т.е. r1 = r0 , напряжённость .

Внутри сферы r1 < r0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

    • Напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечно длинным цилиндром

Цилиндр радиусом r0 равномерно заряжен с поверхностной плотностью σ (рис.12.10). Определим напряжённость поля в произвольно выбранной точке А. Проведём через точку А воображаемую цилиндрическую поверхность радиусом R и длиной ℓ. Вследствие симметрии поток будет выходить только через боковые поверхности цилиндра, так как заряды на цилиндре радиуса r0 распределены по его поверхности равномерно, т.е. линии напряжённости будут радиальными прямыми, перпендикулярными боковым поверхностям обоих цилиндров. Так как поток через основание цилиндров равен нулю (cos α = 0), а боковая поверхность цилиндра перпендикулярна силовым линиям (cos α = 1), то

или

(12.15)

Выразим величину Е через σ — поверхностную плотность. По определению,

следовательно,

Подставим значение q в формулу (12.15)

(12.16)

По определению линейной плотности, , откуда ; подставляем это выражение в формулу (12.16):

(12.17)

т.е. напряжённость поля, создаваемого бесконечно длинным заряженным цилиндром, пропорциональна линейной плотности заряда и обратно пропорциональна расстоянию.

    • Напряжённость поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью

Определим напряжённость поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью в точке А. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости равна σ. В качестве замкнутой поверхности удобно выбрать цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а правое основание содержит точку А. Плоскость делит цилиндр пополам. Очевидно, что силовые линии перпендикулярны плоскости и параллельны боковой поверхности цилиндра, поэтому весь поток проходит только через основания цилиндра. На обоих основаниях напряжённость поля одинакова, т.к. точки А и В симметричны относительно плоскости. Тогда поток, через основания цилиндра равен

Согласно теореме Гаусса,

Так как , то , откуда

(12.18)

Таким образом, напряжённость поля бесконечной заряженной плоскости пропорциональна поверхностной плотности заряда и не зависит от расстояния до плоскости. Следовательно, поле плоскости является однородным.

    • Напряжённость поля, создаваемого двумя разноименно равномерно заряженными параллельными плоскостями

Результирующее поле, создаваемое двумя плоскостями, определяется по принципу суперпозиции полей: (рис.12.12). Поле, создаваемое каждой плоскостью, является однородным, напряжённости этих полей равны по модулю, но противоположны по направлению: . По принципу суперпозиции напряжённость суммарного поля вне плоскости равна нулю:

Между плоскостями напряжённости полей имеют одинаковые направления, поэтому результирующая напряжённость равна

(12.19)

Таким образом, поле между двумя разноименно равномерно заряженными плоскостями однородно и его напряжённость в два раза больше, чем напряжённость поля, создаваемого одной плоскостью. Слева и справа от плоскостей поле отсутствует. Такой же вид имеет и поле конечных плоскостей, искажение появляется только вблизи их границ. С помощью полученной формулы можно рассчитать поле между обкладками плоского конденсатора.

Нормальное распределение, или закон Гаусса

Закон больших чисел, как мы выяснили, играет огромную роль в социологии и статистике. Без него не могли бы возникнуть и успешно развиваться обе науки, занятые изучением массового поведения. Закон больших чисел гласит, что в результате взаимопогашения случайных отклонений средние, исчисленные для величин одного и того же вида, становятся типичными, отражающими действие постоянных и существенных факторов в данных условиях времени и места. Он утверждает господство среднетипичного, а это как раз то, что интересует социологию. Но он не говорит о том, как велика та часть населения, которая составляет в нормально развивающемся обществе большинство.

На этот вопрос отвечает другой закон — нормального распределения, или закон Гаусса.

Кривая Гаусса имеет гармонически выраженный, эстетически совершенный графический вид (рис. 4.4). Нормальное статистическое распределение значений переменной абсолютно симметрично относительно центральной оси. Симметричное вероятностное распределение непрерывной случайной переменной отражает куполообразная кривая, получившая название гауссовой кривой (у нее множество названий, в том числе симметричный холм, графический колокол, колоколообразная кривая).

Нормальное распределение встречается в нашей жизни на каждом шагу, стоит только внимательнее приглядеться. Например, если случайным образом выбрать тысячу человек и построить гистограмму распределения их по росту, то в результате получится нормальное распределение. Оно будет иметь пик в точке, соответствующей среднему росту в группе, но при этом будет наблюдаться некоторый разброс вокруг среднего. Разбросаны они весьма любопытным образом: большинство значений, близких к среднему, концентрируется в центре, а незначительная часть равномерно распределяется равным образом влево и вправо. На рис. 4.4 это выглядит так:

  • • 68% всех значений измеряемой переменной находится на расстоянии не более одного стандартного отклонения от среднего, т.е. в диапазоне от -1 до +1 (на языке статистики эго звучит так: указанные значения лежат в диапазоне ±1 стандартное отклонение от среднего);
  • • 95% — на расстоянии не более 2 стандартных отклонений, т.е. в диапазоне от -2 до +2 (иначе говоря, диапазон ±2 стандартных отклонения содержит 95% значений).

Рис. 4.4. Нормальное распределение

Другими словами, при нормальном распределении стандартизованные наблюдения, меньшие -2 или большие +2, имеют относительную частоту менее 5% (стандартизованное наблюдение означает, что из исходного значения вычтено среднее и результат поделен на стандартное отклонение). В результате точная форма нормального распределения задана только двумя параметрами: средним значением и стандартным отклонением.

Средняя (как правило, средняя арифметическая) — значение признака, которое равномерно распределено между всеми единицами совокупности.

Стандартное отклонение (или сигма) — статистическая мера разброса значений вокруг средней.

Асимметрия распределения с длинным правым хвостом положительна. Если распределение имеет длинный левый хвост, то его асимметрия отрицательна. Далее, если эксцесс (показывающий «остроту пика» распределения) существенно отличен от 0, то распределение имеет или более закругленный пик, чем нормальное, или, напротив, имеет более острый пик (возможно, имеется несколько пиков).

Социологический практикум

Графический колокол — так неофициально называют кривую нормального распределения Гаусса. Она напоминает одногорбого верблюда или переползающую гусеницу. В горбе размещается основная масса информации о каком-либо событии, например, количество полученных ответов. А в хвосте и голове — соответственно меньшая часть. Классический вариант — 15:70: 15. Неклассический — 20:60: 20, 25 :: 50 : 25 или неравными долями —17:72:11.

Кривая Гаусса хорошо видна там, где четко проявляется поляризация явлений, при которой оба полюса не разделены непроходимой гранью. Напротив, между ними есть

множество переходных состояний. Большинство людей по любому признаку распадается как раз на континуум переходных форм.

Пример 1. Образное и логическое мышление — две противоположности. Одни люди склонны больше к первому, а другие — ко второму. Но если провести опрос, то выяснится, что большинство или 70% людей пользуется с успехом и образным, и логическим мышлением в зависимости от конкретной ситуации. И только немногие обладают крайне выраженным логическим или образным мышлением. Иначе говоря, одно из качеств гипертрофировано, а другое — практически неразвито.

Пример 2. Бедные и богатые — два крайних полюса общества. Тех и других в чистом виде мало. Большинство (опять же 70%) людей расположится посредине, правда, в разной степени: одни ближе стоят к первому полюсу, а другие — ко второму.

Пример 3. Физический и умственный труд. У немногих людей работа только интеллектуальная, начисто исключающая физические движения. И наоборот. Не правда ли? Большинство реальных видов труда сочетает в себе, разумеется в разной степени, и физический, и умственный труд. Тем не менее принято считать, что рабочий класс — выразитель преимущественно физического, а так называемые профессионалы (люди творческого труда) — умственного труда.

Попробуйте самостоятельно назвать еще 3—4 примера с графическим колоколом.

Чем меньше генеральная совокупность или выборка, тем больше отклонения от нормального распределения, и наоборот.

Итак, 2/3 всех значений, если мы имеем дело с нормальным распределением значений какого-либо массового явления в обществе, например количества ленивых и трудолюбивых, одаренных и бездарных, лежит в пределах 70%, а оставшиеся 30% равномерно распределяются, постепенно убывая, влево и вправо.

Гауссова кривая, примененная к социальным явлениям, гласит: «Чем ярче выражен данный признак, тем реже он встречается, и наоборот» (рис. 4.5). Подобный закон действует только при соблюдении следующих условий:

  • • данный признак должен распределяться в населении случайным образом и подчиняться статистическим закономерностям;
  • • структура общества, но отношению данного признака, не должна оказывать одностороннего влияния.

Рис. 4.5. Кривая Гаусса — универсальное средство выражения количественного распределения в обществе массовых социальных свойств, признаков, черт, явлений, процессов и т.д.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *